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指数平滑法对于预测来说是非常有帮助的，而且它对时间序列上面连续的值之间相关性没有要求（点击文末“阅读原文”获取完整代码数据）。
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但是，如果你想使用指数平滑法计算出预测区间，那么预测误差必须是不相关的， 而且必须是服从零均值、 方差不变的正态分布。即使指数平滑法对时间序列连续数值之间相关性没有要求，在某种情况下，我们可以通过考虑数据之间的相关性来创建更好的预测模型。
自回归移动平均模型（ ARIMA） 包含一个确定（explicit）的统计模型用于处理时间序列的不规则部分，它也允许不规则部分可以自相关。
我们以上海空气质量指数AQI做成的时间序列数据（查看文末了解数据免费获取方式）为例。随着时间增加， 数值变化很大。
下面是excel数据：
data=read.xlsx("上海空气质量指数 (1).xlsx")
head(data)
## 城市 日期 AQI指数
## 1 上海市 41640 193
## 2 上海市 41641 140
## 3 上海市 41642 195
## 4 上海市 41643 137
## 5 上海市 41644 83
## 6 上海市 41645 59
把数据转换成时间序列格式。
data=ts(data[,3],start = c(2014,1,1) ,frequency = 365)
查看数据概览
summary(data)
## Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
## 28.0 59.0 77.0 86.5 103.0 266.0
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平稳性检验（ADF单位根检验）
adf.test(data,k = 5)
## Augmented Dickey-Fuller Test
##
## data: data
## Dickey-Fuller = -9.987, Lag order = 5, p-value = 0.01
## alternative hypothesis: stationary
验出P值小于0.05，不存在单位根，说明原时间序列稳定。
找到合适的ARIMA模型
如果你的时间序列是平稳的，或者你通过做 n 次差分转化为一个平稳时间序列， 接下来就是要选择合适的 ARIMA模型，这意味着需要寻找 ARIMA(p,d,q)中合适的 p 值和 q 值。为了得到这些，通常需要检查[平稳时间序列的（自）相关图和偏相关图。
观察 ARIMA 模型的预测误差是否是平均值为 0 且方差为常数的正态分布（服从零均值、方差不变的正态分布） 是个好主意，同时也要观察连续预测误差是否（自）相关。
#AR(1)
model=arima(data,c(1,0,0))
AIC
model$aic
## [1] 8421.217
找到最小的AIC值
which.min(c(model$aic,model2$aic,model3$aic,model4$aic,model5$aic,model6$aic))
## [1] 5
所以最小的AIC是模型5，因此将模型5作为最优的模型来建模。
## Coefficients:
## Warning in sqrt(diag(x$var.coef)): 产生了NaNs
## ar1 ar2 ar3 ma1 ma2 intercept
## 1.4415 -1.3018 0.3937 -0.9435 0.7885 86.8142
评估误差
#MAE
mean(abs(model5$residuals))
## [1] 24.5714
#RMSE
mean(sqrt(abs(model5$residuals)))
## [1] 4.496127
预测未来的变化趋势
pred=ts(pre$pred,start = c(2016,5,1),frequency =365)
####绘制预测数据
points(pre$pred,
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本文选自《R语言ARIMA模型分析预测上海空气质量指数AQI时间序列》。
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