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梯度下降是一种基本且广泛应用于机器学习领域的优化算法，主要用于最小化损失函数，从而提升模型预测能力。本文详细介绍了梯度的数学定义及其几何意义，阐述了梯度下降的原理、算法步骤，并通过实例和流程图说明了迭代过程的动态变化
1. 什么是梯度 2. 什么是梯度下降 3. 梯度下降迭代过程的流程图 第1次迭代 中间次迭代 最后一次迭代
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1. 什么是梯度
梯度是一个向量，用来表示一个函数在某一点的变化率和变化方向。
在数学中，梯度是多元函数的一阶偏导数的向量，表示在该点上函数值变化最快的方向。
对于一个函数 ，它的梯度用符号 表示，形式为：
其几何意义是：梯度的方向指向函数值增长最快的方向，梯度的大小表示增长速率。
直观理解：
在二维空间中，梯度可以理解为山坡上的坡度。如果函数 是一个山的高度图，则梯度指向最陡峭的上坡方向。
梯度的大小表示这个方向上函数值的变化率有多快。
在机器学习中，梯度常被用来衡量损失函数相对于模型参数的变化，用以指导参数优化。
2. 什么是梯度下降
梯度下降是一种优化算法，广泛应用于机器学习和深度学习中，用于最小化目标函数（通常是损失函数）。
损失函数最小，就可以让模型和实际值的距离最近，从而能使模型更好的预测
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梯度下降利用梯度提供的方向信息，在多维空间中沿着函数值下降最快的方向（梯度的负方向）移动，从而找到函数的局部最小值或全局最小值。
算法步骤：
其中： 是当前参数值。 是学习率（步长），控制每次更新的幅度。 是损失函数的梯度。
图：损失曲线，模型在多次迭代后收敛
直观理解：
梯度下降可以类比为在一个山谷中寻找最低点。每次按照梯度的负方向“下坡”，直到达到最小值（或停止移动）。
人们被困在山中，试图下山（即，试图找到全局最小值）。由于浓雾，能见度极低。因此，山下的路径不可见，他们必须利用局部信息来寻找最小值。他们可以使用梯度下降的方法，这涉及到查看他们当前位置的坡度，然后朝着最陡的下降方向（即下山）前进。
如果他们试图找到山顶（即最大值），那么他们将朝着最陡的上升方向（即上山）前进。
使用这种方法，他们最终将找到下山的路，或者可能会被困在某个洞里（即局部最小值或鞍点），就像一个山湖(这需要使用动量梯度下降、随机梯度下降等)。
3. 梯度下降迭代过程的流程图
下图展示了梯度下降的完整迭代过程，从初始化参数到最终收敛。
如通过面积预测房价的模型：
在训练过程中的三个时间点绘制了模型快照：开始、中间和结束。
通过训练过程中直观呈现模型的快照状态，有助于加深对更新权重和偏差、降低损失和模型收敛之间的联系的理解。
第1次迭代
在下图中，我们可以看到，在第1次迭代左右，由于损失较大，模型无法很好地进行预测。
中间次迭代
在第 5 次迭代左右，我们可以看到，梯度下降法找到了生成更好模型的权重和偏差。
最后一次迭代
在第 20 次迭代左右，我们可以看到模型已收敛，生成了损失可能最低的模型
梯度下降算法是机器学习中不可或缺的优化工具，其高效性和简洁性为模型训练和参数优化提供了可靠的解决方案。
然而，算法的性能仍受限于学习率选择、局部最小值困境等问题，需结合如动量法、自适应梯度优化等改进策略以进一步提升效果。
理解并掌握梯度下降，不仅能帮助我们构建更精确的模型，更能深刻感受数学在机器学习中的核心作用。
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