影响数学家的数学大师

教育 2025-01-08 20:29 北京

Lloyd Nicholas Trefethen

劳埃德•尼克•特雷费森｜撰文

何生｜翻译

01 影响数学家的数学大师

数学是美丽的。

研究实变量函数的实分析有如此强大的定理！连续性、紧致性、傅里叶变换……这些优雅而重要的概念令人非常满意。实分析早就造就了描述自然法则的语言——偏微分方程。

偏微分方程帮助麦克斯韦发现了光波的工作原理，帮助爱因斯坦预测了引力波。而化学建立在薛定谔方程的基础之上，流体力学建立在纳维–斯托克斯方程的基础之上，土木工程建立在弹性方程的基础之上。

我在斯坦福大学的博士论文就是关于这个领域的，具体来说，主题是双曲偏微分方程的数值解。因此，对接下来的博士后研究而言，位于纽约格林尼治村的纽约大学库朗数学科学研究所是一个令人向往的地方。与大多数数学系不同，那个研究所只专注于一个领域，即实分析、偏微分方程及其数值分析。

在研究所里的大师中，最杰出的是彼得 • 拉克斯。拉克斯是一位来自匈牙利的神童，十几岁的时候就参与了曼哈顿计划。那时他56 岁，正值巅峰期，我在库朗研究所工作了两年，拉克斯是我的博士后（由国家科学基金资助）导师。我还以兼职助理教授的身份每年教一门课程。

如果每位数学家都像彼得 • 拉克斯一样，我可能就没必要写这本书了。他的才华和魅力为研究所定下了基调。在这里，他既是社交能手，也是“智力磁石”。午餐时，我们会在 13 楼的休息室和他碰头，聊的内容都很实在。有时他会先带着一群人去 Soho 商业区的迪恩 – 德鲁卡商店挑选合适的食材，因为他有美食家的品味，也喜欢其他人进入他的生活。我至今记得他那闪亮的眼睛、卷曲的头发和对所有学科的好奇。拉克斯是个典型的中欧人，他似乎对音乐和文学也如数家珍。

我没有和拉克斯合作过，因为他是 6 个博士后的导师，而和他相比，我的志趣更偏向计算。但是，他对我的影响仍然很大。

我说的“如果每个人都像他一样，事情可能会有所不同”是有所指的。

拉克斯的思维横跨纯数学和应用数学。他的著作是纯数学的，以技术上完美的定理为中心，但他也了解和欣赏应用。拉克斯通过一些著名的定理对数值分析产生过巨大影响，这些定理在每个领域里都恰如其分地用对了地方，比如我在研究生阶段研究过的拉克斯等价定理。

02 数学家的使命

我在前面提到过一种被广泛接受的观点，即纯数学和应用数学之间的区别是一种错觉。

这是无稽之谈，根据我的经验，这通常是纯数学家的观点，他们经常认为纯数学很实用，或者认为只要他们愿意，应用纯数学可以很容易。

你知道这个笑话吗：蝾螈专家和词源学家有什么区别？词源学家知道其中的区别。我认为数学也是同理。纯数学家和应用数学家之间有什么区别？应用数学家知道其中的区别。

我们的使命以及本书的使命是鼓励各种各样的数学之间能实现更融洽的交流，而不是假装它们都一样。

拉克斯的聪明和广博足以胜任这个使命。倘若我们都像他一样，数学就有可能实现真正的统一，但我们大多数人没有那么卓越。

纯数学着眼于历史，更喜欢研究在 100 年后仍然重要的思想，这些思想往往会非常抽象且笼统。对于顶层的人来说，这种取向可能是务实的。的确，它是人类在精神方面的一种胜利，我们可以创造能够持续几个世纪的数学。

然而，对于更普通的研究人员来说，这一模式并不总是好的，它会导致数学家在理解彼此的工作方面困难重重。

很难说我不是数学家。

然而，我所描述的职业是这样一种情景：几十年过去了，我在这个行当里站稳了脚跟，但感觉自己正在离它远去。

在我年轻的时候，我想当然地认为，更主流的数学家，即每个专业领域的领导者，都明白在他们的领域里的重点是什么。

因此，当我发现自己的工作并不是建立在他们所做的基础之上时，我感到很困惑。

我研究问题并做出了一些有益的贡献——它们通常是一些真正的发现，但对于这些领域里的非数值分析的专业知识，我从来都没有掌握过，甚至直到最后我连门道都没摸清。事实上，我会偶尔开玩笑地说：数值分析是对上个世纪数学的研究。

03 数学家的新挑战

尽管是开玩笑，但我私下里把出现这种情况的原因归结为自己的不足。我知道我做得很好，但我想，如果我有足够的人格魅力去吸收阿达姆简、阿罗夫和克赖因的论文成果，来帮助我研究卡拉特奥多里 – 费耶尔逼近，如果我在库朗研究所研究偏微分方程时，能让自己沉浸在伟大的路易斯 • 尼伦伯格的理论里，或者在我写关于伪谱的书时，能消化邓福德和施瓦茨的成果，那将会变得更好。年复一年，我觉得自己没能达到目标。

人们可能从上面的逻辑中发现了一个潜在的漏洞。倘若忽视大师真的是一种错误，那么在我的职业生涯里，我就会经常看到自己的研究成果后来被发现曾由别人率先做出过，或者被证明没有成效。然而，这种情况到目前为止还没有发生。

我所做的一切都是原创的，当然，它们的重要性各不相同，但我的工作几乎从未出过错，也不曾冗余重复。

事实上，很明显，如果我在这方面投入的精力多了，在另一方面投入的就会少。人们的精力是有限的，不管怎样，如果我把自己与当时的数学联系得更紧密一些，我就会变成另一种样子的研究者。我将会更像是一位纯数学家，而不是数值分析专家。

考虑到这种来自不同群体的有价值的贡献，我认为一定会得出这样的结论：本书开头所说的工作分工，即纯数学家研究概念，数值分析专家开发算法，太过简化了。

在职业生涯的许多时刻，我发现已有的概念并不准确：阿蒂亚的面包屑也有往上“掉”的，或者至少应该有往上“掉”的。例如，我提到过对非对称矩阵和算子而言，我们证明了特征值并不具有一般认为的重要性，而伪谱则更重要。又例如，多年来，我慢慢意识到，尽管我写了一些关于数值保角映射的论文，甚至还编辑过一本关于数值保角映射的书，但对于它的最著名的应用（解决复杂定义域上的偏微分方程）来说，它实际上并不是一个好方法。

因此，也许我没有妄担“数学家”的名号，但这并没有解决我的困惑。倘若不去认真关注逼近论、复分析、实分析与偏微分方程、泛函分析和随机分析等领域的翘楚们的工作，那么这个世界上的数学将会变成什么样呢？我不完全知道答案，但这或许是一个开始。

一门学科在一定程度上是由它的主旨来定义的。尽管有些人会毫不犹豫地认为这个定义过于简化，但是对连续数学而言我认为它的主题是：

但它也可以由与其相关的方法论来定义。对于任何一种数学来说，可以说有两种截然不同的方法论：

(A) 定理和证明

(B) 算法和计算。

我相信，我的经验已经在某种程度上表明人们几乎不会认为 (A)和 (B) 能够相互独立地运作并获得成功，而事实是它们长期以来一直是这样运作的，且两者都取得了有效的进步。但奇怪的是，它们彼此之间没有什么关系。当然，这两者之间还是会时不时地互通有无。

不过，有些数学家主要用方法 (A) 推进数学，而另一些则在 (B)的大背景下同样做出真正的成果。我们这些属于 (B) 的人并不拒绝定理和证明，实际上我们经常得到属于我们自己的定理和证明。我在许多方面就曾有多次这样的经历。但在大多数情况下，我们忽视了那些代表今日数学前沿的定理和证明——如果你愿意，可以称其为“菲尔兹奖数学”。

这是多么奇怪的情况啊！我可以高兴地说，在数学谱系的两端，以及在这两端之间的每一点上，研究人员都是卓有成效的；但即便如此，人们还是希望这种割裂的程度能够越来越小。

作为美国和英国的双重公民，我把纯数学和应用数学也做一下类比。没有人会说美国社会和英国社会是一样的，或者应该是一样的，但它们肯定是有关联的。如果两者之间有良好的沟通，那么彼此肯定会更加强大。纯粹数学和应用数学的现状让人觉得就像是英美之间只是偶尔通过来往的帆船进行交流。

有些人认为，理论物理学正处于某种危机状态，它是由未经实验证实的弦理论占据了统治地位而造成的。我认为今日的数学也面临着类似的情况。我们数学界有很大一部分人与现实脱节，但同时又极度迷恋抽象和技术。不过，用“危机”这个词来描述这两种情况，可能有些过分。

物理学和数学是人类不断取得的伟大成就，它们一如既往地既充满活力又强大无比。恕我直言，关于我所知道的数学，它目前的状态并不是它本可以达到的理想状态。对于下一代学人而言，让数学领域中的关系变得更加紧密是一项艰巨的挑战。

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