粒子与集体行为

布洛赫电子的运动受到贝里曲率的影响，已是人们熟知的量子几何效应。凝聚态系统中的各种集体行为，以及它们与电子系统的耦合，为量子几何现象的探索提供了更加广阔的舞台。针对几种典型的对称破缺状态，文章就下列方向中的有关研究和应用作出简略回顾和展望，包括晶格振动与声子、磁化动力学与自旋波、玻色凝聚体与量子涡旋、超导序参量与准粒子以及晶格形变与人工引力。

BOX 1 

在磁性晶格体系中，声子的时间反演对称性被打破，这可以通过磁场直接作用于离子电荷产生的洛伦兹力或者是唯象的自旋声子耦合模型来理解。定义声子的角动量为

其中u_lκ是第l个原胞中的第κ个原子的位移，M_κ是对应原子的质量。低温下声子角动量具有可与电子轨道角动量比拟的量级，可以对爱因斯坦—德哈斯效应产生影响。

对于更一般的情况，我们考虑电子系统在原子位形空间上的贝里曲率，以将电子态的时间反演破缺引入到晶格动力学中，称作分子贝里曲率：

在玻恩—奥本海默近似下，在给定的晶格构型{R}下，电子会停留在其瞬时基态|ϕ₀({R})>上。分子贝里曲率表示第l个原胞的第κ个原子沿α方向的运动对第l'个原胞的第κ'个原子沿β方向的运动产生的影响。当晶格构型演化时，电子的基态会以绝热方式演化并积累一个几何相位，反过来修改晶格动力学方程，

从而破坏声子的时间反演对称(图1)。这里的u、D(k)和G(k)表示原子位移、动量空间中的动力学矩阵和分子贝里曲率。

图1 分子贝里曲率在声子布里渊区的分布，体系破坏了时间反演对称性^[14]

当体系保持时间反演对称而破坏空间反演对称时，声子角动量是动量的奇函数。在具有旋转对称性的动量点线上的声子具有角动量，是圆极化的，具有特定的手性(图2)。

图2 破坏了空间反演对称性的六角AB晶格中的手性声子^[7]

BOX 2 

假设单畴铁磁体序参量m的转动相对于电子运动极其缓慢，从而可以作为标定电子布洛赫态|ψ_nk[m]>的绝热参数。根据薛定谔方程的变分原理^[3]，文献[23]给出电子波包的拉格朗日量(以下省略能带指标)：

其中(x, k)是电子波包在相空间的中心位置，ε是电子能量，外电场E由标势ϕ(x, t)导出。和分别是电子布洛赫态在晶格动量空间和磁序参量空间的贝里联络。这里假设m是空间均匀的；缓慢的空间非均匀性可以类似地通过计入坐标空间中的贝里联络加以考虑。

电子作用量关于(x, k)的欧拉—拉格朗日方程给出电子半经典运动方程：

可以看到，磁化的运动给出电子的一个绝热电流，符合绝热微扰的一般预期。这里沟通磁化和电子运动的是一个量子几何量：动量—磁序参量混合空间的贝里曲率张量，

另一方面，电子作用量关于序参量m的欧拉—拉格朗日方程对电子自由度求和后给出磁化的运动方程。如果我们考虑绝缘体，则磁化与电子耦合引起的绝热运动是无耗散的，此时该耦合贡献的磁化动力学描述了序参量空间中的广义力平衡^[23]：

其中代表对电子占据态的积分。这个力平衡方程的第一项叫做序参量空间中的广义洛伦兹力，正比且垂直于电子体系关于序参量的贝里曲率^[21，22]：

第二项是由电子体系总能量G^e的磁化依赖给出的一个保守力。第三项叫做广义法拉第力，其中再次出现了混合空间的贝里曲率Ω_km。它代表电场通过绝热电流对电子—磁化耦合系统输入能量，用来驱动序参量的运动。法拉第力在序参量闭合运动路径上的做功与动量—序参量混合空间的陈数直接联系，其是否非零与路径的具体形态无关，仅取决于该路径所包围区域的拓扑，即是否包含使电子系统能隙闭合的序参量构型^[25]，如图3所示的例子。

上述序参量的几何动力学理论可以与描述磁化运动的传统理论即朗道—栗夫席兹—吉尔伯特(LLG)方程建立对应，对方程中出现的唯象系数给出电子系统的贡献尤其是电场引起的修正。如在外电场为零的情况，绝缘体电子—磁化耦合引起的磁化运动方程可以写成朗道—栗夫席兹方程的形式^[21，22]：=-γ^em×H^e，其中H^e=-∂_mG^e是通常所谓的有效磁场(电子贡献)；而γ^e是电子引起的磁旋比，它包含了序参量空间电子贝里曲率的信息：。模型计算显示，γ^e的量级可以与其他来源的磁旋比相比拟^[23，24]。在考虑磁化动力学时，需要计入电子系统对磁旋比的贡献。在外电场不为零时，它可以通过电子系统影响磁动力学，包括改变磁旋比，引起自旋转矩。而若考虑金属体系，费米面附近电子的弛豫过程还会引起序参量运动的吉尔伯特阻尼^[23]。这些都可以通过上面发展的电子—序参量耦合系统的几何动力学理论框架加以分析。

BOX 3 

超导体可以用博戈留波夫图像来理解，通过准粒子波函数来统一地描述凝聚体基态和超导能隙上方的激发态。准粒子波函数满足单粒子形式的博戈留波夫方程^[54]，

其中代表电子哈密顿量，Δ代表超导序参量，(U, V)是准粒子波函数，E是准粒子能量。在方程(1)中，通过引入虚拟的空穴能带，超导序参量由费米面附近的电子配对，变成了电子能带和空穴能带的耦合。由于空穴能带是电子能带对偶而来，博戈留波夫方程具有电子—空穴冗余性。准粒子波函数直接对应着能隙上方的激发态，同时，对所有负能量准粒子态完全填充的多体波函数也给出了超导基态(图4)。

我们可以利用准粒子波函数构造波包，并且追踪准粒子波包概率中心的运动，得到半经典运动方程^[62]。我们发现，在准粒子波包的半经典运动方程中，展现出贝里曲率的影响。超导准粒子的贝里曲率，既具有电子能带部分的残余，也具有超导序参量的贡献。如果我们只考虑超导序参量所主导的贝里曲率，运动方程可以写为

其中是准粒子的有效电荷，θ是超导序参量Δ的相位，是准粒子的电偶极矩，是超流速度。我们可以看到超导序参量的相位θ占据了关键的位置，它在动量空间的梯度带来了动量空间贝里曲率，

值得注意的是，此贝里曲率总是集中在电子费米面附近，这是序参量贡献的动量空间贝里曲率的普适性质。对于实空间的贝里曲率：

也存在超导序参量相位的贡献∇_rρ×∇_rθ，这一项在超导涡旋附近会较为显著。同时，准粒子的有效电荷和电偶极矩也会通过与磁场的耦合，带来实空间贝里曲率。在运动方程中还存在着由位置和动量张成的相空间的贝里曲率。这些各式各样的贝里曲率会在反常霍尔输运和准粒子态密度等物理量中体现出来。

对于超流体来说，由格罗斯—皮塔耶夫斯基方程出发，可以推导出低能元激发满足与超导类似的博戈留波夫方程。对于这些元激发，我们同样可以用博戈留波夫方程的本征波函数构造波包，得到波包的半经典运动方程，并且用其来研究各种贝里相位效应^[42]。

BOX 4 

周期晶格导致电子本征波动采取布洛赫波的形式，其(晶格)动量定义在具有环状面(torus)拓扑结构的布里渊区上。对于随位置和时间缓慢变化的晶格，可以采用局部晶格描述，其中描述元胞的晶格矢量{c_α(x, t)}和定义布里渊区的倒格矢量{b^α(x, t)}都成为矢量场，这里α=1,2,3。因此，不同的时空局部有不同的动量空间，不能再由一个统一的布里渊区描述。在这种情况下，如何联系和比较不同时空局部的动量呢？可以引入晶格联络的概念描述晶格矢量场的变化^[63]：

这里i, j 表示矢量的分量，而μ=0,1,2,3也包括了时间分量(μ=0)，重复的上下标意味着缩并求和。晶格联络类似于微分几何中的第二类克里斯托弗记号，可以借助倒格矢量与晶格矢量之间的正交归一条件而表示为

因此，随时空位置变化dx^μ，由于布里渊区的改变所导致的动量纯几何改变等于。这可直接导致两个重要的概念。第一，将其从晶格场中电子运动总的动量变化dk_i中扣除，即得到纯动力学动量改变：。第二，对时空坐标求导可以通过定义所谓晶格协变导数∇_x^μ，计入纯几何导致的晶格动量的时空依赖效应δk_i。晶格协变导数作用在相空间中任一标量函数f(k; x, t)的结果是：

因此，如果f 是k的周期函数则∇_x^μf依然是k的周期函数。这一性质使得晶格协变导数成为表述电子半经典动力学的理想语言。

另外，形变晶格的几何也会深刻地影响到量子几何。由于元胞内位置r和晶格动量k在不同的时空局部(x, t)有着不同的定义域，作用在布洛赫波幅上的时空导数也需要一个协变形式^[63]：

在此基础上，相空间中贝里曲率涉及到时空分量时都要用到这种协变导数，比如：

在上述几何概念的基础上，通过半经典动力学的一般手续，可以得到包含形变晶格几何和波函数量子几何的电子运动方程^[63]：

其中和是电子相对于晶格的速度和动量变化率，W(x, t)是晶格速度，而和是晶格角速度和加速度场。另外，晶格动量的动力学变化来源于梯度力以及晶格转动和平动引起的惯性力。除此之外，晶格几何的效应全部被晶格协变导数吸收，使得贝里曲率进入运动方程的方式与没有形变的情形一致。