历史+地理+数学，高考可否一用？

文摘科技 2024-03-10 22:37 陕西

唐朝宰相李吉甫编著的《元和郡县图志》记载:"藍田縣東北至府八十里...藍田關在縣南九十里即嶢關也秦趙高將兵拒嶢關沛公引兵攻嶢關踰蕢山擊秦軍大破之。蕢山，在县东南二十五里。"假设蓝田县治所在直角坐标系的原点(0,0)，一里相当于坐标轴上的1个单位长度。

(1) 求府城在直角坐标系下的坐标；

(2) 以藍田縣治为极点,正东方向为极轴,求嶢關的极坐标；

(3) 若沛公军从蕢山出发,先攻下峣关,再直驱府城。求其行军路线在直角坐标系下的参数方程。

解题步骤：

(1) 府城坐标

根据题意，蓝田县位于原点 (0, 0)，府城位于蓝田县东北 80 里处。由于东北方向与正东方向成45°角，我们可以将府城的位置分解为向东80*cos(45°) 和向北 80*sin(45°) 的位移。

因此，府城在直角坐标系下的坐标为：

(80 * cos(45°), 80 * sin(45°)) ≈ (56.57, 56.57)

(2) 嶢关极坐标

嶢关位于蓝田县正南 90 里处。在极坐标系中，距离用径向坐标ρ表示，角度用角坐标θ表示。由于嶢关位于正南方向，其角坐标为 270° 或 -90°。

因此，嶢关的极坐标为：(90, 270°) 或 (90, -90°)

(3) 沛公行军路线参数方程

假设沛公行军路线的直角坐标系参数方程为：

x = x(t)
y = y(t)

<1>. 攻下嶢关：

根据题意，沛公军从蕢山出发，首先攻下嶢关。蕢山位于极坐标系下 (25, π/4) 的位置，嶢关位于 (90, 270°) 或 (90, -90°) 的位置。

将蕢山的极坐标转换为直角坐标：

x_1 = 25 * cos(π/4) ≈ 17.68
y_1 = 25 * sin(π/4) ≈ 17.68

将嶢关的极坐标转换为直角坐标：

x_2 = 90 * cos(270°) = 0
y_2 = 90 * sin(270°) = -90

<2>. 直驱府城：

攻下嶢关后，沛公军直驱府城，府城坐标为 (56.57, 56.57)。

<3>. 参数方程：

根据以上信息，我们可以建立沛公行军路线的参数方程：

x(t) = 17.68 + (56.57 - 17.68) * t
y(t) = 17.68 + (56.57 - (-90)) * t

其中，参数 t 的取值范围为 0 ≤ t ≤ 1，分别对应蕢山和府城的位置。

本题融合了中国古代地理、直角坐标系、极坐标系、参数方程等知识,考察了学生对数学与其他学科知识的综合运用能力。

将古代里数与现代坐标系结合,设置了坐标轴的单位长度,为解题提供了量化的基础。这体现了数学建模的思想。
灵活转换不同坐标系,根据已知条件建立方程求解未知量。府城位置用直角坐标系更容易表示,而峣关与县治的相对位置用极坐标系更直观。选择合适的坐标系能简化问题的分析和求解。
将军队的行军路线抽象为折线段,并用参数方程表示。这是平面几何向解析几何的转化,是数形结合的典型例子。
将数学知识与历史场景相结合,不仅考察了数学技能,也加深了学生对历史的理解,培养了数学的应用意识和人文素养。

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