点评 这里需要注意的是第9题需要一定的空间想象力,选择题第15题枚举是个不错的方法.填空选择中比较难的是第12题和第16题.关于第19题最后一问,可以类比班级平均分,会比较形象.第20题的最后一问先考虑特殊情形,再考虑一般情形,此时“反设”直线会减小运算量(我用传统方法没算出来).第21题关键在于理解题意.本人解答过程中卡顿的是第12题和第20题的最后一问.
一些解答尚有欠缺,后期更正,精力有限,还请担待.
2025年上海市普通高等学校春季招生统一文化考试数学试卷及解答
(1)已知集合,则.
解 .
(2)不等式的解集为.
解 解集为.
(3)已知复数,则.
解 由,得.
(4)已知,且,则.
解 由,解得.
(5)已知的展开式中常数项为,则实数.
解 由,得.
(6)已知,则.
解 ,故
(7)已知数列是公差为,首项为的等差数列,数列是公比为,首项为的等比数列,数列的前三项和为,则.
解 由题意可知,解得或.
(8)方程的解集为.
解 图解得.
(9)已知圆锥的底面半径为,母线的长为,点为底面上的动点,则直线与直线的夹角最小值为.
解 注意到当位于所在的直线上时,直线与直线的夹角达到最小,此时夹角大小为.
或设,又,则
(10)已知双曲线的左右焦点分别为.通过且倾斜角为的直线与双曲线交于第一象限的点,延长至,使得.若的面积为,则.
解 由,得
解得,又
故.
(11)如图,正方形是一块边长为的工程用料,阴影部分是被腐蚀的区域,其余部分完好,曲线为以为对称轴的抛物线的一部分, .工人师傅现要从完好的部分中截取一块矩形原料,当其面积最大时, .
解 以为原点,分别以为轴建立平面直角坐标系.设抛物线解析式为,代入,解得.设,则
求导可得
故在
比较可知
故当时,矩形面积取得最大值.
(12)在平面中,有相互垂直的单位向量和,向量满足
则在方向上的数量投影的最大值为.
解 取为,取为.记,则在圆上,记,则在圆上.设, ,则
此时.这里的想法是让分母尽可能地小(),取定后,再让分子尽可能的大(不出现负数项).
(13)如图, 是正四棱台,则下列各组直线中,属于异面直线的是.
A. 和
B. 和
C. 和
D. 和
解 选D.
(14)已知幂函数在上是严格减函数,且经过,则的值可能是.
A.
B.
C.
D.
解 选B.
(15)已知四边形,对于其四边,按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币.如硬币正面朝上,则将其擦去;如硬币反面朝上,则不擦去.最后,以为起点沿着尚未擦去的边出发,可以到达点的概率为.
A.
B.
C.
D.
解 四条边擦与不擦共有种组合,其中能够使得的组合可以是
共种,故可以到达点的概率是.选B.
(16)已知,若不等式
在中整数有个.则的个数不可能是.
A.
B.
C.
D.
解 由题意可知,这里的周期为.而.对于A,只要取足够大即可.对于B,C,只要让每个周期内各有两个整数.我们说明D是做不到的,这意味着每个周期内需要有三个整数,我们就考虑这个周期.这时需要成立
或
这是做不到的.选D.
(17)在三棱锥中,平面平面, , .
(17-1)若是棱的中点,求证: 平面,并求的体积.
(17-2)求二面角的大小.
解 (17-1)由,且是的中点,故.又平面平面且平面平面.故平面.这里
(17-2)以为原点,分别以为轴建立空间直角坐标系.故
这里平面的法向量取为,设平面的法向量为, 由
得到
取,则,记所求二面角为,则
(18)在中, 对应的边分别为,其中.
(18-1)若, ,求的值.
(18-2)若,求面积的最大值.
解 (18-1)由正余弦定理可知
(18-2)由余弦定理可知
这里等号成立当且仅当,此时
(19)甲,乙是两个体育社团小组.如下是两组组员身高的茎叶图(单位:厘米),以身高的百位数和十位数作为“茎”排列在中间,个位数作为“叶”分列在两边.
(19-1)求甲,乙两组组员身高的第百分位数.
(19-2)从甲,乙两组各选取一个组员,求两人身高均在厘米以上的概率.
(19-3)为使两组人数相同,从甲组中调派一个队员到乙组.是否存在甲组的一个组员,将其调派至乙组后,甲乙两组平均身高都增大.
解 (19-1)甲队共人,自小至大的第个人是厘米,故第百分位数是.乙队共人,自小至大的第个人是厘米,第个人是厘米,第百分位数是.
(19-2)计算可知.
(19-3)计算可知甲队平均身高为厘米,乙队平均身高为厘米.故需要抽调一个身高介于厘米和厘米的人,故抽调身高为厘米的人过去即可.
(20)在平面直角坐标系中,已知曲线,点分别为上不同的两点, .
(20-1)求所在椭圆的离心率.
(20-2)若,点在轴上,点到直线的距离为,求点的坐标.
(20-3)是否存在,使得是以为直角顶点的等腰三角形.若存在,求出的取值范围.若不存在,请说明理由.
解 (20-1)离心率.
(20-2)由题意得,设直线方程为,则
当时,即,与联立,得
此时,不合题意,舍去.
当时,即,与联立,得
此时.
故.
(20-3)我们先考虑一种特殊情况,即.此时平行于轴,此时存在符合题意的等腰直角三角形.
设, 方程为,代入,得
故
结合,由
又
化简得
故
综上所述, .
(21)已知函数的定义域为,对,定义集合.
(21-1)若,求.
(21-2)对于集合,若对任意,都有,则称是对称集.若是对称集,证明:函数是偶函数的充分必要条件是对任意,有.
(21-3)设,函数,求的取值范围,使得对任意的,有.
解 (21-1)计算可知
(21-2)先证充分性,即若,则由可知,故是对称集,即.
再证必要性.反证,若存在,使得.这意味着如果,则,这与对任意,都有矛盾.
(21-3)由题意可知为单增函数.即恒成立.
记,则.故为极小值点.此时在和上分别单调递减,在上单调递增.
当时,有.
当时,有.
综上所述, .
