对于2010年菲尔兹奖得主吴宝珠（Ngô Bảo Châu，1972-）来说，伽罗瓦群构成了他2009年对数学的开创性贡献的基础，他证明了朗兰兹纲领的“基本引理”，该纲领是2018年阿贝尔奖获得者罗伯特·朗兰兹（Robert Langlands，1936-）提出的一系列数学猜想，将许多数学领域联系起来。但在第11届海德堡桂冠论坛（Heidelberg Laureate Forum）的半小时演讲中，吴宝珠明智地选择不去费时间介绍伽罗瓦理论，也没有尝试概述朗兰兹纲领及其相关的基本引理。这些主题过于广泛、抽象和复杂，难以在如此短的时间内解释清楚。吴宝珠做演讲丨图源：HLFF / Flemming取而代之的是，吴宝珠向与会者介绍了伽罗瓦群，旨在展示为什么伽罗瓦理论在其诞生之初对数学发展很重要，以及为什么它在今天仍然是数学进步的核心：这是一种思维方式，允许数学家研究数学的基本结构和形式。天才数学家、坚定的法兰西共和主义者和不幸的决斗者埃瓦里斯特·伽罗瓦（Évariste Galois，1811 - 1832）在世仅短短20年，但他在数学许多分支中留下的遗产已经延续近200年，并且很可能还会持续很长时间。伽罗瓦最重要的工作是创立了后来被称为群论的理论。他提出了关于“群”的三个基本原则，并利用这些原则发现了群的更多性质。这些性质可用于将群与其他看似不相关的群进行比较。这种方法可以用来比较不同类型的代数方程以及这些方程的解。更具体地说，伽罗瓦群包含了多项式方程解之间的所有对称性；换句话说，根的置换（即重新排列）保留了方程解之间的所有关系。对于非数学领域的人来说，这似乎都是微不足道的——只是以稍微不同的方式呈现已存在和已知的东西，就像是“洗牌”。但事实上，它过去是、现在依然是一个深刻的启示。吴宝珠以历史课开始他的演讲：“我们在学校学到的二次方程的解法，你可以在公元前2000年的巴比伦石板中找到等价形式。”即二次方程一般形式ax2+bx+c=0的解：![]()
“当转向三次方程时，这就困难得多，但你可以在10世纪左右的中文和波斯文（文献）中找到大量三次方程的解，”他补充道。事实上，吴宝珠表示，三次方程甚至四次方程解的一般形式在伽罗瓦时代之前就已经被发现。文艺复兴时期，意大利数学家乔瓦尼·卡丹 （Gerolamo Cardano，1501-1576；又译作杰罗拉莫·卡尔达诺）和尼科洛·塔尔塔利亚（Niccolò Tartaglia，1499-1557）写下了三次方程解的非常复杂的一般形式。“我们当中很少有人能够自己发现这个公式。”吴宝珠继续说道，“这是很基础的，但它有一系列非常巧妙和复杂的变量代换。”这一突破之后，另一位意大利数学家洛多维科·费拉里（Lodovico Ferrari，1522-1565）很快提出了更为复杂的四次方程解法。在这里，吴宝珠稍作停顿，他反思并向听众问道：“但是我们所说的解是什么意思呢？我们正在寻找某种（涉及）多项式系数的公式，然后我们可以使用四种运算（加、减、乘、除）得出新的根，但我们会对求根有分歧，因为有多种选择。”伽罗瓦理论完全消除了这种分歧。它汇集了所讨论方程的所有根，并描述了它们之间的所有对称性。根之间的对称性意味着一个根可以被另一个根替换而不影响结果。例如，任何仅涉及加上或乘以![]()
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，你将得到同样的答案。通过退回研究代数方程本身，伽罗瓦理论揭示了它们的基础结构，伽罗瓦可以非常简单且有说服力地解决最近才通过复杂方法解决的数学问题。吴宝珠举了一个例子。“阿贝尔-鲁菲尼（Abel-Ruffini）定理表明，不可能找到五次及以上方程的一般形式的解——这是一个惊人的结果，”他说。“但如果给你一个方程，这个定理并不能告诉你是否可以用根式解它。”换句话说，对于一个特定的方程，该定理没有解释是否存在仅对方程中的有理系数使用有理数以及加、减、乘、除和求n次根的运算得到方程的解。“通过伽罗瓦群，你可以再次证明阿贝尔-鲁菲尼定理，并且可以使用伽罗瓦群的计算来复原塔尔塔利亚和费拉里等人的棘手计算，”吴宝珠说。而且，可解的五次多项式方程正是其对应伽罗瓦群是可解的。换句话说，伽罗瓦理论可以用来说明一个特定的方程是否可以用根式求解。“伽罗瓦理论的核心意义在于从研究代数方程转向一个完全不同的对象——某些抽象群，方程的解可以用这些非常简单的形式来表达，”吴宝珠解释道。很久以后，当数学家开始领悟伽罗瓦的洞察时，这种抽象便使伽罗瓦理论成为重要的数学学科，甚至是其他学科之间的基本桥梁。例如，伽罗瓦理论引入了有限域这一抽象代数概念。事实证明，有限域是从定义算法到公共密码学、断层扫描和构建良好计算机网络等诸多领域的核心。伽罗瓦理论的这些基本、普遍和持久的性质就是它被1994年菲尔兹奖得主埃菲·杰曼诺夫（Efim Zelmanov，1955-）描述为“数学美的黄金标准”的原因（在2024年林道诺贝尔奖得主大会上的海德堡演讲期间）。埃菲·杰曼诺夫在2024年林道诺贝尔奖得主大会丨图源：LINO / Christian Flemming
向不同背景的受众展示伽罗瓦理论如何渗透到现代纯数学绝非易事。吴宝珠从20世纪拓扑学的进展开始讲解。“环面是拓扑学中第一个重要的对象，与之相关的是‘基本群’（fundamental group），”他解释道，其中基本群是指与记录其基本形状或孔洞信息的拓扑空间相关的群。以环面为例，如果你在环面表面纵向画一个环（下图蓝色），并在环面内部的子午线（经线）上画另一个环（下图红色），则两者之间无法通过连续变形相互转换，因此它们是不同的。因此，仅使用这两种类型的环就可以构建形成环面的空间。这可以表示为环面的基本群。“这似乎与伽罗瓦理论没有太大关系，但其实有，那就是‘覆盖理论’（covering theory）。”吴宝珠解释道。1960年代，亚历山大·格罗腾迪克（Alexander Grothendieck，1928-2014；1966年菲尔兹奖得主）将所有这些结合在一起，搭建起数论中的伽罗瓦群与拓扑学中的基本群之间的桥梁。我们把细节留给感兴趣的读者，但这里要说的是，覆盖本质上是拓扑空间之间的映射，其作用就像底空间（base space）的多个副本到其自身的投影。因此，环面的平凡覆盖空间可以被描绘成一个以螺旋楼梯形式最终回到圆环的图景，即底空间。在一定的限制和条件下，给定底空间的基本群类似于伽罗瓦群。由此，拓扑空间和域之间的联系和相似性就变得显而易见，这为这两个学科提供了新的见解。吴宝珠随后将话题快进到今天。他说算术几何中一些最大的问题与伽罗瓦理论有关。例如：“如何表征上同调（cohomology，通常与拓扑空间相关的阿贝尔群序列）代数簇中出现的伽罗瓦表示，”他问道。“我们通过这些伽罗瓦表示来研究代数簇，但我们需要知道这些伽罗瓦表示的性质。”他提到在过去20年里，尽管包括他本人在内的许多人在这个问题上取得了显著进展，但它仍然可能要让数学家研究50到100年的时间。实际上，吴宝珠的结论是，伽罗瓦的思想在他和所有受众去世后依然具有重要意义。在1832年5月30日那场结束他生命的决斗的前一天晚上，伽罗瓦疯狂地写下了60页的数学笔记。这些笔记经常被浪漫地认为是群论诞生的原因，尽管事实证明他前期完成的工作才是起决定性作用的。然而，它们确实包含了一个预言性的后记：“我希望，以后会有一些人充分利用它来破译这一切混乱。”如果伽罗瓦能够听到吴宝珠解释他的原创思想，以及数学进步如何继续影响和塑造21世纪的数学，毫无疑问，他会感到很满意，因为已经远远超出了他的期望。你可以在下面的视频中观看吴宝珠在第11届海德堡桂冠论坛上的完整演讲：https://youtu.be/oHaibdbxOU0。本文经授权转自“zzllrr小乐”公众号，原标题《小乐数学科普：菲尔兹奖得主吴宝珠谈论伽罗瓦的不朽遗产——译自HLF海德堡桂冠论坛》。《返朴》对译文进行了校订，本文译自Benjamin Skuse, Galois’ Enduring Legacy，原文链接：https://scilogs.spektrum.de/hlf/galois-enduring-legacy/
