现代科学、技术、工程中的大量数学模型都可以用微分方程来描述, 很多近代自然科学的基本方程本身就是微分方程. 绝大多数微分方程 (特别是偏微分方程) 定解问题的解很难以实用的解析形式来表示.
在科学的计算机化进程中, 科学与工程计算作为一门工具性、方法性、边缘交叉性的新学科开始了自己的新发展,微分方程数值解法也得到了前所未有的发展和应用. 由于科学基本规律大多是通过微分方程来描述的, 科学与工程计算的主要任务就是求解形形色色的微分方程定解问题.
因此, 今天需要掌握和应用微分方程数值解法的已不再限于数学系的学生, 大量从事力学、物理学、天文学的科研人员, 电子、电机、机械、动力、航空、航天、土木、地质勘探、油田开发等领域的工程技术人员也把这门学科作为自己领域的一种主要研究手段.
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本书为江苏省优秀研究生教材，内容包括常微分方程两点边值问题的差分方法、椭圆型方程的差分方法、抛物型方程的差分方法、双曲型方程的差分方法、高维发展方程的交替方向法、分数阶微分方程的有限差分方法、 Schrödinger 方程的差分方法、 Burgers 方程的差分方法、 Korteweg-de Vries 方程的差分方法.
力求做到：(a) 精选内容；(b) 难点分散；(c) 循序渐进. 先举例示范，再要求学生模仿，最后到熟练掌握；先介绍基础篇，再引入提高篇.
精选微分方程定解问题，对每个问题沿着：
差分格式的建立--求解与算例--先验估计--可解性--收敛性和稳定性步步深入。
目标强调会“用”，五步教会学生掌握常用数值解法。
全书设计由简单到复杂，难点分散，多条“平行线展开”。
加入近20 年来微分方程数值求解最新研究成果。
总结知识要点、提供拓展资料，供学有余力者初探科研。
小编提示：关键是本书还有题目的源程序哦，供用书教师参考![]()
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本书可作为信息与计算科学及数学与应用数学专业高年级本科生的基础课教材, 亦可作为高等学校数学及其他专业研究生的教学参考书.
孙志忠，1984年、1987年在南京大学分别获得理学学士学位和理学硕士学位。1990年在中国科学院计算中心（计算数学与科学工程计算研究所）获得理学博士学位。1990年起在东南大学任教。东南大学二级教授、博士生导师。江苏省“青蓝工程”学术带头人，江苏省计算数学学会常务理事。主讲数值分析、偏微分方程数值解法、非线性发展方程的数值方法、计算方法等课程。主要从事偏微分方程有限差分方法及其理论研究。主持完成国家自然科学基金项目5项和江苏省自然科学基金项目1项。出版专著6部，教材3部。发表学术期刊论文160余篇。2020年和2021年Elsevier 高被引学者。荣获东南大学教学工作优秀特别奖、教学工作成果特等奖。荣获数学建模江苏赛区优秀教练员称号和全国数学建模优秀教练员称号。荣获江苏科学技术奖三等奖、江苏省高等教育教学成果奖一等奖。
第三版前言
第二版前言
第一版前言
第1章 常微分方程两点边值问题的差分方法 1
1.1 Dirichlet边值问题 1
1.1.1 基本微分不等式 2
1.1.2 解的先验估计式 5
1.2 差分格式 7
1.2.1 差分格式的建立 9
1.2.2 差分格式解的存在性 11
1.2.3 差分格式的求解与数值算例 12
1.2.4 差分格式解的先验估计式 16
1.2.5 差分格式解的收敛性和稳定性 25
1.2.6 Richardson外推法 26
1.2.7 紧致差分格式 29
1.3 导数边界值问题 32
1.3.1 差分格式的建立 32
1.3.2 差分格式的求解与数值算例 35
1.4 小结与拓展 39
习题1 40
第2章 椭圆型方程的差分方法 44
2.1 Dirichlet边值问题 45
2.2 五点差分格式 48
2.2.1 差分格式的建立 48
2.2.2 差分格式解的存在性 51
2.2.3 差分格式的求解与数值算例 51
2.2.4 差分格式解的先验估计式 54
2.2.5 差分格式解的收敛性和稳定性 57
2.2.6 Richardson外推法 58
2.3 紧致差分格式 61
2.3.1 差分格式的建立 62
2.3.2 差分格式解的存在性 64
2.3.3 差分格式的求解与数值算例 66
2.3.4 差分格式解的先验估计式 69
2.3.5 差分格式解的收敛性和稳定性 74
2.4 导数边界值问题 75
2.4.1 差分格式的建立 75
2.4.2 差分格式的求解与数值算例 78
2.5 双调和方程边值问题 80
2.6 小结与拓展 82
习题2 84
第3章 抛物型方程的差分方法 86
3.1 Dirichlet初边值问题 86
3.2 向前Euler格式 89
3.2.1 差分格式的建立 90
3.2.2 差分格式解的存在性 92
3.2.3 差分格式的求解与数值算例 92
3.2.4 差分格式解的先验估计式 95
3.2.5 差分格式解的收敛性和稳定性 99
3.3 向后Euler格式 103
3.3.1 差分格式的建立 103
3.3.2 差分格式解的存在性 105
3.3.3 差分格式的求解与数值算例 105
3.3.4 差分格式解的先验估计式 109
3.3.5 差分格式解的收敛性和稳定性 112
3.4 Richardson格式 113
3.4.1 差分格式的建立 113
3.4.2 差分格式的求解与数值算例 115
3.4.3 差分格式的不稳定性 116
3.5 Crank-Nicolson格式 119
3.5.1 差分格式的建立 119
3.5.2 差分格式解的存在性 121
3.5.3 差分格式的求解与数值算例 122
3.5.4 差分格式解的先验估计式 124
3.5.5 差分格式解的收敛性和稳定性 127
3.5.6 Richardson外推法 128
3.6 紧致差分格式 130
3.6.1 差分格式的建立 131
3.6.2 差分格式解的存在性 133
3.6.3 差分格式的求解与数值算例 134
3.6.4 差分格式解的先验估计式 136
3.6.5 差分格式解的收敛性和稳定性 138
3.7 非线性抛物方程 139
3.7.1 向前Euler格式 141
3.7.2 向后Euler格式 147
3.7.3 Crank-Nicolson格式 153
3.8 导数边界值问题 161
3.9 小结与拓展 164
习题3 165
第4章 双曲型方程的差分方法 174
4.1 Dirichlet初边值问题 174
4.2 显式差分格式 176
4.2.1 差分格式的建立 176
4.2.2 差分格式解的存在性 179
4.2.3 差分格式的求解与数值算例 180
4.2.4 差分格式解的先验估计式 183
4.2.5 差分格式解的收敛性和稳定性 187
4.3 隐式差分格式 191
4.3.1 差分格式的建立 191
4.3.2 差分格式解的存在性 194
4.3.3 差分格式的求解与数值算例 196
4.3.4 差分格式解的先验估计式 198
4.3.5 差分格式解的收敛性和稳定性 200
4.4 紧致差分格式 203
4.5 有限Fourier级数及其应用 206
4.5.1 有限Fourier级数 206
4.5.2 两点边值问题差分解的先验估计式 210
4.5.3 抛物型方程第一边值问题差分解的先验估计式 212
4.5.4 双曲型方程第一边值问题差分解的先验估计式 214
4.6 小结与拓展 218
习题4 219
第5章 高维发展方程的交替方向法 226
5.1 二维抛物型方程的交替方向隐格式 226
5.1.1 差分格式的建立 227
5.1.2 差分格式解的存在性 232
5.1.3 差分格式的求解与数值算例 233
5.1.4 差分格式解的先验估计式 238
5.1.5 差分格式解的收敛性和稳定性 242
5.2 二维抛物型方程的紧致交替方向隐格式 243
5.2.1 差分格式的建立 244
5.2.2 差分格式解的存在性 247
5.2.3 差分格式的求解与数值算例 249
5.2.4 差分格式解的先验估计式 252
5.2.5 差分格式解的收敛性和稳定性 255
5.3 二维双曲型方程的交替方向隐格式 257
5.3.1 差分格式的建立 257
5.3.2 差分格式解的存在性 262
5.3.3 差分格式的求解与数值算例 263
5.3.4 差分格式解的先验估计式 268
5.3.5 差分格式解的收敛性和稳定性 273
5.4 二维双曲型方程的紧致交替方向隐格式 275
5.5 小结与拓展 281
习题5 282
第6章 分数阶微分方程的有限差分方法 287
6.1 分数阶导数的定义和性质 287
6.1.1 分数阶积分 287
6.1.2 Grünwald-Letnikov分数阶导数 287
6.1.3 Riemann-Liouville分数阶导数 288
6.1.4 Caputo分数阶导数 288
6.1.5 Riesz分数阶导数 290
6.2 Caputo分数阶导数的插值逼近 290
6.2.1 α(0<α<1) 阶分数阶导数的逼近 290
6.2.2 γ(1<γ< 2) 阶分数阶导数的逼近 293
6.3 时间分数阶慢扩散方程的差分方法 296
6.3.1 差分格式的建立 296
6.3.2 差分格式的可解性 297
6.3.3 差分格式的稳定性 298
6.3.4 差分格式的收敛性 300
6.3.5 数值算例 300
6.4 时间分数阶波方程的差分方法 301
6.4.1 差分格式的建立 302
6.4.2 差分格式的可解性 303
6.4.3 差分格式的稳定性 304
6.4.4 差分格式的收敛性 306
6.4.5 数值算例 307
6.5 时间分数阶混合扩散和波方程的差分方法 308
6.5.1 差分格式的建立 309
6.5.2 差分格式的可解性 310
6.5.3 差分格式的稳定性 311
6.5.4 差分格式的收敛性 314
6.5.5 数值算例 315
6.6 小结与拓展 317
习题6 318
第7章 Schr*dinger方程的差分方法 320
7.1 引言 320
7.2 二层非线性差分格式 322
7.2.1 差分格式的建立 323
7.2.2 差分格式解的守恒性和有界性 324
7.2.3 差分格式解的存在性和唯一性 327
7.2.4 差分格式解的收敛性 329
7.2.5 数值算例 334
7.3 三层线性化差分格式 336
7.3.1 差分格式的建立 336
7.3.2 差分格式解的守恒性和有界性 337
7.3.3 差分格式解的存在性和唯一性 339
7.3.4 差分格式解的收敛性 340
7.3.5 数值算例 348
7.4 小结与拓展 349
习题7 349
第8章 Burgers方程的差分方法 352
8.1 引言 352
8.2 二层非线性差分格式 354
8.2.1 记号及引理 354
8.2.2 差分格式的建立 355
8.2.3 差分格式解的守恒性和有界性 356
8.2.4 差分格式解的存在性和唯一性 358
8.2.5 差分格式解的收敛性 361
8.2.6 数值算例 366
8.3 三层线性化差分格式 368
8.3.1 差分格式的建立 368
8.3.2 差分格式解的守恒性和有界性 369
8.3.3 差分格式解的存在性和唯一性 370
8.3.4 差分格式解的收敛性 371
8.3.5 数值算例 375
8.4 小结与拓展 376
习题8 378
第9章 Korteweg-de Vries方程的差分方法 380
9.1 引言 380
9.2 空间一阶差分格式 381
9.2.1 差分格式的建立 381
9.2.2 差分格式解的存在性 383
9.2.3 差分格式解的守恒性和有界性 385
9.2.4 差分格式解的收敛性 386
9.2.5 数值算例 388
9.3 空间二阶差分格式 390
9.3.1 差分格式的建立 390
9.3.2 差分格式解的存在性 394
9.3.3 差分格式解的守恒性和有界性 396
9.3.4 差分格式解的收敛性 397
9.3.5 数值算例 401
9.3.6 引理9.2的证明 402
9.4 小结与拓展 406
习题9 406
参考文献 408
索引 411
