哈喽，我是小白~
最近，咱们分享了很多关于时间序列的内容，今儿想和大家详细的聊其中一个算法模型：
时间序列分析方法：Prophet
简单来说，Prophet 是由 Facebook（现在的 Meta）开发的一种时间序列预测工具，它非常适合初学者使用，尤其是用来处理具有周期性、趋势性数据的任务，比如预测销售额、网站流量等。Prophet 之所以受欢迎，主要是因为它相对简单易用，而且能够很好地处理常见的时间序列问题，比如节假日影响、周期性波动等。
下面，咱们先简单介绍其核心思想和简单的案例，让大家有一个整体的认识~
1. Prophet 的核心思想
Prophet 的核心模型可以理解为以下三个部分的加和：
趋势（trend）：数据长期的变化趋势，比如一个网站的流量随着时间推移逐步上升。 季节性（seasonality）：数据周期性的波动，比如流量每年圣诞节前后会大幅增加。 假日影响（holidays）：节假日对数据的影响，比如某些特定假期对消费数据的短期刺激作用。
Prophet 的基本公式如下：
：趋势模型 ：季节性模型 ：假日影响 ：误差项
2. 简单案例：预测冰淇淋店销售额
假设我们有一家冰淇淋店，它每年夏天的销售额会大幅增加，而冬天的销售额会下降。我们希望用 Prophet 来预测未来几个月的销售额。
数据准备：
我们有过去 3 年每个月的销售数据，类似下面的格式：
| 日期 | 销售额（元） |
|---|---|
| 2021-01-01 | 1000 |
| 2021-02-01 | 1100 |
| 2021-03-01 | 1200 |
| ... | ... |
| 2023-12-01 | 5000 |
计算与预测步骤：
1. 安装和导入 Prophet
我们需要用 Python 来运行 Prophet。可以通过以下命令安装：
pip install prophet
2. 导入数据并创建模型 接下来，我们将数据加载到 Pandas 数据框中，然后用 Prophet 进行训练。
import pandas as pd
from prophet import Prophet
# 创建数据框
df = pd.DataFrame({
'ds': ['2021-01-01', '2021-02-01', '2021-03-01', ..., '2023-12-01'],
'y': [1000, 1100, 1200, ..., 5000]
})
# 将日期列转换为日期格式
df['ds'] = pd.to_datetime(df['ds'])
# 创建 Prophet 模型并拟合数据
model = Prophet(yearly_seasonality=True)
model.fit(df)
3. 预测未来几个月的销售额
模型拟合好后，我们可以预测未来的销售额。例如，我们想预测接下来 6 个月的销售情况：
future = model.make_future_dataframe(periods=6, freq='M')
forecast = model.predict(future)
4. 查看预测结果
预测结果中会包含许多列，但最重要的是 yhat 列，它表示预测的销售额。我们可以通过以下命令查看预测数据：
forecast[['ds', 'yhat']].tail(6)
假设输出结果如下：
ds yhat
2024-01-01 5200.45
2024-02-01 5300.12
2024-03-01 5400.76
2024-04-01 5500.25
2024-05-01 5800.36
2024-06-01 6000.12
从预测结果可以看到，未来几个月销售额逐步上升，尤其是从春季到夏季，随着天气变暖，冰淇淋店的销售额逐渐增长。
这个例子展示了如何使用 Prophet 预测一个冰淇淋店的销售额，大家可以根据自己的数据和需求进一步调整模型，比如添加假日效应、调整季节性参数等。
接下来，我们详细分析 Prophet 的数学公式及其推理过程。
Prophet 模型基本公式
Prophet 使用加性模型表示时间序列数据。其基本公式为：
其中：
表示时间 的观察值（例如销售额）。 表示趋势（trend）函数，用于捕捉数据中的长期趋势。 表示季节性（seasonality）函数，用于捕捉周期性的波动。 表示假日效应（holidays）函数，表示特定节假日对时间序列的短期影响。 表示误差项（残差），通常假设为独立同分布的高斯噪声。
1. 趋势函数
Prophet 支持两种不同的趋势模型：
线性趋势模型。 饱和增长趋势模型（即 logistic 回归模型）。
线性趋势模型
线性趋势假设数据随时间以常数速率增长或衰减。趋势函数 表示为：
其中：
是斜率（即线性增长率），初始时不随时间变化。 是截距。 是由模型自动检测的时间段中断（changepoint）引起的斜率变化。 是由于 changepoint 导致的截距变化。
Prophet 自动检测 changepoints，并允许趋势在这些点发生变化，从而提高对非平稳数据的拟合效果。
饱和增长趋势模型
饱和增长模型适用于增长受限的场景，比如人口增长、资源有限的业务增长。使用 Logistic 函数定义的趋势模型为：
其中：
是增长的上限。 是增长速率。 是数据增长达到一半饱和水平的时间点。
2. 季节性函数
季节性函数捕捉数据中的周期性波动，Prophet 假设季节性波动是周期性的，可以用傅里叶级数表示：
其中：
是季节性周期的长度（例如一年为 365.25 天）。 和 是傅里叶系数，由模型拟合。 是傅里叶级数的阶数，控制拟合的季节性复杂度。
Prophet 通过对时间序列进行傅里叶展开来建模季节性。傅里叶级数的高阶部分可以捕捉到更复杂的季节性模式。
3. 假日效应
假日效应是短期波动，特定节假日可能对销售或业务有显著影响。假日效应 可以建模为：
其中：
是第 个节日对销售的影响强度。 是指示函数，当 属于节日 时为 1，否则为 0。
4. 误差项
误差项 通常假设为独立同分布的正态分布噪声：
Prophet 会通过最大化似然估计来拟合模型，确保误差项服从正态分布的假设。
优缺点和适用场景
优点
1. 易用性强
Prophet 的接口设计非常简洁。用户只需要输入日期和观测值，无需对数据做过多预处理或深入的时间序列建模知识，就能得到合理的预测结果。
2. 自动处理趋势和季节性
Prophet 可以自动检测数据中的长期趋势和季节性波动。对于不同时间段的趋势变化（例如突变点），Prophet 能自动检测并进行趋势调整。这在处理非平稳数据时非常有用。
3. 处理节假日效应
Prophet 内置了处理节假日效应的功能，用户可以将特定节日或事件引入模型，从而提升对短期波动的预测精度。
4. 能够处理缺失值与异常值
Prophet 在遇到数据中的缺失值或异常值时表现得较为鲁棒，不会因为少数异常点导致模型失效。此外，它不要求数据必须等间距，适合处理非均匀分布的数据。
5. 支持不定期时间间隔
与 ARIMA 等传统时间序列模型不同，Prophet 可以处理时间间隔不等的数据（如业务运营中断，或者非工作日没有数据的情况）。
6. 可解释性强
Prophet 模型的可解释性很好，可以清晰地将数据分解为趋势、季节性和节假日效应，这有助于理解模型输出背后的原因。
7. 可定制化
Prophet 提供了许多参数让用户调整，例如：
是否使用线性趋势或 logistic 趋势。 自定义季节性周期的长度和复杂度。 添加自定义的节假日。
缺点
1. 对短期预测效果不佳
Prophet 主要针对长期预测，对于短期波动较大的时间序列，模型可能不如传统的时间序列方法（如 ARIMA、SARIMA）精确。
2. 假设趋势是平滑的
Prophet 默认假设趋势是平滑的，且在特定的时间点发生变化。这对于那些具有剧烈变化的时间序列数据（如股票价格等高频交易数据）可能效果较差，因为这些变化难以通过分段线性回归捕捉。
3. 对外部因素敏感性低
Prophet 主要侧重于时间序列数据本身的特征，而对外部变量的敏感性较低。例如，假如某一数据的波动与外部经济指标有关，Prophet 并不能很好地捕捉到这种关联。
4. 没有内置的状态更新机制
Prophet 是基于历史数据进行静态预测的，并不具备自适应更新功能。对于那些依赖于在线实时数据的场景，Prophet 并不能像 Kalman Filter 等方法一样根据新数据更新预测。
5. 预测结果依赖于趋势分割点
Prophet 会自动检测变化点（changepoint），但有时这种自动检测可能不准确，导致模型在趋势发生变化时效果不佳。用户需要手动调整 changepoint 或进行验证，以确保预测的准确性。
适用场景
Prophet 适用于处理具有长期趋势、季节性波动和节假日效应的时间序列。它的设计初衷是为那些不需要精确微调的商业场景服务，尤其是以下场景：
1. 电商销售预测
电商中的销售数据往往具有很强的季节性波动，例如每年圣诞节或黑色星期五销售量会突然激增。Prophet 可以很好地捕捉到这种趋势，并在节假日效应中体现。
2. 网站流量预测
对于网站流量或用户访问量的预测，尤其是具有长期趋势和季节性波动的场景，Prophet 可以有效识别日常波动以及突发事件的影响。
3. 商品库存管理
在零售行业中，商家通常需要根据历史销售数据预测未来的需求，以进行库存管理。Prophet 可以帮助商家根据销售历史和季节性需求做好库存规划。
4. 金融业的长期资产价格预测
虽然 Prophet 不适合处理高频交易数据，但在某些长期的金融资产价格趋势分析中，它可以提供不错的预测结果。
5. 能源消耗预测
能源需求往往受季节性因素（如冬天和夏天的供暖、制冷需求）影响。Prophet 可以帮助能源公司预测未来的需求，优化供应链。
案例 1：电商平台的销售预测
某电商平台希望预测未来几个月的销售情况。历史数据显示，销售额通常在每年 11 月（黑色星期五）大幅上涨，12 月（圣诞季）进一步增长。公司使用 Prophet 模型来预测下一年的销售走势，并制定库存和物流计划。
流程：
利用历史销售数据训练 Prophet 模型。 通过 Prophet 的季节性分量捕捉每年销售高峰期的波动。 利用模型输出的假日效应优化销售策略。
案例 2：网站用户访问量预测
一家新闻网站希望预测未来的访问量变化。该网站的流量通常在节假日或突发事件期间大幅波动。公司使用 Prophet 来预测日常访问量趋势，并根据预测结果优化服务器资源配置。
流程：
使用 Prophet 模型训练过去几年的日流量数据。 模型捕捉到访问量的长期趋势以及季节性波动。 结合节假日效应，优化服务器带宽和资源分配，减少峰值期间的负载问题。
完整案例
我们将使用电商平台销售预测的案例，结合 Prophet 进行时间序列分析~
图形一：实际销售额 vs 预测销售额对比图，展示预测结果与实际数据的对比。 图形二：趋势、季节性、假日效应分解图，展示 Prophet 模型对时间序列数据的趋势、季节性和假日效应分量的分解。
使用集成 Prophet 模型进行数据分析，并利用 Python 的 plotly 库进行可视化。
import pandas as pd
from prophet import Prophet
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import plotly.graph_objs as go
import plotly.subplots as sp
# 1. 创建模拟的电商销售数据
np.random.seed(42)
dates = pd.date_range(start='2019-01-01', periods=365*4, freq='D') # 4年每天的数据
sales = 3000 + 1000 * np.sin(2 * np.pi * dates.dayofyear / 365) + np.random.normal(0, 200, len(dates)) # 季节性波动
sales += np.where((dates.month == 11) & (dates.day >= 20), 5000, 0) # 加入黑色星期五效应
sales += np.where((dates.month == 12) & (dates.day <= 25), 7000, 0) # 圣诞季效应
# 创建 DataFrame
df = pd.DataFrame({'ds': dates, 'y': sales})
# 2. 创建 Prophet 模型并拟合数据
model = Prophet(yearly_seasonality=True, weekly_seasonality=True, daily_seasonality=False, holidays_prior_scale=10)
model.add_country_holidays(country_name='US') # 添加美国节假日效应
model.fit(df)
# 3. 生成未来 1 年的数据并进行预测
future = model.make_future_dataframe(periods=365)
forecast = model.predict(future)
# 4. 创建图形一：实际销售额 vs 预测销售额对比图
fig1 = sp.make_subplots(rows=1, cols=1)
# 实际数据
actual_sales = go.Scatter(x=df['ds'], y=df['y'], mode='lines', name='Actual Sales', line=dict(color='blue', width=2))
# 预测数据
predicted_sales = go.Scatter(x=forecast['ds'], y=forecast['yhat'], mode='lines', name='Predicted Sales', line=dict(color='orange', width=2))
fig1.add_trace(actual_sales)
fig1.add_trace(predicted_sales)
fig1.update_layout(title='Actual Sales vs Predicted Sales',
xaxis_title='Date', yaxis_title='Sales',
template='plotly_dark',
font=dict(size=14),
showlegend=True,
legend=dict(x=0.02, y=0.98),
plot_bgcolor='#111111')
# 5. 创建图形二：趋势、季节性、假日效应分解图
fig2 = sp.make_subplots(rows=3, cols=1, shared_xaxes=True, subplot_titles=['Trend', 'Yearly Seasonality', 'Holidays Effect'])
# 趋势分量
trend = go.Scatter(x=forecast['ds'], y=forecast['trend'], mode='lines', name='Trend', line=dict(color='green', width=2))
fig2.add_trace(trend, row=1, col=1)
# 季节性分量
yearly_seasonality = go.Scatter(x=forecast['ds'], y=forecast['yearly'], mode='lines', name='Yearly Seasonality', line=dict(color='purple', width=2))
fig2.add_trace(yearly_seasonality, row=2, col=1)
# 假日效应分量
holidays_effect = go.Scatter(x=forecast['ds'], y=forecast['holidays'], mode='lines', name='Holidays Effect', line=dict(color='red', width=2))
fig2.add_trace(holidays_effect, row=3, col=1)
fig2.update_layout(title='Trend, Seasonality, and Holidays Effects',
xaxis_title='Date', yaxis_title='Effect',
template='plotly_dark',
font=dict(size=14),
showlegend=False,
plot_bgcolor='#111111')
# 6. 展示图形
fig1.show()
fig2.show()
数据生成：创建了一个包含 4 年每日销售数据的 DataFrame。销售数据包括基础趋势和季节性波动（使用正弦函数模拟一年周期的波动），并且加入了黑色星期五和圣诞节效应。 Prophet 模型训练：使用 Prophet 模型拟合数据，并加入美国节假日效应。模型会自动检测趋势、季节性和假日影响。
图形一：实际销售额和预测销售额对比，展示模型的预测精度。
图形二：将 Prophet 模型分解后的趋势、季节性、和假日效应展示为三张子图，便于理解模型是如何处理不同分量的。
总的来说，Prophet 的数学模型可以分解为趋势、季节性、和假日效应三部分。趋势可以是线性或饱和增长的，季节性由傅里叶级数拟合，假日效应通过回归捕捉特定时间点的短期波动。Prophet 的推导过程基于最大似然估计和贝叶斯方法，确保其在实际中具有较好的表现，特别是在处理非平稳、复杂的时间序列时。
最后
