传热方向与热量符号的讨论
如果你正因为热量符号问题困惑不已，这篇文章大概对你有帮助。
判别法则
傅里叶定律如下：
这里面有个负号，初学者看到这个负号可能有些困惑。它表示传热方向与温度梯度方向相反，因为热量总是从高温指向低温，而温度梯度却是从高温指向低温的。同时注意到 自己也是有符号的，表示 的方向就是 轴正方向。为啥呢，假设 轴上两个点 和 ，且 。对傅里叶定律进行离散：
若 ，则热量从 传到，也就是沿 轴正向传递，同时注意到 ； 若 ，则热量从 传到，也就是沿 轴反向传递，同时注意到 ；
至此我们可以知道 的正负号与热量沿 轴正向/反向传递是一致的。
到这里我们思路还是很清晰的，现在我们引入另一个传热学定律——牛顿冷却定律：
这个地方规定热量进入物体为正。注意这边就没有什么沿 轴正向还是反向了，因为物体是被包围在环境中的，所以热量会从各个方向同时进入/流出物体。
这两种方向的描述好像不太一样，曾经就引起了我的混乱。能不能统一呢？当然可以。我们把傅里叶定律中的 和牛顿冷却定律里的 统一用 表示，显然有 。故两个定律可以统一写成：
显然， 的正负号与热量是沿 的正向还是反向是严格一致的：对于傅里叶定律， 的正向恰为 轴的正向；对于牛顿冷却定律，如果 在环境， 在物体，那么 的正向恰为环境到物体的方向。这样两个判别方法就统一起来了。下面我们用其处理几个一维稳态导热的边界条件，参考陶文铨《数值传热学》(第2版)P92-98。
一维稳态导热的边界条件
控制方程为
其中 为源项。如图所示，使用【外点法】进行离散，右端点为 。第一类边界条件太简单，我们只讨论第二、三类边界条件。这本书都是以进入计算区域的热量为正的。
从定义出发
所以第二类边界条件应该怎么表示呢？重新对方程(1)离散：
此处下标 意为边界（boundary），注意此处是右侧边界，不是左侧边界，对于第二类BC， 为一恒定值。咦，这个等式和方程(2)不一样啊，负号竟然没了？？？这就是我困惑的开端了。解决这个困惑就要用到前面的判别法则，我们规定了进入为正，因为是右侧边界，所以从右往左为正，而方程右侧的分子刚好就是 方向，这就一致了！
现在看看第三类边界条件，这次 就不再是恒定值了，这个热量由自然对流来提供（牛顿冷却定律）：
结合(6)与(7)可得
分析一下符号：左侧方向是 ，右侧方向是，一致的。
从定义出发得到的离散方程具有一阶截差。而且物理意义不是很明确，下面我们用控制容积平衡法，导出更具物理意义的式子。
控制容积平衡法
代表的控制容积（CV）是图中阴影部分，宽度为 。对该CV做热量衡算：
根据前面说的进入为正，我们不妨让所有热量都“名义”地进入CV，所以没有流出的热量，
我们规定由相邻节点 传过来的热量为 ，源项传过来的为 ，环境传过来的为 ，则有：
所以
这个离散方程的物理意义就很明确了。并且书上证明了它是具有二阶截差的。
理解了这个，再回头去看方程(6)和方程(7)也许会有些迷惑，为什么两个含 的项具有相反的符号。其实看图就明白那里的 和这里的 方向就是反的。我们需要知道的是(6)和(7)是从定义出发的，只是对边界处的热量做了一个等价代换而已。切不可用守恒的思想去理解(6)和(7)。
另外如果我们调换一下 的方向（仅对于 ，违反进入为正的规定）：
这时就有 了，于是
所以
这样一来，(14)和(6-7)里面含 的项就一致了。并且(14)与(12)是完全等价的。
附加源项法
附加源项法仅适用于内点法的离散。
P点离散方程的一般形式为：
为了把未知的 消去，减少一个未知量，在两侧同时减去 ，
由于 ，所以
此处也是规定进入为正， 的方向就是进入方向。
至此，可根据第二类或第三类边界条件对 做替换。
