他22岁便摘得一颗数论明珠，还是数学和科学的多面手

翻开20世纪以来的图书资料，范德瓦尔登（B.L. Van der Waerden，1903—1996）有过多种赞誉。有人称之为神童，因为他中学时就独自发现了三角函数，22岁便摘得数论三颗明珠之一；有人称之为数学家，因为他在众多的数学家园都遍地开花，且不说他在抽象代数方面的突出贡献，单就他对希尔伯特15问题的贡献就能名垂史册；有人称之为科技史家，他以数学家和科学家深邃的洞察力，撰写历史的优秀篇章；有人称之为教育家，他培养的学生不计其数，其中不乏知名数学家；有人称之为著述家，他以最人文的角度撰写书籍，获得的成功无以伦比，影响了许多学科的发展，推动了许多国家的数学和科学进程。这样看来，对于上述任何称谓，范德瓦尔登都是当之无愧的。遗憾的是，目前国内还没有他的传记发表，这也正是本文的写作意图。

一生漂泊，终渡难关

范德瓦尔登于1903年2月2日出生于荷兰首都阿姆斯特丹。他的父亲是一位数学教师，家里有数学书籍，但是他不希望小范德瓦尔登学习数学，而是坚持认为小范德瓦尔登应该到屋外玩。于是他把这些书锁了起来。父亲的这种做法适得其反，更加激发了小范德瓦尔登的好奇心。比如中学时，当时还没有开设三角函数的课程，他便从余弦定理开始重新发现了三角函数，在数学上表现出了卓越的才能。于是父亲改变了初衷，开始帮助和引导他。范德瓦尔登非常喜欢一个叫“毕达哥拉斯”的数学游戏，而他的两个兄弟对此不太感兴趣。这样他总是一个人玩，有时父亲和他一起玩。母亲虽对数学不太感兴趣，但却是他的亲密朋友，常常和他一起出游，增长了他的见识。范德瓦尔登就在这样和谐的家庭氛围中渐渐成长起来。值得一提的是，在中学期间，范德瓦尔登还研究了格罗宁根大学的教授巴饶（Barrau）写的一篇关于解析几何的专题论文。他发现论文的第二部分有许多定理的证明不充分，于是给作者写了信。巴饶看到信后非常欣赏范德瓦尔登，认为如果他离开格罗宁根，应该让范德瓦尔登作为他的继任者。后来果真如此，巴饶去了乌德勒支大学之后，范德瓦尔登受邀去了格罗宁根。

1919年中学毕业后，在行家眼里他自然会成为一名数学家。于是他继续到阿姆斯特丹大学深造。这时他的思想更加活跃，时常在课上提出一些问题。其中有一个让范德瓦尔登保持安静的故事：有一位教师布劳威尔（L.E. Brouwer，1881-1996）讲课时，范德瓦尔登打断了他的讲授提了一个问题。在下一次课前，布劳威尔的助教找到他说，布劳威尔不希望上课时有人提问。当时阿姆斯特丹大学还有另外几位数学老师教过范德瓦尔登，主要是曼那瑞（Mannoury）和韦瑞斯（Hendrik de Vries）。前者讲授拓扑学，后者讲授数的几何，对他影响都比较大。另外，范德瓦尔登还在父亲的资助下先后到哥廷根和汉堡游学，有幸结识了杰出数学家 E·诺特、希尔伯特（D.Hilbert，1862-1943）和阿廷（E. Artin，1898-1962）等人，并成为了 E·诺特的优秀弟子。他还在 E·诺特帮助下获得过洛克费勒奖，利用这部分奖金跟随阿廷完成了在汉堡的学习。希尔伯特也经常邀请他到家里做客。他在跟随这些数学家学习的同时，也与他们建立了深厚的友谊。1926 年他以优异的成绩获得阿姆斯特丹大学博士学位。另外在此期间还服过兵役。

范德瓦尔登 1927 年前往荷兰格罗宁根，1929 年继任格罗宁根教授职位，开始撰写代数书籍。1929 年得到哥廷根客座教授的职位。这一时期是他一生中最忙的时期。后来范德瓦尔登回忆说，哥廷根有著名的阅览室，他可以自己从书架子上取书，常常是找书的地方手边又有另一本很有意思的书。他还在这里与凯米拉（Camilla）小姐相识，很快便结婚。他的妻子在以后的生活中给了他很大帮助和鼓舞。蜜月后不久，诺特打来电话说：“蜜月结束了，回来工作吧！”然后他回到工作中，一口气写完了《近世代数学》。

范德瓦尔登 1931 - 1945 年任教于德国莱比锡大学。此时正值战争时期，他的很多学生当了兵。当时莱比锡的数学家有寇贝（P.Koebe，1882-1945）等人，但是吸引范德瓦尔登的却是物理学家海森堡（W.K. Heisenberg，1901-1976）和珩德（Hund），他们只谈科学不谈政治。1943 年 12 月 4 日，范德瓦尔登全家被轰炸得无家可归，于是去了德累斯顿，在一个学生的帮助下住在了德累斯顿附近的一个小镇上。1944 年末回到莱比锡，由于莱比锡正在遭受空袭，所以他们又在奥地利的乡下生活了一段时间。1945 年由于受不了连续的轰炸，就去了格拉茨附近的乡下，有相当长一段时间做不成研究工作，生活异常困苦。

1945 年 7 月，美国人说“人人都要回到他们原来的国家去”，这样范德瓦尔登回到了自己的祖国。没有钱，没有工作，生活很艰难。所幸的是能够住在父亲留下的房子里。当时找工作的难度令人无法想象。范德瓦尔登如果在纳粹时期回到荷兰，就会得到纳粹公共教育部长的头衔。事情是这样的，纳粹时期乌德勒支大学写信邀请他去，但是他回信说“现在不行，但战后我会去的”。范德瓦尔登就是这样一个有民族气节的人。

战争结束后，好友们力荐范德瓦尔登，文件递到了大臣那儿，但女王不肯签署，原因是整个纳粹时期他都在德国。后来弗瑞丹叟（Freudenthal）帮助他在壳牌石油公司工作，研究优化问题。他的妻子鼓励他说：“别人可以拿走我们的任何东西，但拿不走智慧”。

范德瓦尔登在这里待了大约有一年时间。1948 年他去美国霍普金斯大学访问。之后他还是愿意去阿姆斯特丹。它是一个大学城，另外女王也干涉不到。在范德库普特（van der Corput）的帮助下回到阿姆斯特丹大学任数学教授。居住了大约两年时间，接到苏黎世大学的邀请。

范德瓦尔登 1951 - 1972 年任瑞士苏黎世大学教授。这中间他接到过慕尼黑的邀请，但考虑到孩子们这些年生活在动荡不安当中，就回绝了。他对苏黎世大学产生了重要影响。不只是因为他的研究兴趣之广令人无法想象，而且他在苏黎世大学培养了 40 多名博士生，并且把他的余生都奉献给了苏黎世大学，进而推动了苏黎世大学的研究工作。他这里的学生几乎都是研究二次型。学生的论文都由范德瓦尔登发表，并与他的工作合起来取名《二次型理论研究》。范德瓦尔登还曾任该校数学研究所科学史室主任。另外在他 70 岁生日时，苏黎世州的教育秘书为他创建了一所带图书馆的数学史研究所，他把自己所有的那部分图书都捐给了研究所。不幸的是，他的继任者及其他人对研究所漠不关心，撤消了这个研究所。他一生获得过多种荣誉，还是阿姆斯特丹科学院、美国阿森斯科学院、德国哥廷根科学院和慕尼黑科学院院士。范德瓦尔登最终于 1996 年 1 月 12 日告别了他所热爱的家人以及数学和科学事业，享年 93 岁。^[2]

贡献卓越，发人深省

从上面我们可以看到范德瓦尔登曾遭遇难关，但是凭借他的聪慧做出了常人难以企及的贡献。范德瓦尔登涉猎的领域极为广泛。除了研究数论、代数、代数几何和群论之外，他还对数理统计、优化问题、组合论、分析、概率论、拓扑学、物理学以及古埃及、古巴比伦和古希腊的数学、数学史、科学史以及印度天文学史有很深的造诣。著有《科学的觉醒》（1950 年，原文为荷兰文 Ontwakende wetenschap，英译本 Science awakening，1954）、《生气勃勃的科学》（1959）、《数理统计学》（德文 Mathematische Statistik）、《量子力学中的群论方法》（1932 年，原文为德文，英译本 Group Theory and Quantum Mechanics，1974）和《代数学史》（英文 A History of Algebra，1985）等，均颇有影响。下面我们分几个方面重点阐述他的成就。

（一）代数学

范德瓦尔登的代数学工作对后世影响最为深远。他在哥廷根游学期间，诺特对他的代数学思想有着关键性的影响。

哥廷根大学是于十八世纪三十年代建立的一所历史悠久的学校，“教学自由和科研自由”是建校之初就定下的办校方针。大学一开始就有神、法、医、哲四个学院，这样神学院第一次丧失了到那时为止它通常享有的优先权，因而哥廷根大学可以看作是第一所具有广泛科研自由和教学自由的、启蒙主义的现代大学。

高斯（C.F. Gauss）所领导的天文台成为大学的第一个自然科学研究机构，他在数学神殿赢得的声誉为哥廷根留下了伟大的科学传统。1855 年高斯去世，狄利克雷（P.G.L. Dirichlet）接替他出任哥廷根大学数学教授，他和黎曼（G.F.B·Riemann）一起奏响了哥廷根数学研究的新乐章。其继任者克莱因（F. Klein）对哥廷根大学的数学教育体制进行大刀阔斧的改革、招揽人才。特别是希尔伯特到达哥廷根之后，全力以赴地帮助克莱因实现打造世界一流数学中心的目标，以克莱因 - 希尔伯特为首的哥廷根学派正式形成，培养了一大批享誉世界的数学家，使哥廷根成为十九世纪末二十世纪初世界数学的中心。然而 1933 年法西斯政权建立之后，使这个数学与科学王国毁于一旦。哥廷根数学学派的光环一去不复返，德国的数学从此一蹶不振。

1903 至 1904 年冬，诺特到达哥廷根大学听了闵可夫斯基、克莱因、希尔伯特等人的课程。之后返回埃尔朗根大学，在不变量之父果尔丹（P. Gordan）的指导下学习。1915 年应希尔伯特的邀请到哥廷根讲代数不变量，目的是解决希尔伯特和克莱因正在思考的用数学整理相对论的问题，进行了成功的合作。那个时期整个代数学的任务是将整个庞大的古典代数学阵营建立在一个明了清晰的基础之上，作出更深层次的概括。从埃尔朗根学到的算术化、形式化功底结合哥廷根学派的公理化能力，使 E·诺特驾驭了这一伟大事业。她用自己独创的思想、概念、公理来思考同构、同态、模、剩余类、理想等问题。她关于抽象代数的文章是从理想理论开始的，她的经典论文《环中的理想论》（1921）标志着代数现代化的开端。当时哥廷根是抽象代数的中心，吸引了世界各地的学者。E·诺特周围汇聚了大批学生，这其中有布饶尔（R.D. Brauer,1901 - 1977）、哈塞（H. Hasse，1898-1979），来自美国的麦克莱恩（S. Maclane，1909-），还有中国学者曾炯之（1898 - 1940）和日本学者正田建次郎等，形成了哥廷根抽象代数学派。她的思想也正是靠这些年轻人发展和传播，其中范德瓦尔登是最突出的。范德瓦尔登 1924 年来到哥廷根大学，成了 E·诺特的学生。他很快掌握了诺特的思想，并加以精辟透彻的揭示，在哥廷根出色地讲授了一般理想论的课程。E·诺特关于理想的讲座非常新颖，但是她在表述自己思想方面并不擅长。这样她的思想与方法后来主要由范德瓦尔登概括与总结写成专著。

范德瓦尔登离开哥廷根之后访问了汉堡大学。当时阿廷正好在汉堡大学举办近世代数讲座，讲座精彩而且洞察力强。不久阿廷和范德瓦尔登二人拟就了一个计划，打算合编一本代数教科书。由于阿廷没有按计划行事，所以范德瓦尔登独自撰写了两卷本《近世代数学》，并分别于 1930 年和 1931 年出版。他注明利用了 E·诺特和阿廷的讲稿。

范德瓦尔登的《近世代数学》一书的主要目的和内容是：定义各种代数数域并阐述其结构。他用两种方式定义代数数域：（1）通过在非空集合上添加一两种抽象运算（如群、环、超复数系统等）；（2）取定现有的一种代数数域，通过具体步骤（整数环的商域、给定环的多项式环、域的扩张等等）构造一种新域。《近世代数学》确定了代数结构化思想，是代数结构化思想巩固的标志。代数思想的发展经历了由戴德金到希尔伯特再到 E·诺特最后到范德瓦尔登这样一个过程。^[3]

这部书综合了当时近世代数学的各方面工作，优美而流畅，不仅改变了德国的研究生教学，在欧洲其他地方和美国也是如此。他把 E·诺特的概念化和结构化的见解表达得非常简洁，同时也融入了阿廷讲演中的优雅和解释。这部书概念层次清晰，结构化思想明确，风格简单而严谨，为其他数学分支的课本如巴拿赫空间、拓扑群论树立了典范。^[1]

这部书自出版后在当时众多的代数学书籍中脱颖而出，对于近世代数学的传播和发展起了巨大的推动作用。到 1959 - 1960 年，第一、二册已分别出到第五版和第四版。我们知道近世代数学是不断向前发展的。二十世纪三十年代，当时所谓近世代数学的一些基本内容已经逐渐成为每个近代数学工作者必备的理论知识，所以这部书由五十年代第四版起就去掉“近世”两字而改名为《代数学》，同时做了较大的增补和改写，但仍保持着原来的基本内容和风格，成为代数学的正统。范德瓦尔登本人曾在第四版的前言中这样讲到：最近完全出乎意料去世的代数学家与数论专家布然特（Brandt）在德国数学会的协会年报 55 卷中对本书第三版写了如下的评论：“关于书名，如果在第四版能够改为更简单的但是更确切的书名‘代数学’’，我将感到很高兴。像这样一部过去、现在和将来都是最好的数学书，书名不应该引起人们如此的疑惑，似乎它是追随一种时髦的式样，它在昨天还不被人们知道，可是明天可能将被忘掉。”根据这个意思，我把书名改成了“代数学”。^[7]

现在这部书已被公认为现代抽象代数的一个里程碑，是现代结构代数的经典著作。它最初以德文形式出版，历经几版并被译成多种语言，得到全世界许多大学的广泛使用。在此影响之下成长起一大批优秀的数学家和数学家集体。我们将在第三部分对范德瓦尔登及其《近世代数学》的影响做一详细介绍。

（二）代数几何

代数几何是范德瓦尔登早年最感兴趣的一个领域。他在荷兰阿姆斯特丹大学上学期间就研究过代数几何。当时韦瑞斯饶有兴趣地讲授数的几何（即舒伯特(H.C.H. Schubert, 1848-1911)的计数几何）课，范德瓦尔登在学习过程中发现这门几何学的基础理论很糟。例如数的守恒原理说几何问题当相关参数变化时，解的个数不变。实际上假设一个从一般到特殊的情况，其中的参数必然发生变化。一般情况下可能有多个解，特殊情况下只有一个解（解的个数须按其重数计算）。这是舒伯特的计数几何中缺少的内容。舒伯特没有给出重数的定义、求法，而且当时在代数几何方面取得很大成就的意大利几何学家们也忽略了其理论基础。范德瓦尔登开始考虑这种基础。

后来他听到哥廷根大学的 E·诺特利用理想给出了重数准确定义的消息后，便去哥廷根听 E·诺特关于理想的讲座。这些讲座启发性强，但是 E·诺特不善表达，令常人难以理解，不过范德瓦尔登很快就完全领会了。这对于他的一生有关键性的作用。在哥廷根他证明了数的守恒原理，给出了重数的一种定义和一种计算方法。在服兵役期间写出了博士论文。他在论文引言中写道：“代数几何的这一逐渐被称为计数几何的分支此前一直建立在一个不太稳固的基础之上。舒伯特的数的守恒原理作为计数几何的大部分基础，既没有严谨地出现在舒伯特的体系中，也没有严谨地出现在后来的定义中。它们或者是有缺陷，或者是不充分。”然后给出了计数几何的一个精确的基础。范德瓦尔登本来想把它作为博士论文，但是太长了。当时还有一条规定，论文只能用荷兰文或拉丁文来写。他分做几篇文章在《数学年刊》（Math Annalan）上予以发表。同时把这些文章中的主要结果写进博士论文，没有详尽的证明。他的论文指导老师是韦瑞斯，但是由于其间范德瓦尔登正在服兵役，没有时间去阿姆斯特丹与人讨论，所以实际上论文是他独立完成的。1926 年 3 月 24 日在阿姆斯特丹大学进行了论文答辩。^[2]

范德瓦尔登几乎一生都在思考代数几何问题。他于20世纪30年代和40年代在数学年刊上发表了许多文章，最后一篇是1971年发表的。1939年还出版了著作《代数几何引论》（ Introduction to A lgeberaic Geometry）。在这部著作中他系统地、精确地建立了用途很广的相交重数的概念，这是对代数几何进行改革的开始，即用抽象理想论奠定了代数几何的新基础。希尔伯特1900年所提出的23个著名问题中的第15个问题：舒伯特计数演算的严格基础。代数几何的严格基础已由范德瓦尔登在1938—1940年和韦伊在1950年建立，但舒伯特演算的合理性尚待解决。

1983年,施普林格出版社出版了范德瓦尔登的《代数几何论文选集》，德国数学家希策布鲁克（Hirzebruch F∙1927—）为选集作了序言。通过上面的论述,可以看出范德瓦尔登在代数几何领域做出了突出贡献。

（三）拓扑学

范德瓦尔登是在阿姆斯特丹大学读书期间开始接触拓扑学的。他的一位老师曼那瑞首先把拓扑学引入荷兰。他是一位共产党人，也是一位开拓型的数学家，和范德瓦尔登的父亲是好朋友。范德瓦尔登就是从曼那瑞那里开始学习和研究拓扑学的。而使范德瓦尔登真正学习到拓扑学的人则是哥廷根大学的无薪教师克尼斯尔（Kneser H）。布劳威尔曾经给克尼斯尔写过一封推荐信，推荐范德瓦尔登到哥廷根求学。这样范德瓦尔登到哥廷根后一直与克尼斯尔保持来往。他们常在一起吃午饭，有时饭后还要一起在哥廷根的树林里散步。范德瓦尔登学到不少拓扑学知识。克尼斯尔常作些读后评论，而范德瓦尔登未能完全理解。散步之后他就去哥廷根图书馆查阅相关内容。第二天再去问克尼斯尔他的解释对不对。这样他真正学习到了拓扑学，也作了一些研究工作。^[2]

（四）物理学、群论、数论等方面

范德瓦尔登是数学和科学的多面手。他对物理学、群论、数论、优化问题、数理统计等方面都有深入思考，一生中讲授过各种各样的数学课。

范德瓦尔登最初接触物理学是在大学期间。他对物理学的兴趣始于在德国莱比锡期间，当时物理学家海森堡和珩德一起主持一个讨论班，范德瓦尔登也参加了，从而学到了物理学。在此基础上他写了一本关于群论和量子力学的书，即《量子力学中的群论方法》。这本书最初于1932年以德文出版，题目是“Die gruppentheoretische Methode in der Quantenmechanik”。主要内容是介绍群论及其表示的基本概念以及在量子力学上的应用。主要是针对熟悉量子力学的物理学家所写的，颇受物理学家们的欢迎，很快销售一空。与此前外尔 (C.H.H. Weyl,1885—1955) 写的《群论和量子力学》形成鲜明对比，外尔写得太难，很少人能够读懂，而且对数学的表述也不是很漂亮。另外，实践证明范德瓦尔登的书对于学习量子力学的数学家也是有用的。不过范德瓦尔登认为这本书对于数学家来说物理部分太难，而对于物理学家来说数学有时又显得困难了。再加上德语对于许多读者来说也有一定困难。所以为了使这本书更具有可读性、用处更大，范德瓦尔登用英文重写了整本书，有些地方根据数学和物理的发展作了相应改动，1974年出版。直到现在还能买到。^[14]这就是范德瓦尔登与大多数科学家的不同，他不但创造新思想，而且竭力地推广这些新思想、为后人服务的这种态度非常令人钦佩。

（五）科技史

影响深远，享誉世界

（一）中国

（二）日本

（三）美国

（四）法国布尔巴基学派

[1]Saunders Maclane,Van der Waerden的近世代数,数学译林[J].1999.2.174-175.(原题:Van der Waerden's Modern Algebra,译自:Notices of the American Mathematical Society,Vol.44,No.3(1997),pp.321-322.)