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Cahn-Hilliard 方程作为一类重要的 4 阶非线性扩散方程，是相场建模中的经典方程。它最初由 Cahn 和 Hilliard 在 1958 年研究热力学中两种物质之间相互扩散现象时提出，已广泛应用于描述生物种群的竞争和排斥、河床迁移过程、固体表面微粒扩散等物理现象。
本文以二维 Cahn-Hilliard 方程为例，介绍 FEtch 系统在求解相场问题中的应用。
控制方程
微分形式
对于域 ，Cahn-Hilliard 方程为
边界条件为
初始条件为
在这里待求变量 为序参量(order parameter)。 和 为常数。 为系统自由能，是序参量 的函数。
由于一般的有限元方法只考虑在单元内计算待求变量的一阶导数，上面的四阶微分方程在一般的有限元方法中是没法求解的。为解决这个问题，导入一个新变量，即化学势函数 。这样，方程 (1) 可分解为以下两个二阶微分方程
弱形式
待求变量为 和 。根据变分原理，Cahn-Hilliard 方程的弱形式为：求解 满足
算例 1
本算例取自参考文献 [1]。考虑一个二维的 的正方形区域，四周为无流出的自然边界。
初始条件为： 值随机分布，取 ， 值为零。
模型参数为：，，。
求序参量 在 内的演化过程。
建模和网格剖分
采用通用前后处理软件 GiD 建模，并将网格剖分为 40 × 40 个线性四边形单元。
计算结果
时间步长取 ，共 1000 步。对计算结果稍加整理，效果如下。
序参量的演化过程
模拟结束时序参量的分布
该计算结果可以与参考文献 [1] 和 [2] 比较。由于采用的初始值、网格数和计算方法的不同，计算结果略有差异。
算例 2
本算例取自参考文献 [3] 的 Case Study-XI。考虑一个二维的 的正方形区域，四周为周期性边界条件。
初始条件为： 值随机分布，取 ， 值为零。
模型参数为：，，。
求序参量 在 内的演化过程。
建模和网格剖分
采用通用前后处理软件 GiD 建模，将网格剖分为 40 × 40 个线性四边形单元，并对边界节点施加周期性条件。
计算结果
为节省计算时间，本算例采用自适应时间步长策略。初始时间步长取 ，共使用了 467 个时间步。对计算结果稍加整理，效果如下。
序参量的演化过程
模拟结束时序参量的分布
观察发现，计算结果完全满足周期性边界条件的约束。与参考文献 [3] 计算结果进行比较，整体符合得很好，充分证明了算法和程序的有效性。
参考文献
[1] Cahn-Hilliard equation — FEniCS Project. https://fenicsproject.org/olddocs/dolfin/1.3.0/python/demo/documented/cahn-hilliard/python/documentation.html
[2] Cahn-Hilliard方程的有限元求解. https://zhuanlan.zhihu.com/p/341191075
[3] Biner S B. Programming phase-field modeling[M]. Switzerland: Springer International Publishing, 2017.
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