哈喽，我是小白~
今儿和大家详细的聊聊时间序列中的移动平均~
之前总结了十大时间序列法的内容，大家有空可以看看，这里跳转。
移动平均 是什么？
首先说，时间序列分析中的移动平均法是一种用来平滑数据非常常用方法，尤其是当数据存在波动时，移动平均可以帮助我们消除短期的波动，揭示长期趋势。
移动平均法的核心思路是通过取一段时间内的数据平均值来代替这段时间的数据值。具体来说，对于时间序列数据中的每个时点，我们取这个时点前后一定数量的相邻数据点，计算这些点的平均值，然后用这个平均值替换原始数据中的当前时点的值。
根据时间窗口的不同，移动平均法可以分为：
简单移动平均（Simple Moving Average，SMA）：每个数据点的平均值都是由前面固定数量的时点数据计算得到，所有数据点的权重是相同的。 加权移动平均（Weighted Moving Average，WMA）：前面的时点赋予更高的权重，后面的时点赋予更低的权重。 指数移动平均（Exponential Moving Average，EMA）：越靠近当前时点的历史数据赋予的权重越大，而更早的数据权重更小。
为了简单起见，我们这里主要讨论简单移动平均。
案例：小卖部的饮料销售分析
假设一个小卖部老板想要分析每天售出的饮料数量，并发现趋势。他记录了过去10天的销售情况如下：
第1天：10瓶 第2天：12瓶 第3天：11瓶 第4天：15瓶 第5天：14瓶 第6天：10瓶 第7天：13瓶 第8天：16瓶 第9天：15瓶 第10天：17瓶
我们用3天的简单移动平均法来平滑数据，分析这个小卖部饮料销售的趋势。
如何计算移动平均？
步骤：
取固定的时间窗口（这里是3天）。 从第3天开始，每一天的移动平均值是该天及其前两天的数据的平均值。
例如：
第3天的移动平均值 = (第1天数据 + 第2天数据 + 第3天数据) / 3 = (10 + 12 + 11) / 3 = 11 第4天的移动平均值 = (第2天数据 + 第3天数据 + 第4天数据) / 3 = (12 + 11 + 15) / 3 = 12.67 第5天的移动平均值 = (第3天数据 + 第4天数据 + 第5天数据) / 3 = (11 + 15 + 14) / 3 = 13.33
依此类推，继续计算后面的移动平均值。
完整的计算结果
| 日期 | 销售量（瓶） | 3天移动平均值（瓶） |
|---|---|---|
| 第1天 | 10 | - |
| 第2天 | 12 | - |
| 第3天 | 11 | 11 |
| 第4天 | 15 | 12.67 |
| 第5天 | 14 | 13.33 |
| 第6天 | 10 | 13 |
| 第7天 | 13 | 12.33 |
| 第8天 | 16 | 13 |
| 第9天 | 15 | 14.67 |
| 第10天 | 17 | 16 |
从第3天开始，我们得到了一系列平滑后的移动平均值。这些值比原始数据波动更小，可以让我们更清楚地看到销售量的变化趋势。通过移动平均的结果可以看出，小卖部的饮料销量在第3天到第10天间逐渐上升。
移动平均法的本质是将原始数据中的短期波动去除，帮助我们更好地观察长期趋势。它就像用多次数据的“平均”来消除不必要的噪音，让我们专注于总体变化方向。
例如，如果你今天、明天、后天的饮料销量分别是10瓶、12瓶和11瓶，直接看这三个数字可能会觉得变化不大或者波动较大。但如果计算它们的平均值得到一个11瓶的数字，反映的是这几天的平均趋势，而不是单日波动。
移动平均法在很多领域都可以应用：
销售数据：帮助分析销售趋势，去除季节性波动。 股市分析：用于判断股票的价格趋势。 气候数据：平滑气温或降雨量的变化，帮助气象分析。
希望这个案例和解释对你理解移动平均法有帮助！
公式解析
在时间序列分析中，移动平均法是一种经典的方法。
下面，我们从数学推导和公式推理的角度来详细解释移动平均方法，尤其是简单移动平均（SMA）的计算。
简单移动平均（SMA）的定义
简单移动平均是对固定时间窗口内的数据点取算术平均值，逐步移动窗口来平滑时间序列。
假设我们有一个时间序列数据 ，则简单移动平均的公式为：
其中：
是当前时刻， 是移动平均窗口的大小。 是时间序列在第 时刻的观测值。 是在时刻 的移动平均值。
算法推导
我们以 N=3 的简单移动平均为例，来推导其计算过程。
1. 移动平均的本质：是将时间序列中的每个时刻的值替换为该时刻及其前面 个时刻的平均值。
2. 公式解读：
是当前的时间点，比如第 天的饮料销售量； 是窗口大小，表示我们在每个时刻要用多少个数据点来计算平均值。
对于窗口大小为 3 的情况，简单移动平均值的计算公式为：
这个公式表示，时刻 的简单移动平均值是 、、 三个时刻的值之和除以 3。
3. 逐步计算：
假设我们有一组时间序列数据：，分别为：10, 12, 11, 15, 14, 10。我们使用窗口大小 来计算简单移动平均。
第 3 天的移动平均值：
第 4 天的移动平均值：
第 5 天的移动平均值：
第 6 天的移动平均值：
如此类推，每天的移动平均值就通过这个方式计算出来。
公式推理
我们从数学角度进一步推导这个公式。
1. 从时间序列的性质推导：
对于一个时间序列 ，在每一个时刻 ，我们希望消除短期波动，得到更加平滑的序列。简单移动平均的想法就是对每个时刻的观测值 ，通过它与前 个时刻的数据进行均值计算，表示这段时间的中心趋势。
因此，在时刻 ，我们对窗口内 个数据点的加权方式是等权重的，即所有数据点的权重为 ，因此移动平均值可以表示为：
2. 移动平均的平滑效果：
在时间序列数据中，常常包含高频波动（短期波动）和低频波动（长期趋势）。简单移动平均的作用是通过平滑高频波动，揭示低频波动的趋势。
简单移动平均法的平滑效果可以通过以下方式理解：
对于短期的波动（即高频部分），窗口内的数据相互抵消，从而削弱其影响。 对于长期趋势（低频部分），则因为窗口内的数据逐步移动，所以能够很好地保留长期趋势。
3. 从加权的角度推理：
对于简单移动平均，每一个时间点 的权重都是 。如果我们将权重的思想扩展，得到加权移动平均（WMA）和指数移动平均（EMA）的概念。
例如，在加权移动平均中，不同的时间点可以赋予不同的权重，而在指数移动平均中，距离当前时间点较近的数据点权重更大，距离较远的权重更小。
移动平均的作用与局限性
作用：
消除短期波动：通过取均值的方法，可以减少序列中的短期波动，突显长期趋势。 易于计算：简单移动平均公式简单，计算方便，应用广泛。
局限性：
滞后性：移动平均法会让序列中的趋势滞后，尤其是在趋势发生变化时，移动平均不能快速反映最新的趋势。 权重分布：对于简单移动平均，窗口内的数据点的权重是均匀的，但在实际情况中，较新的数据可能比较旧的数据更重要。
简单移动平均法的核心思想是对固定时间窗口内的数据点取均值，平滑数据，揭示趋势。
优缺点和适用场景
优点：
简单易懂、容易实现：移动平均法的计算非常直观和简单，只需取一段时间内的数据的算术平均值。对于初学者来说，这种方法易于理解和实现。
平滑短期波动，突显长期趋势：移动平均通过平滑掉数据中的短期波动，使得时间序列中的长期趋势更加明显，能够有效减少噪音的干扰。
适合不需要复杂模型的应用：对于一些无需复杂预测或分析的场景，移动平均是很好的选择，能够在简单的框架下提供有用的信息。
缺点：
滞后性：移动平均会引入滞后效应。由于每次计算是基于过去的数据，移动平均不能及时反映最新的数据变化，尤其是当趋势发生明显变化时，反应较慢。
对周期性变化不敏感：如果时间序列存在显著的周期性波动，简单移动平均很难有效捕捉这些周期性变化，可能会导致对趋势的误判。
权重分布均匀：简单移动平均法给窗口内的每个数据点相同的权重，没有考虑较近数据点可能比较远数据点更重要。因此，它在捕捉趋势的变化时效率不高。
无法应对复杂的时间序列数据：移动平均仅能处理比较简单的趋势分析，对于带有更复杂模式或噪声的数据集（例如非线性变化、大量噪声干扰等），效果不理想。
移动平均法的适用场景
金融市场分析：
股票价格走势：移动平均法广泛应用于股票市场中，用于分析股票的价格趋势。常见的有短期移动平均线（如5日线、10日线）和长期移动平均线（如50日线、200日线），帮助投资者识别市场的上升或下降趋势。 技术指标分析：许多技术指标基于移动平均法，如“黄金交叉”（短期均线向上突破长期均线）和“死亡交叉”（短期均线向下跌破长期均线），常用来判断买卖时机。
销售和市场预测：
销量趋势分析：移动平均法在零售和销售分析中用于平滑销量数据，以识别销售的长期变化趋势。例如，商店可以用3天、7天或30天的移动平均来观察每日或每月的销售量，去除日常销售的波动，发现长期的销售上升或下降趋势。 市场需求预测：企业可以通过移动平均法对产品需求进行短期预测，帮助企业决策和库存管理。
经济指标分析：
宏观经济数据分析：例如分析GDP、CPI、失业率等经济数据时，可以用移动平均法平滑短期波动，显示经济的长期趋势，帮助政策制定者理解宏观经济形势。 工业生产数据：工厂生产过程中，每天的生产量可能波动较大。通过移动平均法，可以得到更平稳的生产趋势，进行产能规划。
气象数据处理：
温度、降水量等的长期趋势分析：气象学中，移动平均用于平滑日常的气温或降水量波动，帮助识别季节性趋势或全球变暖等长期变化。
完整案例
这里，咱们使用tesla的股票数据，进行一个股票市场分析案例的说明。案例中，分别展示原始数据、移动平均曲线，以及一些额外的分析图形，如不同时间窗口的移动平均比较，结合阴影区域展示趋势。
导入所需库和数据
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
# 使用matplotlib的样式库来增加图表炫酷效果
plt.style.use('seaborn-darkgrid')
# 假设你从Kaggle导入了一个股票市场的数据，例如"Tesla"的历史价格数据
# 数据集可以包含日期、开盘价、收盘价、最高价、最低价等
# 在这里我们使用pandas的read_csv方法从本地读取数据
data = pd.read_csv('TSLA.csv')
# 查看数据的前几行，确保数据加载正确
print(data.head())
# 将日期转换为datetime格式，方便绘图
data['Date'] = pd.to_datetime(data['Date'])
# 只使用日期和收盘价两列
data = data[['Date', 'Close']]
# 将日期列设置为索引，便于时间序列分析
data.set_index('Date', inplace=True)
# 查看数据概况
print(data.describe())
计算不同窗口的移动平均
# 计算短期（10天）、中期（30天）和长期（60天）的移动平均
data['SMA_10'] = data['Close'].rolling(window=10).mean()
data['SMA_30'] = data['Close'].rolling(window=30).mean()
data['SMA_60'] = data['Close'].rolling(window=60).mean()
绘制原始数据和移动平均曲线
# 设置画布大小
plt.figure(figsize=(14, 8))
# 绘制原始数据（收盘价）曲线
plt.plot(data.index, data['Close'], label='Closing Price', color='blue', alpha=0.6, linewidth=2)
# 绘制10天、30天和60天的移动平均曲线
plt.plot(data.index, data['SMA_10'], label='10-Day SMA', color='green', linestyle='--', linewidth=2.5)
plt.plot(data.index, data['SMA_30'], label='30-Day SMA', color='orange', linestyle='-', linewidth=2.5)
plt.plot(data.index, data['SMA_60'], label='60-Day SMA', color='red', linestyle='-', linewidth=2.5)
# 设置标题和标签
plt.title('Tesla Stock Price with Moving Averages', fontsize=16, weight='bold')
plt.xlabel('Date', fontsize=12)
plt.ylabel('Price (USD)', fontsize=12)
# 图例显示
plt.legend(loc='best', fontsize=12)
# 增加炫酷的背景渐变效果
plt.grid(True, which='both', linestyle='--', linewidth=0.5)
# 显示图表
plt.show()
绘制增加阴影区域的复杂分析图形
# 设置画布大小
plt.figure(figsize=(14, 8))
# 绘制收盘价曲线
plt.plot(data.index, data['Close'], label='Closing Price', color='blue', alpha=0.6, linewidth=2)
# 绘制30天移动平均线
plt.plot(data.index, data['SMA_30'], label='30-Day SMA', color='orange', linestyle='-', linewidth=2.5)
# 绘制阴影区域，表示收盘价上下波动区间
plt.fill_between(data.index, data['SMA_30'] - data['Close'].std(), data['SMA_30'] + data['Close'].std(),
color='orange', alpha=0.2, label='±1 Standard Deviation')
# 设置标题和标签
plt.title('Tesla Stock Price with 30-Day SMA and Deviation Range', fontsize=16, weight='bold')
plt.xlabel('Date', fontsize=12)
plt.ylabel('Price (USD)', fontsize=12)
# 增加图例
plt.legend(loc='best', fontsize=12)
# 增加网格
plt.grid(True, linestyle='--', alpha=0.6)
# 展示图表
plt.show()
使用Seaborn增加热度图效果
# 使用Seaborn绘制热度图分析价格变化趋势
plt.figure(figsize=(14, 8))
# 使用 Seaborn 的 color palette 来增加炫酷的色彩效果
colors = sns.color_palette("coolwarm", as_cmap=True)
# 绘制热度图，展示收盘价随时间的变化
sns.heatmap(data.pivot_table(values='Close', index=data.index.year, columns=data.index.month), cmap=colors, linewidths=0.5)
# 设置标题
plt.title('Tesla Stock Price Heatmap (by Year and Month)', fontsize=16, weight='bold')
# 展示图表
plt.show()
通过以上的Python代码，我们可以使用「移动平均」进行时间序列分析，并结合不同的图形展示数据：
第一个图展示了收盘价和不同时间窗口的移动平均线，帮助我们观察长期趋势。 第二个图结合阴影区域展示了30天移动平均的波动范围，增加了视觉复杂度。 最后一个使用Seaborn的热度图展示不同年份和月份的股票价格变化，使得分析更加直观。
最后
