在考研数学一中，概率与统计是其中的一个重要组成部分。它不仅考察考生对基本概率理论和统计推断的理解，还要求考生具备灵活应用这些概念解决复杂问题的能力。本期将介绍矩估计和极大似然估计，深入剖析常见的错误与应对策略。
1. 矩估计法
矩估计法是通过样本矩来估计总体参数的一种方法，基本思想是用样本矩去逼近总体矩，从而建立估计方程。给定随机变量的概率分布，首先计算样本矩（样本均值、样本方差等），然后通过样本矩和理论矩的等式关系，解出未知参数。注意，矩估计法有时可能出现多组解，这时需要仔细检验哪一组解是合理的参数估计值。
具体步骤如下图所示：
2. 极大似然估计法（MLE）
极大似然估计法是通过最大化样本的似然函数来估计未知参数的方法，对于离散总体，似然函数表示为样本观测值出现的概率；对连续总体，似然函数可以用联合概率密度函数来表示。在构造出似然函数后，对参数求偏导数，令其导数为零，解出参数估计值。有时求解的参数估计值可能是极小值，而非极大值，因此需要检验二阶导数或判断边界条件。
极大似然估计法是通过最大化样本数据的似然函数来估计参数。其步骤如下图所示：
接下来，我们来看一道简单例题：
在掌握了矩估计法和极大似然估计法的基本运用之后，我们来尝试做一道考研真题。
题目分析如下图所示：
附标准答案：
小结：矩估计和极大似然估计是是考研概率与统计部分的重要知识点，同学们需要牢记其中的步骤，灵活运用。其计算量普遍较大，在做题时需要注意计算过程中的每一步，仔细计算。最后，祝愿每位同学在学习的过程中不断进步，收获满满的知识与乐趣。
END
策 划|本科生学业指导中心
图 文|杨玉峰
编 辑|潘振卿
初 审|官子涵
复 审|陈祚瑜
审 核|尚文浩
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