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论文解读者：毛佳豪
原文作者信息
Yuan X, Bi G, Fei Y, et al. Supply chain with random yield and financing[J]. Omega, 2021, 102: 102334.
DOI: 10.1016/j.omega.2020.102334
原文摘要总结如下：
考虑一个由资本充足的制造商、资本充足且可靠的供应商以及资本受限且收益随机的不可靠供应商（选择向银行融资）组成的供应链系统。它们之间的决策行为满足 Stackelberg 博弈：制造商为领导者，供应商为追随者。研究供应商的最优生产量和制造商的订购量。我们研究了考虑固定利率的制造商的最优采购策略。分析模型表明，当有外部融资时，最优采购策略取决于利率阈值。具体而言，如果利率低于阈值，则不可靠渠道占主导地位；否则，可靠渠道占主导地位。当融资不可用且可靠供应商的供应价格较高时，双渠道采购是最佳选择。另外，资本约束并不总是会降低不可靠供应商对制造商的吸引力。实际上，如果利率较低或不可靠供应商的初始资本较少，使用不可靠供应商的吸引力就会增加。文章表明，如果来自不可靠供应商的采购价格由制造商内生决定或需求是随机的，则不可靠供应商对制造商的吸引力会增加。
关键词：供应链金融、随机收益、资金短缺、渠道偏好
1 问题背景
由于经济全球化，北美的许多制造商开始从中国和印度等发展中国家不可靠(小但便宜)的供应商那里采购，如此可以通过降低采购成本从全球采购中获益。但由于不可靠供应商的产量不确定性，整体供应风险也随之增加。通常，制造商可以简单地选择增加不可靠供应商的订单数量，以缓解随机产量的负面影响。然而，当考虑到不可靠供应商的资金短缺时，情况可能会有所不同，因为不可靠供应商的生产决策受到融资情况(如银行利率)的影响，从而影响制造商的订购行为。事实上，在发展中国家，资金短缺和融资不足的情况并不少见。例如，中国有4000多万家中小企业，其中大多数面临资金短缺，迫切需要融资。但这些资金需求很难得到满足，因为银行(主要的融资渠道)通常更倾向于大企业而不是中小企业，有时融资利率也很高。
资金短缺和融资压力(即融资利率)对供应链整体影响显著。从不可靠供应商的角度来看，由于资金短缺，生产计划不仅取决于制造商的订单数量，还取决于供应商的初始资金水平和融资利率。从制造商的角度来看，当面对可靠和不可靠的供应商时，他可以选择唯一可靠的采购渠道，唯一不可靠的采购渠道，或者这两种渠道的混合，以平衡成本节约和供应风险之间的权衡。除了渠道选择之外，制造商还必须根据不可靠供应商的初始资金水平和银行的融资利率等因素，在两种不同类型的供应商之间决定订单数量的分配。
2 模型设置
2.1 模型描述
为了解决上述问题，文章考虑一个简单的供应链，由一个资金充足的制造商和两个供应商组成。一个供应商资金充足，生产可靠，而另一个供应商资金短缺，产量随机。为了克服资金短缺，不可靠的供应商可能会向银行借钱。由于中国等一些国家的利率是由外部因素控制的，在基本模型中，我们假设银行贷款利率是外生的。将制造商与供应商之间的互动关系建模为制造商为领导者，供应商为追随者的Stackelberg博弈。一开始，对制造商实现了一个确定的需求。通过观察可靠和不可靠的供应商以及银行，制造商可以决定每个供应商的最优订单数量，以最大化自己的利润。供应商接到制造商的采购订单后，开始生产。对于可靠的供应商，最优生产数量简单地等于制造商的订单数量，而对于不可靠的供应商，由于资金短缺和随机产量，最优生产数量将严重依赖于供应商的初始资金水平和银行利率。在生产出订单数量后，制造商就可以收货并满足需求。假设所有的供应链参与者都是风险中性的，并且供应链中不存在信息不对称。
2.2 符号及含义
2.3 事件发生顺序
① 供应链各成员观测到
② 制造商决策订货量
③ 不可靠供应商决策产量及贷款量，同时可靠供应商决策产量
④ 制造商接受两个供应商的产量，
⑤ 制造商支付采购价.
⑥ 供应商们获得采购收益，值得注意的是，如果不可靠供应商获得的收益不足以偿付银行借款，则他会破产.
3 不可靠供应商的最优决策
首先研究了Stackelberg对策中追随者(供应商)的优化问题。可靠供应商的最优生产数量，因为可靠供应商的产量是确定的，初始资金是充足的。因此，重点研究了不可靠供应商的优化问题，包括三种情况，分别是初始资本充足、初始资本有限和初始资本为零。
3.1 初始资金充足的不可靠供应商
当不可靠供应商的初始资金足够时，供应商不需要从银行融资，在给定生产数量下的利润为.
因此，不可靠供应商的期望利润可表示为:
求解上述方程，可以得到初始资金充足的不可靠供应商的最优生产数量。
3.2 初始资金有限的不可靠供应商
考虑不可靠供应商初始资本有限的情况，则不可靠供应商的期望利润可以表示为:
直观地说，生产率存在一个破产阈值，用表示，低于该阈值，不可靠的供应商将破产，即不可靠的供应商在将生产的订单出售给制造商后无法偿还银行的贷款。
令(销售收益刚好等于要还的本息，即不破产的边界)，根据的定义，可以将上式改写为:
当是生产数量的凹函数时，通过求该式，可以找到初始资金有限的不可靠供应商的最优生产数量。
研究发现，当利率较低时，不可靠的供应商会在生产过程中向银行借款，以满足制造商的订单;否则，不可靠的供应商不会向银行借钱，而是把所有的初始资金都花在生产上。一旦供应商决定向银行借款，最终的生产数量总是大于订单数量，以缓解随机产量的负面影响。
3.3 零初始资金的不可靠供应商
在零资本情况下，对于给定的订单数量，不可靠的供应商必须以利率r向银行借款。因此，不可靠的供应商的利润可以表示为:
与前面的情况类似，存在一个破产阈值.根据以上分析，可以改写为:
通过求解该式，我们可以找到初始资金为零的不可靠供应商的最优生产数量。主要结果与3.2 基本一致。此外，为了平衡边际利润和利息之间的权衡，可以直观地看出最优随增加而随减少。
4 制造商的最优决策
基于供应商的结果，本节研究领导者(制造商)的优化问题。作为Stackelberg博弈的领导者，制造商通过合理分配每个供应商的订单数量，有多种采购渠道选择，包括单独从可靠供应商采购，单独从不可靠供应商采购，以及同时从两个供应商采购。注意，在第一种情况下，结果很简单，制造商从可靠的供应商处订购了个单位的商品。在本节的其余部分中，我们将研究后两种情况。
4.1 仅从不可靠渠道采购(Sole-unreliable-sourcing channel,SUS)
当仅从不可靠的渠道采购时，制造商向供应商下订单，由于产量是随机的，不可靠供应商的已实现交货量为,则实现的销售额记为，因此制造商的期望利润为：
由于上游存在供应不确定性，因此就有，将制造商的期望利润改写为
通过求解该式，我们可以得到不可靠供应商对制造商的最优订货量.
研究表明，当利率增加时，制造商的订单数量增加，而供应商的生产数量减少。简单地说，在给定的订单数量下，很明显，供应商将减少生产以缓解利率上升的负面影响。在这种情况下，制造商不得不增加他的订单数量，以获得足够的交货。当利率较低时，在供应商为零资本的情况下，制造商受益;否则，制造商更喜欢一个不可靠的供应商有足够的资金。直觉是，在低利率的情况下，与资金充足的供应商相比，零资本的供应商倾向于生产更多的产品以避免破产。因此，对制造商的期望交付量更高，而这反过来又通过在开始时减少订单数量而使制造商受益。
现在我们将SUS场景与单一可靠来源(SRS)场景进行比较。在SRS的情况下，最优订单和生产数量都是，因此，制造商的最终利润为。将表示为SUS和SRS情况下的预期利润之差，我们有:
令，我们可以找到r的一个收益无差别的阈值，表示为，在该阈值以下(偏爱SUS)，(偏爱SRS优先)。从可靠供应商处获得的单位采购价格相对较低， 则即使利率为零，制造商也总是倾向于SRS。进一步分析对供应链参数的依赖关系，可以发现，作为不可靠供应商的额外成本，可以直观地看出随的增加而关于递减。当零售价格增加时，由于边际利润较高，制造商倾向于向可靠的供应商订购更多的产品，以降低需求损失的风险。因此，较小，表示不可靠供应商的竞争力下降。和D之间的独立性意味着市场需求只是一种规模效应，并不影响制造商的渠道选择。
4.2 混合渠道采购(Mixed reliable and unreliable sourcing channel)
当制造商选择从可靠和不可靠的渠道采购时，即从混合渠道采购时，实现的交货分别为和.因此，制造商的期望利润为
需要注意的是，当考虑有限初始资本和利率的影响时，很难推导出上式的分析结果，因此通过数值实验显示它们如何共同影响制造商的渠道决策。
通过代入上述期望利润表达式中和的不同对值，可以分析出制造商的渠道偏好如表2所示。为简化起见，将单一可靠采购、单一不可靠采购和混合采购的渠道偏好分别表示为、和.
在表2中，虚线表示不可靠供应商的适当边界，在该边界以下，供应商拥有足够的初始资金。由表可知，当利率和初始资金水平较高时，唯一可靠的采购渠道是制造商的最优渠道选择。当利率和初试资金较低时，唯一不可靠的采购方式是最优的。其解释如下:(1)对于任意给定的，当增加时，不可靠供应商倾向于减少生产以节省成本。因此，制造商必须增加订单数量以克服随机产量的影响，直到他发现从可靠的供应商订购更有利可图;(2)对于任意给定的，当增加时，不可靠供应商对破产更敏感，会减少生产。同样，制造商也不会被不可靠的渠道所吸引。
为了进一步分析制造商的渠道偏好，将的值从0.625略微改变为0.725，其余参数保持不变。结果如表3所示。当可靠供应商的采购价格较大时，制造商更倾向于选择不可靠的供应商。由表3可知，当不可靠供应商资金充足（）时，最优选择为不可靠渠道。然而, 当不可靠供应商面临资金约束（）时，对于给定（），如果利率较低，不可靠渠道仍然是唯一的最优渠道;否则，双通道采购是最优的。这是因为当供应商面临资金约束时，相对较低的利率刺激不可靠的供应商借贷并生产更多产品，这使得不可靠的渠道更具吸引力。然而，当利率较高时，不可靠渠道没有借贷的动机，因此，生产数量较低，使得制造商仅使用不可靠渠道的风险较高。在这种情况下，不可靠的供应商不会选择银行贷款，制造商会先向不可靠的供应商订货，然后再向可靠的供应商订货(即使用双源)。对于给定（），即使不可靠供应商面临资金约束，不可靠渠道仍然是唯一的最优渠道。出现这种例外的原因是，当供应商的初始资本较大时，产量也较大，如果随机产量因子的实现值较大，则制造商有可能通过不可靠渠道的交付来满足市场需求。在这种情况下，如果制造商也从可靠的渠道采购，那么新产生的库存过剩风险和高采购成本将降低制造商的预期利润。
表2和表3所示的结果可以总结如下:给定初始资本水平，存在一个利率门槛来分离渠道偏好，这与定理5.1和命题5.2是一致的。命题5.2暗示单一渠道采购并不总是最优策略，制造商在做出采购渠道决策前应考虑供应商的利率和资本状况。通过改变混合采购策略下制造商期望利润中或的值，可以分别计算出制造商和供应商的最终订单和生产数量。结果如图2和图3所示。
从图2和图3中，随着利率或初始资本水平的增加，我们可以观察到:(1)制造商从可靠供应商处订购的数量增加;(2)制造商从不可靠供应商处订购的数量先增加后减少到零;(3)不可靠供应商的生产数量总是大于相应的订单数量。
不可靠供应商的均衡订货量在初始资金水平和利率水平下均增加，但不可靠供应商的均衡产量随这两个参数的变化呈负相关。直观的解释是，随着或的增加，生产数量有限责任的激励减弱，使得不可靠供应商在给定订单下的产量减少，这促使制造商增加订单数量以阻止产量下降。然而，高利率并不能增加不可靠供应商帮助弥补利率负面影响的实际能力，但高初始资本水平却可以。
5 结论
文章考虑一个两级供应链模型，其中制造商可以从两个渠道订货:一个是可靠的，另一个是面临资本约束和随机产量的。因此，我们发现单一采购渠道几乎总是最优的采购选择，除非这两个渠道是相同的，或者占主导地位的不可靠渠道面临资本约束和过高的利率。存在一个利率阈值将两种渠道的优势分开:当利率低于阈值时，不可靠渠道占主导地位;否则，可靠的频道占主导地位。利率阈值受批发价格和零售价格的影响，但与需求的绝对值无关。
除利率因素外，当可靠渠道的批发价格较高，而不可靠渠道无法获得融资时，双源可能是最优决策。令人惊讶的是，在低利率的情况下，与不可靠的供应商拥有充足的初始资本的情况相比，制造商从资本受限的供应商那里获得的利润更多。此外，我们的数值例子还表明，如果资本水平或利率较低，资本约束可以使不可靠的供应商成为主导，即使它有足够的初始资本也不会占主导地位。此外，在资本约束情景下，制造商和供应商的均衡预期利润在不可靠渠道上随着初始资本水平和利率下降。
研究还表明，在某些情况下，单一采购并非最佳选择。资金紧张和缺乏融资选择不可靠的供应商可以使双源采购成为制造商的最优决策。在不可靠供应商存在资金约束的情况下，低利率或较小的初始资金水平可以使处于被支配地位的不可靠供应商转变为处于支配地位的不可靠供应商，甚至对供应商和制造商都有好处（尽管资金约束和融资会给不可靠供应商带来破产风险和更高的成本。）有趣的是，资本约束并不总是降低不可靠供应商对制造商的吸引力;如果利率相对较低，资本约束实际上可以增加吸引力。
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推文作者：毛佳豪
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