杨佳心 宋峰
南开大学物理科学学院
A部分 腔内的微观粒子(1.4分)
A.1(0.4分)
势阱的宽度(L)应该等于德布罗意驻波波长λdB的一半，即
L=λdB/2
而德布罗意驻波波长
λdB =h/p
其中，h是普朗克常量，p是粒子的动量。因此有
p=h/λdB =h/(2L)
粒子的最小可能能量为
Emin =p2/(2m)= h2/(8mL2)
A.2(0.6分)
势阱应该适合德布罗意半波长的整数倍
L = (1/2)λ(n)dB∙n, n = 1,2,....
因此，粒子的动量，对应于德布罗意波长λ(n)dB
===
pn = h/λ(n)dB= hn/(2L)
相应能量为
En =p2n/(2m)= h2n2/(8mL2) , n = 1,2,3,.... (1)
A.3(0.4分)
发射光子的能量
E = hc/λ
其中，c为光速，λ为光子波长。跃迁时的能量差ΔE = E2 -E1 ，因此
λ21 = hc/(E2 -E1)= 8mcL2/(3h)
A部分是关于光量子的基本概念题，只要对于辐射跃迁有基本了解，就可以做出来。
B部分 分子的光学性质(2.1分)
B.1(0.8分)
考虑到泡利不相容原理，每个能级En被自旋方向相反的两个电子占据。结果，10 个电子填充最低的5 个态，并且最长波长的光子的吸收对应于一个电子从被占据的跃迁E5至未被占据的E6能量状态的跃迁，即
hc/λ= E6 -E5
其中，E6和E5可以通过公式(1)得到，其中m为电子质量me。因此，可以得到：
这一结果与Cy5 吸收光谱峰位的实验值完全一致。
B.2(0.4分)
在Cy3 分子的类似模型中，长度为L=8.5l 的盒子中有8 个电子，因此光子的吸收对应于E4→E5跃迁。考虑到问题B1的结果，我们得到
例如，Cy3 分子的吸收光谱比Cy5 分子的吸收光谱蓝移了Δλ≈129 nm。实验值为λ(exp)Cy3 = 548 nm ，因此，我们的模型很好地捕捉到了这些染料分子的一般性质。
B.3(0.7分)
由题意，有
K = kεα0hβλγdδ (2)
相关量的SI 单位为：
通过将这些表达式代入公式(2)，得到一个简单的关于未知量α，β，γ，δ的线性方程组
2α + δ = 0， -α + β = 0，4α -β + δ = -1，-3α + 2β + γ + δ = 0
解得
α = β = -1，γ = -3，δ = 2
所以自发辐射的速率为：
B.4(0.2分)
利用问题B.2 的结果，并将跃迁偶极矩表示为d= 2.4el，我们从式(3)得到
B部分考察了分子的光学性质，从玻尔量子论的关系式，很容易得到辐射波长。由量纲分析可以得到自发辐射速率。
C部分 玻色-爱因斯坦凝聚(1.5分)
C.1(0.4分)
在温度T 下，平均平动动能为(3/2)kBT 。将这个结果等于p2/(2m) ，因此，动量为
德布罗意波长为
。
C.2(0.5分)
每个粒子的体积V/N近似为ℓ3，因此ℓ =n-1/3，其中n = N/V，而ℓ = λdB，因此
Tc = h2n2/ 3/(3mkB)
C.3(0.6分)
使用前面问题的答案，有
nc =(3mkBTc)3/ 2 /h3
由理想气体的状态方程
n0 = p/(kBT)
代入数值，计算得到
nc ≈ 1.59∙1018m-3 和n0/nc ≈ 1.5∙107 。
C部分考察了分子动理论和量子论，结合相关公式就能得到所求的结果。
D部分 三光束光学晶格(5.0分)
D.1(1.4分)
我们对三个电场(z 分量)求和
并将结果平方
时间平均给出
简化为
这里
或者用Levi- Civita 符号 来表示。顺便说一下，它们被称为倒易晶格矢量。
D.2(0.5分)
观察旋转60°将三个向量 映射成重新标记的
的三元组。
D.3(1.2分)
我们发现
并推断
这个势有一个简单的余弦形式，原点在一个明显的极小值。它的最小值出现在Δx = 4π/(3k) 的倍数处。在任意两个最小值之间的中点，例如在x = Δx/2 = 2π/(3k) 处，函数VX(x)具有最大值。
沿着y轴，有
寻找极值，我们发现
sin 2φ + sin φ = 0. (11)
》 φ = 0 (对应y=0)是“深”最小值——晶格位置;
》 φ = π (对应)是“浅”最小值(后来显示为V(x,y)的鞍点);
》 φ = 2π/3 和φ = 4π/3 ( 对应和y =
)为最大值。
D.4(0.8分)
回顾上一个问题中发现的最小值，并消除(0， )处的鞍点。势能的实际最小值为：
》 (0,0)在原点；
》 (4π/(3k),0)，沿x 轴正向最靠近原点。根据对称性，在相对于x 轴的0°方向、60°方向、120°方向和180°方向上有六个等价的最近极小值。
最近极小值之间的距离(晶格常数)α = 4π/(3k).假设激光波长是λlas = 2π/k，得到α=δx= 2λlas/3，因此α/λlas = 2/3。
最近的最小值之间的距离( 晶格常数)α = 4π/(3k) 。已知激光波长为λlas=2π/k，有α = Δx = 2λlas/3 ，因此α/λlas = 2/3 。
D.5(1.1分)
原子的核心电子(除了提升到具有高主量子数n 的状态的电子以外)屏蔽了原子核的电场，因此外层电子的有效电势类似于氢原子的电势。作用在电子上的吸引力为F = e2 /(4πε0r2) ，产生了向心加速度a = υ2 /r 。
由F =mea ，并使用角动量meυr = nℏ 的表达式,消掉速度，就可以找到与半径为r=λlas的轨道相对应的量子数n
D1-D4 部分的计算虽然看上去相对较难，不过从物理上来看，其实很简单，就是三束光叠加。对于计算得到的结果进行分析，就可以解出此题。D5利用电子绕原子核做圆周运动的简单模型，可以容易得到量子数。解题时根据题目的提醒，一步一步地操作即可。
文章头图由“智谱清言”绘制而成。
END
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