本文首先探讨了OFDM随机信号的模糊函数特征，并证明随机旁瓣由星座符号幅度的四阶矩决定。接着，提出一种最优概率星座整形（PCS）方法，在四阶矩、功率和概率约束条件下最大化通信可达速率（AIR），并设计了一种改进的Blahut-Arimoto算法进行数值求解。为降低计算复杂度，进一步提出一种启发式PCS方法，该模型并不直接优化通信指标，仅通过设计四阶矩，同时在感知和通信之间进行灵活调整。此外，所提PCS方法具有离线处理的优势，具有在实际基站进行部署的潜力。
杜振①, 刘凡②, 熊一枫③, 韩霄④, Yonina C. Eldar⑤, 金石②
①(南京信息工程大学)
②(东南大学)
③(北京邮电大学)
④(华为技术有限公司)
⑤(以色列魏茨曼科学研究院)
Citation: Z. Du, F. Liu. Y. Xiong, T. X. Han, Y. C. Eldar and S. Jin, "Reshaping the ISAC tradeoff under OFDM signaling: A probabilistic constellation shaping approach," IEEE Transactions on Signal Processing (Early Access), 2024.
Available: https://ieeexplore.ieee.org/abstract/document/10685511
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一、 基于OFDM一体化信号的性能评估
匹配滤波器是雷达输出信噪比最大准则下的最佳滤波器，而模糊函数是匹配滤波器的响应函数，对于雷达目标检测和参数估计研究意义重大。好的模糊函数不仅要有窄的主瓣（对应分辨率），也需要有尽量低的旁瓣电平，以避免可能出现鬼影目标的虚警和弱目标的漏检等错误检测问题。
OFDM信号的模糊函数事实上由两部分分量组成：一是所有子载波信号各自的自模糊函数之和，二是所有不同子载波相互之间的互模糊函数之和。若把OFDM的模糊函数看作广义随机过程，我们只需从统计意义上分析其模糊函数的期望和方差。其中，期望值代表模糊函数的平均水平，方差则代表了模糊函数旁瓣的随机起伏程度。显然，对于感知来说，我们希望这种随机起伏尽量减小。图1是模糊函数的零多普勒切片（即距离向的自相关函数）的平均结果，可见QAM相对于PSK而言存在最大16dB左右的平均旁瓣差距，并且这种差异与互模糊函数无关。
图1. 平均自相关函数/零多普勒切片
经过分析，只有自模糊函数的方差受到随机星座符号的影响。更准确地说：降低随机旁瓣等价于降低星座符号幅度的四阶矩，而这一指标是受星座图码本的输入概率分布约束的。因此，通过优化星座概率分布，即可控制感知的随机旁瓣。
二、 最优PCS与启发式PCS优化建模与求解
经典的雷达滤波理论和通信信息论告诉我们：好的雷达波形要求恒模，因此相比于QAM，PSK是更适合感知的调制方案；均匀分布的星座符号均可获得最大的信源熵，例如16-QAM/16-PSK每个随机符号可携带4bit，而QAM星座符号的欧式距离大于PSK，因此QAM在低信噪比下的通信可靠性优于PSK。可见，S&C存在性能折衷关系。因此，对于一个给定的QAM星座码本，通过优化星座概率分布，有望实现从均匀PSK到均匀QAM之间S&C性能的平滑过渡。
2.1 最优PCS模型
由于四阶矩和AIR均受到星座的输入概率分布影响，因此本文提出一种新的PCS方法，即在四阶矩、发射功率和概率约束条件下最大化通信互信息：
其中， C1表示四阶矩约束条件，c0表示星座幅度四阶矩的预设值，通过改变c0的值优化输入分布向量p，从而控制模糊函数的旁瓣电平变化；C2表示发射功率约束条件；C3和C4表示概率约束条件；目标函数代表通信互信息，可以做如下形式转换：
其中q表示从y的输出字符集到x的输入字符集之间的转换矩阵。因此，通过引入隐变量q，原目标函数（优化概率分布p来最大化互信息）等价于联合优化p和q来最大化F(p,q)。容易证明，目标函数F(p,q)是凹的，而所有约束条件是线性的，因此，这是一个凸优化问题，我们可以在p和q之间通过基于“交替优化”思想的改进的Blahut-Arimoto（MBA）算法进行数值求解。算法细节略。
2.2 启发式PCS优化建模
上述最优模型同时约束了通感性能指标，可以有效实现通感之间的性能折衷（S&C Trade-off）。但是，利用MBA算法进行求解复杂度过高，原因在于每次迭代过程中仍然需要量化连续随机变量，并利用蒙特卡洛方法求解离散积分。为此，我们进一步设计了一种低复杂度的PCS方法。与最优PCS相比，该模型忽略了通信互信息指标，从而避免了大量蒙特卡洛积分计算，转而通过控制星座幅度四阶矩的大小来实现通感性能折衷。模型如下：
我们用“启发式”进行命名的原因在于：尽管模型不含通信指标，但是仍然可以被动调整通信性能，实现通感性能折衷。考虑到最佳感知性能（即PSK）的四阶矩为1，而最佳通信（即QAM）的四阶矩大于1（例如16-QAM为1.32，64-QAM为1.38左右），通过调整四阶矩的取值（即c0）实现感知性能从PSK到QAM过渡的同时（感知：最好→最差），我们也合理地预测，通信性能也将从PSK的AIR过渡到QAM的AIR（通信：最差→最好）。c0的取值范围也因此得以确定。
启发式PCS模型是一个线性约束下的凸二次优化问题，直接采用成熟的数值方法求解即可，复杂度也非常低。
三、 性能分析
对比不同c0取值下的启发式PCS优化结果：16-QAM与64-QAM的星座概率分布结果如图2所示。当c0取1时，该优化模型实现了最佳的感知性能，16-QAM-PCS的星座点呈现伪8-PSK的恒模分布。而64-QAM-PCS的结果呈现则表现为两个模值在1上下的恒模圈，这是因为64-QAM不存在模值为1的恒模圈。随着c0取值的增大，PCS优化将在感知性能最佳（恒模，或均匀PSK）和通信性能最佳（均匀QAM）之间实现折衷。
图2. 不同c0取值下的启发式PCS优化的星座结果
下面考虑一个系统级的仿真，即雷达需要在强自干扰（零时延处）情况下检测附近的弱目标。如果匹配滤波器的旁瓣过高，容易造成该弱目标的漏检，而通过PCS技术有望在保持通信功能的同时，降低旁瓣，提高检测概率。我们采用最小恒虚警（SO-CFAR）检测器，在不同c0取值下的一组检测样本结果如图3所示：
图3. SO-CFAR单次样本结果
该结果可定性说明所提方法的有效性。定量的感知和通信结果如图4所示：
图4. 通感性能PCS结果
（左图）检测概率；（右图）通信AIR
可见，调整c0取值即可实现S&C性能在均匀PSK和均匀QAM之间的平滑过渡。
为了进一步说明所提的最优PCS方法的优越性，下图将最优PCS和启发式PCS的感知-通信性能折衷关系进行了比较。由图5可见，最优PCS确实好于启发式PCS，但这种性能上的增益比较有限。换言之，启发式PCS以其低得多的复杂度实现了接近最优的通感性能折衷边界。此外，时间分享（time-sharing）方法也作为一个基准方法进行了对照，其性能远不如所提的PCS方法。最后，我们需要额外强调的是，所提PCS优化过程可以离线进行，星座概率分布可以提前计算存表。实际中，应当根据不同的感知和通信业务需求，通过查表获取所需概率分布取值，再进行对应的星座整形进行信号收发。这种离线计算特性也使得所提方法具有在实际的5G基站中部署的潜力。
图5. 通感性能折衷
