写在前面： 伴随着无线系统的平滑演进，未来网络将有望集成感知功能并进一步推动通信与感知从分离走向融合，实现通信感知一体化（ISAC） 。当前，基于5G新空口（New Radio, NR）的通感一体设计主要利用包括DMRS、CSI-RS等在内的物理层参考信号（即“导频”信号）感知，在典型NR帧结构中，导频信号在时频域上的占比仅在10%左右，亟需复用通信数据信号所占据的90%时频资源实现通感一体，提升资源利用效率，赋予6G空口高精度感知能力。从信号设计层面来看，ISAC系统存在如下的“确定-随机”折衷 关系： 感知系统通常采用确定信号 实现目标检测与参数估计，而通信系统 系统则必须采用随机信号 来传递有用的信息。因此，随机ISAC信号使得感知性能将在信号的各次实现出现随机起伏波动。 为了刻画随机ISAC信号下的平均感知性能 ，本文首先定义了针对随机信号体制的遍历性感知度量，即遍历线性最小均方误差（ELMMSE）。接着 ， 本文考虑感知场景下最小化ELMMSE设计，研究了一种数据依赖预编码（Data-dependent precoding, DDP）设计方案，该方案以较高的实现开销为代价获得了最优感知性能。 为了降低计算开销，本文研究了一种基于随机梯度投影（SGP） 的数据无关预编码（Da ta-independent precoding, DIP）方案， 以 实现性能与计算复杂度的灵活折 衷， 并对高 信噪比（SNR ）场景 E LMMSE的近似表达式进行优化设计，推导最优预编码结构 。 进一步地 ，本文将所提出的DDP和DIP方案以及高SNR场景 的 预编码方案扩展到ISAC场景 。 仿真结果表明， 与将信号样本协方差矩阵视为确定性的传统ISAC预编码方案相比，所提出的DDP和DIP方法取得了较高的性能提升，表明随机ISAC信号需要采用专门的预编码设计。
Random ISAC Signals Deserve Dedicated Precoding 作者：
卢仕航 ① 刘凡 ② 董福王 ① 熊 一枫 ③ 许杰 ④ 刘亚锋 ⑤ 金石 ②
① 大学 )
② )
③ 北京邮电 大学 )
④ 香港中文大学（深圳） )
⑤ 中国科学院数学与系统科学研究院 )
Citation: S. Lu, F. Liu*, F. Dong, Y. Xiong, J. Xu, Y.-F. Liu, and S. Jin, "Random ISAC Signals Deserve Dedicated Precoding," IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 72, pp. 3453-3469, 2024.
Available: https://ieeexplore.ieee.org/document/10596930
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一、背景介绍和研究动机 在一体化信号设计的体制下，感知性能（例如感知精度、检测概率等）与通信性能（例如通信速率、误码率等）往往存在相互制约、此消彼长的关系，ISAC系统将不可能同时达到通信最优和感知最优性能，于是不可避免地在两者之间产生性能折衷。图1展示了单输入单输出（SISO）ISAC系统最优信号，感知性能最优为恒模星座，通信最优为高斯星座。可以看出，为提升通信速率, 需要让发射的信号尽量随机, 以携带更多信息; 而若要考虑感知性能, 则需要发射较为确定的信号, 以确保感知性能稳定 。这一折衷关系，被称为“确定-随机”折衷。 图1: 单输入单输出（SISO）ISAC系统最优信号，（a）感知最优：恒模星座；（b）通信最优：高斯星座
目前，基于5G NR的ISAC设计主要利用物理层参考信号实现目标感知。 然而，在典型的NR帧结构中，参考信号仅占时频域资源的10%左右。 可以预见的是，复用 随机通信数据信号 所占用的90%的时频资源来实现目标信息感知，可以进一步提升系统资源利用率和感知性能。 为揭示随机信号实现感知的理论机理，还需要回答以下两个问题： 如何刻画随机信号下的感知性能？ 如何优化提升通信与感知性能？
图2: 随机ISAC信号传输场景
二、通感性能指标和系统模型 我们考虑如图2所示的MIMO-ISAC系统， 信号模型可以表示为如下经典高斯线性模型：
其中， 表示发射信号矩阵， 表示待设计的预编码矩阵， 表示随机信号， 根发射天线，相干帧的长度为 。使用随机的一体化信号对目标响应矩阵 进行估计，同时最大化点对点MIMO信道的通信速率。 注意到感知估计误差(LMMSE)将在信号的各次实现出现随机波动，我们应当关注系统平均意义下的感知性能，而非某次特定实现。为了刻画信号随机性对感知性能的作用机理，定义遍历性LMMSE(ELMMSE)表示为关于随机信号 的均值，表示为：
基于Jensen不等式和Wishart矩阵的分布可以证明，使用确定信号进行感知的估计误差是随机信号估计误差的一个下界，有如下不等式关系： 其中(a)使用了Jensen不等式，(b)使用了Wishart矩阵的分布，同时等号成立的条件为发射确定的正交信号或信号的相干帧长度趋近于无穷大。图3展示了使用高斯信号和确定的正交信号下感知估计误差对比曲线，可以看出随着相干帧长逐渐增大，随机信号的感知性能逐渐趋近于确定信号。 图3: 随机信号和确定信号平均估计误差对比
进一步地，考虑通信速率约束，则面向随机信号体制下预编码设计可以表示为如下随机优化问题： 其中， 表示功率约束的凸集合。上述随机优化问题的求解思路有：
对目标函数取大样本近似，将其拆分为多个并行确定性优化问题； 获取关于目标函数均值的闭式表达式，寻求问题的解析解。 接下来，我们将展示使用上述思路首先求解感知最优场景的预编码矩阵，并进一步扩展到通感一体场景。 三、感知最优预编码设计 为最小化平均估计误差，本文提出了三种预编码方法，称为数据依赖预编码、数据无关预编码和高SNR近似下预编码，具体如下。 3.1 数据依赖预编码（Data-dependent Precoding, DDP）其中， 表示第 次信号样本的实现。 注意到在单站场景中，基站完美已知发射信号的各次实现，可以根据信号的各次实现来设计预编码矩阵，我们称之为数据依赖预编码设计。因此，感知最优设计可以表示为如下 个并行的子问题： 能够证明上述问题具有闭式解，最优预编码矩阵为一个"修改版"注水结构，通过求 解上述 个并行的子问题，获得最优预编码矩阵集合，表示为： 然而，考虑到部署复杂度过高，即预编码矩阵需要在信号各次实现中不断改变，我们基于随机优化的方法设计了另外一种数据无关预编码，即预编码矩阵不随着信号各次实现而改变。 3.2 数据无关预编码（Data-independent Precoding, DIP） 注意到感知最优场景中预编码矩阵的可行域为功率约束，是一个凸集，为此可以基于随机梯度投影的方法求解。该算法的核心思想是，在梯度下降时选取部分样本实现下目标函数的梯度进行梯度下降，可以视作是真实梯度的无偏估计，在获得预编码矩阵后投影到功率约束集上，表示为：
为了使得随机梯度下降算法收敛，步长的选取需要满足一阶不可和但二阶可和条件。为了进一步加速随机梯度算法的收敛速度，减少迭代次数，我们在迭代过程中增加了momentum信息，这一momentum-based随机梯度投影（MB-SGP）算法的变量迭代格式为：
不难发现，相较于DDP方法，DIP预编码的具有复杂度-性能折衷的优势，只需要感知信道的二阶统计信息，即离线部署在基站侧。然而，此类迭代的方法的缺陷在于预编码矩阵不再具有解析解。 3.3 高SNR近似下预编码方法
为了充分挖掘预编码矩阵结构，通过随机矩阵和逆Wishart矩阵的 分布 ， 本文推导了高SNR场景下ELMMSE的近似表达式，基于近似表达式 设计 预编码矩阵。在高SNR场景中， 仿真结果表示近似式和数值结果高度一致。 图4: 高SNR场景中本文所推导近似表达式和数值结果
进一步地，本文基于ELMMSE的近似表达式，挖掘了最优预编码矩阵的解析结构，将原问题从高维矩阵随机优化问题转化为一个低维向量确定性优化的功率分配问题，并进一步实现了优化问题求解的变量降维。
四、通感一体场景预编码设计 通感一体场景预编码设计可以表示为如下带有通信速率约束的随机优化问题 基于我们在感知最优场景中预编码设计的结果，我们考虑了一体化场景中的三种预编码设计方案：数据依赖预编码、数据无关预编码和高SNR场景预编码设计，分别采用了基于罚函数的交替优化、基于罚函数的随机梯度投影和连续凸近似算法来求解上述优化问题。 五、数值仿真 本文在感知最优场景中对比了确定信号下的"注水"形式预编码结构，在一体化场景中对比了忽略信号随机性设计的预编码结构，部分仿真结果如下。 图5展示了感知最优场景下各预编码设计的平均估计性能，可以看出，数据依赖预编码方案DDP具有最好的感知性能（部署复杂度较高），DIP方案（部署复杂度较低）略优于"注水"形式预编码，同时高SNR场景的预编码设计方法（具有最优结构）的感知性能和DIP相当。
图6展示了在收发天线设置为32，改变信号相干帧长度和发射总功率时感知性能的变化曲线。可以看出，随着相干帧长度越来越大，随机信号的感知性能趋近于使用确定性的正交信号。这是由于随着相干帧长度大于发射天线数，信号各次实现下的样本协方差矩阵趋近于随机信号的统计协方差矩阵（单位阵），即和使用确定性的正交信号的感知性能相当。
图7: 通感一体场景
图7展示了通感一体场景中，忽略信号随机性下进行预编码设计(记作”DetOpt“)与本文所提的DDP方案和DIP方案的性能折衷曲线。可以发现，传统忽略信号随机性设计，即认为信号样本协方差矩阵近似等于统计协方差矩阵，在估计误差一致的情况下，与本文所提DIP方案有着约3~4 bps/Hz的通信性能损失。这表明基于随机信号体制下的ISAC系统需要专用的预编码设计。 六、总结与展望 本文对随机信号体制下的通感一体化系统开展预编码设计，通过定义平均估计误差刻画信号随机性对感知性能的影响，理论证明了使用确定信号的感知性能为随机信号的一个下界。进一步地，本文面向单站MIMO-ISAC系统，设计了三种预编码结构，即数据依赖预编码、数据无关预编码和高SNR场景预编码，仿真结果验证了本文所提方案的有效性。
本文的 研究可以视作通信与感知系统在信号设计层面“ 确定- 随机 ”折衷的一个重要用例，未来研究可以考虑信号随机性对距离估计精度和检测概率等面向感知业务的性能指标影响，同时考虑多个感知目标和多个通信用户下系统资源分配层面的优化设计、鲁棒性设计等。
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