封面图来源：
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编者按
本次解读的文章发表于 Operations Research，原文信息：Shaoxiang, Chen, and Marc Lambrecht. "XY band and modified (s, S) policy." Operations Research 44.6 (1996): 1013-1019.
1. 介绍
本次解读的文章讨论了生产和库存模型中一个最基本的问题，即单产品、周期性盘点的库存补货系统。该系统可被描述为：在每个时间周期的开始，系统盘点库存水平，随后必须做出订购多少的决策，订单将在固定的交付时间后到达；物品的需求为随机变量，且每个周期的需求独立同分布；单周期的预期持有和短缺成本函数假设为凸，订货成本中包含固定成本；每个周期订单数量有限，并且任何一个周期内未满足的需求将全部积压并在未来满足。
在文献中，最有订货策略可通过固定订货成本与订单数量上限的数值情况来分类讨论：
对于固定订货成本 且每周期的订单数量是无限的，最优的订购策略为：订购足够的数量将库存补充至. 该策略被称为基础库存策略 (base-stock policy)。 对于固定订货成本 且订单数量有限，即的情况，最优库存策略由 Federgruen and Zipkin (1986) 给出：当订单数量空间重组时遵循基础库存策略，当规定的订单数量超过上限时，订购尽可能多的数量。 若 且 ，则最优策略为 策略：当库存水平低于订货点临界值时，订购足够的数量以将库存总量提升至；否则不订购。 当 且 ，对情况3下的 策略进行扩展，可引出订货量有限时改进的 策略，如 Federgruen and Zipkin 所述：当库存水平低于临界值 时，订购足够的数量以将总库存提升至，或尽可能接近该水平；否则不应订购。
文章针对第四种情况，证明了改进的 策略对于有限订货量问题不是最优的。而实际的最优策略表现出了一种特殊的结构：区间；该结构表明，当库存水平低于时，订购至订货量上限；当库存水平高于时不订购。然而库存水平在、之间时，不同问题的订货模式是不同的。
2. 模型
假设某一时期的需求是非负离散的随机变量，且每个周期的需求独立同分布，其概率分布为, . 同时假设需求存在上界，其中为正整数。考虑单周期折现因子以及订单容量上限（正整数），令表示在一个周期内下订单前的库存水平，表示下订单后满足需求前的库存水平。每周期的成本为，其中 为固定订购成本，为单位成本，为订单容量，, , . 令表示单周期的预期持有和短缺惩罚成本函数，假设为凸，且, 表示当周期初始库存水平为且在遵循最优策略下的期望折现成本。则该问题可通过如下动态规划表示：
为了保证 （收敛），需要对概率分布或成本函数，甚至两者都做出假设。为了避免此问题，文章假设需求是有限的，即存在一个上界，使得，或 .
文章定义 为：
则
假设 ，其中（可通过 的连续性证明）。则最优策略为：
上式中，如果 ，那么 且 都是最优的。因此文章在后文中选择任何一个作为最优决策。
3. X 与 Y 界限
X界限
引理 1 存在，使得对于所有 且 ，最优策略为订购至订单上限，即 .
注意到 ，根据 的定义和，设 满足下式的最大值：
即 是单周期模型中满足最优策略，即按最大订单量上线订购时的最大库存水平。
若，则 ； 若 ，则满足 的最大值.
令 . 从图形上和可以如下确定：
引理1可引出如下性质：
(a) 当时， 为递减函数。
(b) 当时， 为递减函数。
(c) 对于.
(d) 对于.
Y 界限
命题 1. 对于任意 且 ，存在 ，使得对于任意 ，有：，其中
首先考虑 的情况。令为 取得最小值的点。因是 取得最小值的点，则显然. 文章通过引理2证明，是当时的全局 界限。
引理 2. 若 ，则对于所有 且 ， ，即如果期初库存水平为 ，则最优策略是不订货。特别地，以下内容成立：
(e) 对于所有 和 .
(f) 对于所有 ，且 .
(g) 对于所有 .
例 1. 设 ，其中 表示每期每单位的持有成本，表示每期每单位的短缺成本，需求分布为 , . 通过动态规划计算出的20个周期对于不同起始库存最优订购数量如下所示。在改进的策略下，订购量应为每周期起始库存水平的非递增函数。
从例 1 中可以观察到：
从第2期到第20期的最优订购策略不符合改进的 类型。 最优订购量始终为 ，如果 或 则始终为 0，并且这一点对所有周期都成立。
这表明存在两个库存水平界限，和 ，分别是下界和上界，即如果期初库存水平小于等于，最优决策是按最大订货量订购；如果库存水平大于或等于 ，则不订购。本例的单周期期望持有和短缺成本函数可以写作
对于本例，显然，. 因此，根据引理1和引理2，，，最优策略可被描述为：
例 2. 设 ，且 , .
通过单周期预期持有成本和短缺成本函数可得出 . 因此，根据引理1，. 如果引理2仍然成立，那么应为：. 然而，通过动态规划计算出的最优订购量 如下所示：
显然，随着 的增加，界限也在增加。在这个例子中，每个周期的预期需求为 7，小于订货量上限. 因此，即使将引理 2 中的假设放宽为，仍然很难看出全局界限的存在。文章随后证明了界限确实存在。
对于的情况，文章额外假设 对于一些非负整数 和某些正常数和. 该意味着 是多项式有界的。否则，可能在 增加时发散。令. 由于 ，所以是有限值。令为满足的最小整数，文章证明是一个全局界限，与无关。因此，假设期初库存大于或等于，并且还有个周期，那么问题是：现在应该订购吗？
首先，如果 ，那么现在（以及未来）不应订购任何东西，因为期初库存已经足够高，可以满足剩余个周期的所有可能需求。
对于，考虑两种情况：(1) 不订购，以及 (2) 订购 个单位。假设
a. 对于(2)，在剩余的个周期内遵循最优的订货策略（第一个周期的决策已经做出）；
b. 在每个未来期间，(1) 中的系统将订购与 (2) 中相同的订货量。
设 和 为 (1) 和 (2) 下的期望折现成本，设() 为情况(1)（情况(2)）中在期订货决策后但在需求被满足前的库存水平。那么很显然，对于任意的需求，有. 由于
因此可以得出
直观上看，情况(1)的库存持有成本将低于情况(2)，但短缺惩罚成本可能较低。然而，由于起始库存非常高 ()，第一次短缺可能至少在个周期后才发生。而至少在前个周期内成立，但由于的凸性，随着减少而增加。然而，每个周期最多减少个单位。因此，显然有
这个结果证明了当 时，不订货是最优的。
4 结论
文章通过引入X-Y区间和改进的(s,S)策略，为库存管理领域提供了新的理论工具，特别是在处理具有随机需求和产能约束的复杂情境下。这一模型的核心贡献在于通过划定库存水平的不同区间，明确了在何种库存水平下应当订购，以及在何种条件下应停止订购。
参考文献
Shaoxiang, Chen, and Marc Lambrecht. "XY band and modified (s, S) policy." Operations Research 44.6 (1996): 1013-1019.
Federgruen, Awi, and Paul Zipkin. "An inventory model with limited production capacity and uncertain demands I. The average-cost criterion." Mathematics of Operations Research 11.2 (1986): 193-207.
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文章须知
文章作者：Shaoxiang Chen, Lambrecht Marc
文献解读：马玺渊
责任编辑：马玺渊
微信编辑：疑疑
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