数学研究的快乐

教育 2025-01-01 22:20 北京

马丁·海雷尔图片来源：King Ming Lam拍摄

Beatrice Taylor，Jakob Stein｜撰文

许钊箐｜翻译

这是七月初的一个温暖夏日的午后，我们各自坐在家中的笔记本电脑前，等待和马丁·海雷尔（Martin Hairer）的访谈。我们都有些紧张，因为马丁是著名的随机分析领域专家，也可以说是数学领域最顶尖的学者之一。

屏幕上弹出了通知，马丁已经上线。他友善地向我们打招呼，随后他的礼貌和开朗的风度让我们放松下来。马丁正在赫尔辛基的一家花园酒店远程和我们对话；此时他在芬兰参加国际数学家大会（ICM）。2022年的菲尔兹奖得主名单即将在这里公布。

国际数学家大会每四年举办一次，会上将颁发菲尔兹奖（Fields Medal）、算盘奖（Abacus Medal）、高斯奖（Carl Friedrich Gauss Prize）和陈省身奖（Chern Medal Award）。这次大会原定于在圣彼得堡举行，但由于俄乌冲突的影响，一系列附属会议更改为在其他国家举行。马丁担任了本届大会的计划委员会主席与分组会议协调人。他的职责是邀请大会报告的专家，并协助引导会议过渡到并行分组会议。这并不是马丁第一次参加ICM大会——他在2014年的会议上因其对随机偏微分方程正则性理论的工作而获得菲尔兹奖。

道阻且长

菲尔兹奖或许是马丁众多成就中最著名的，但是马丁第一次尝到成功的滋味是开发一个流行的声音编辑软件包——Amadeus。它可以用于播客创作或制作原创音乐。他在十几岁时开发了这款软件，还因此获得了一个奖项。在当时，这似乎是一个他练习新学习的编程技能以及满足他对音乐的热爱的完美途径。“我主要喜欢古典流行摇滚音乐，你知道的，像平克·弗洛伊德（Pink Floyd）、恐怖海峡（Dire Straits），或者披头士（Beatles）。”

Amadeus后来仍然是马丁的代表作，但我们很难理解马丁如何有时间完成这些工作：软件研发本应是一件全职工作，而他又是一位菲尔兹奖级的数学家，能同时做到这些是非同寻常的。马丁很坦率地说：“过去的几年里，我并没有太多时间。”并解释说，最近他只有时间来维护他的软件，但是“没有时间进行开发。”既然马丁在早期的软件开发中获得了成功，那他是否在大学时曾考虑过学习计算机科学呢？

“是的，我确实考虑过。我猜我本科阶段没有进修计算机科学的原因是，我当时有些傲慢地认为我已经以某种方式了解了那些知识。”马丁腼腆地笑着说。

马丁在本科决定学习物理，并继续在物理系攻读博士学位。对于他来说，这是一种有意而为的青少年的叛逆——马丁的父亲是一位杰出的数学教授，也有一份自己的荣誉清单。但也许这并不是最有效的叛逆，马丁承认，在本科期间，他还是学习了很多数学系的课。另外，他说他的博士学位也可以在大多数大学的数学系获得。

即便在马丁获得博士学位后，他还是对软件开发念念不忘。“软件开发一直是一个B计划。在我博士毕业之后，我决定继续在学术界工作，但我也略知在学术界找到终身职位很难。所以B计划就是，如果学术工作行不通，那我就去做软件开发。”

听到一位卓越学者谈论工作的不稳定是一件有趣的事，也是一种慰藉，因为这是许多博士学生所担心的问题，也是许多博士后研究人员不得不面对的现实。尽管有这些担忧，马丁当时还是选择了继续在学术界工作，最终转入数学系进行博士后研究。

马丁非常喜欢学术工作，对他来说，这份工作提供了作为数学家最好的东西之一：“至少在一定程度上，我基本上可以自由地做想做的事情。”马丁继续说道：“在某种意义上，一名学者并没有真正的老板。我的意思是，在一个大学的机构中，官方上，你总是有一个系主任或类似的人，但是他们不会告诉你你该做什么。所以，你可以在很大程度上做自己想做的事情，我认为这份自由万分珍贵。”

每一件小事

作为一位获奖列表长得惊人的数学家，马丁慷慨地分享了自己的时间，而且平易近人，乐于讨论我们抛出的各种话题。他唯一有点不好意思谈论的就是奖项本身。我们问他，他最大的成就是什么，或者最让他感到自豪的奖项是什么，并期待他可以提到菲尔兹奖，或者是2021年获得的突破奖（Breakthrough Prize）。但他回答说，没有什么比解决他的正则性理论更重要的了。

在我们交谈的过程中，“解决问题的快乐”出现了数次。这种快乐从何而来？是确信一个理论已经构建完成，或是知道难关已被攻克，不再眉头紧锁的时候，还是知道这项工作即将发表的时候？

对于马丁来说，喜悦在于那个最开始的阶段，就是当一切都开始豁然开朗的时刻。“有几天的时间，你会像疯了一样乱写乱画，试图说服自己这确实有可能成功。相对来说，我会很快地说服自己它是可行的，而且在某种意义下很重要。显然，我还需要很多时间去解决问题，但是我知道它是可行的，所以最后这部分不会花费太长时间。”

马丁的工作聚焦在通过系统的大规模行为来理解小范围的随机性，特别是随机偏微分方程（Stochastic Partial Differential Equation, SPDE）。随机偏微分方程是一类偏微分方程，其中的一些参数是随机变量，或者方程的解可以被写成随机变量的形式。

马丁研究的最著名的随机偏微分方程之一是卡达尔-帕里西-张方程（Kardar-Parisi-Zhang equation）。想象一张纸，它被从底部边缘点燃, 如果你站得很远，就会看到烧焦部分的顶部边缘会以一种几乎可以预测的方式向上方移动；但如果你站的很近，燃烧的部分看起来杂乱无章、参差不齐。KPZ方程描述的是这样的情形：如果我们使用h(x, t)表示在时刻t时，烧焦部分的高度，则燃烧高度的方程如下，

其中，λ和ν是表示纸张易燃程度的常数。这个方程中重要的一项是η(x,t)，这是一个随机的“白噪声”。如果我们忽略这一项，我们会得到一个偏微分方程（PDE）。这个偏微分方程仍然很棘手，但它是可解的，并且解具有很多有价值的性质。比如说，该偏微分方程会存在一个光滑的解。然而，白噪声的存在复杂化了这个问题。在几十年中，大多数的数学家们对于如何分析函数h(x, t)毫无头绪。而马丁找到了一种方式使得方程有意义。这种方式可以归结为“从无穷大减去无穷大”。

译者注：这里无穷大减去无穷大是指一种重整化技巧，比如两个对数级别增长的发散项在逼近过程中相互抵消并得到一个有限项，感兴趣的读者可以参考马丁·海雷尔2013年在 Annals of Mathematics上的关于KPZ方程的工作。

马丁关于随机偏微分方程的正则性理论震惊了数学界——他的想法似乎是人们意料之外的。正则性理论令数学界震惊的原因之一是，这一突破性想法来自于物理学——使用小波的有限级数（通常用于数字化文件中的信息编码）来理解随机偏微分方程的行为。

马丁的研究持续集中于随机过程。他现在的研究项目之一是探索根据简单规则演化的离散系统。“你试着理解这些事物全局、大范围的行为，以及以这种方式得到的极限。在一定的限制条件下，人们对于动态系统有比较好的理解，而有些情况下的问题是完全尚未解决的。这个领域还有很多事情可以做——它将是概率理论的舞台。这类问题的第一个成果应该是中心极限定理……它可以追溯到18世纪。”在描述数学发展趋势时，马丁说，“人们对这些领域一直很感兴趣。历史上有停滞的时期，也有人们提出新的技术并因此蓬勃发展的时期。这就是数学的发展方式。”

我的生活

在过去五年里，马丁一直是伦敦帝国理工学院的教授，他是一位科研人员，博士生导师，并时常在硕士课程上讲述他前沿领域的工作。马丁定期举办暑期学校，面向博士生和初出茅庐的科研工作者。对于马丁来说，作为一名科研工作者，在暑期学校教授课程是非常重要的，因为分享知识是推动数学思想进步的基础。“如果你只是独自在角落里做自己的事，而不向任何人解释，那也没有多大的意义，对吧？”

两年的新冠疫情已经改变了数学教学、发展和讨论的方式。经历了这些变化之后，马丁很高兴可以重新参加线下活动。“在一开始，人们对于在线研讨会和工作坊很有热情。它们效果很好。你甚至可以使用iPad写板书进行演讲。”但是，他补充说，“这种方式很快就不再流行。”

一种新的混合的工作方式确实有优点：它让我们更容易和外国的研究者合作，更容易远程参加会议，而且对于那些可能需要照顾孩子或者因身体原因难以赶到办公室的人来说，远程会议也更为便捷。但是，对我们许多人来说，做数学的乐趣在于与他人一起工作，而线上很难实现面对面流畅的思想交融。“线上参与只能和人们交流一下，了解数学界到底发生了什么；但是只是聆听无法真正理解会议的内容。”

新冠疫情将如何影响数学的未来？马丁说，“我们似乎正在趋向于一种新的模式，报告人可以选择远程演讲，也可以选择线下参与。”这种方式似乎可以很好地兼顾社交互动和便捷性。

齐心协力

2014年，海雷尔与阿图尔·阿维拉（Artur Avila）、曼朱尔·巴尔加瓦（Manjul Bhargava）和玛丽亚姆·米尔扎哈尼（Maryam Mirzakhani）一起获得该届菲尔兹奖。阿维拉是第一位获得菲尔兹奖的南美数学家；巴尔加瓦是第一位获得该奖项的印度裔数学家；而米尔扎哈尼是第一位获得该奖项的女性数学家。这些奖项的颁发都发生在创立菲尔兹奖的78年之后。在我们访谈过后，2022年的获奖者被宣布：雨果·迪米尼-科潘（Hugo Duminil-Copin）、许埈珥（June Huh）、詹姆斯·梅纳德（James Maynard）和马林娜·谢尔盖耶夫娜·维亚佐夫斯卡（Maryna Viazovska）——她是第二位获得该奖项的女性。

科学、技术、工程和数学学科（STEM），尤其是数学，一直存在多样性不足的问题。马丁是否认为国际数学家大会有责任做更多的工作来增加科学领域中不同性别与少数族裔的代表？马丁对此有深刻的见解，“这个问题很棘手，”他说，尤其是当科学超越性别，在种族、社会经济地位和文化背景方面也没有被充分体现时。“就像是一条泄露的管道，随着时间的推移，女性比例越来越少。我们很难找到一个解决办法；而对于像菲尔兹奖这样的奖项，你绝对不想做的事情就是设定某种配额，因为这只会降低它的价值。”

“所以正确的做法是让它慢慢发展，未来会有更多的多样性。”马丁对数学领域的女性代表越来越多充满希望。“你可以看到，在这一届ICM会议中，女性演讲者的比例约为25%，而在上一届，这一比例约为15%。”

只有当我们有特殊的建构来支持少数群体，让他们畅通无阻的流向各个领域，这样等待慢慢发展才有效。而这是一项艰巨的任务——重要的是，无论人们的背景如何，我们都要从年少时就鼓励他们学习数学，鼓励他们相信研究数学是一份切实可行的职业。

回首往事，马丁会对刚刚踏上数学之旅的18岁时的自己有什么建议？

“或许，我应该多在代数课上多花一些心思。”更重要的是，马丁继续向那些刚开始读本科的学生建议：“跟着你的感觉走，做你觉得有趣的事情。”

本文译自In conversation with Martin Hairer, Chalkdust Issue 16

原文地址：https://chalkdustmagazine.com/interviews/in-conversation-with-martin-hairer/

本文载于“返朴”公众号

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