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算法介绍
数据包络分析（Data Envelopment Analysis，DEA）是一种非参数的数学规划方法，主要用于评价决策单元（DMU）的生产效率。DEA被广泛应用来衡量具有多个输入和多个输出的系统或组织，在给定资源投入下的产出表现。
DEA模型不依赖于预先知道的生产函数形式，而是通过构建线性规划模型，基于实际观测到的输入（如成本、人力、物质资源等）和输出（如产量、销售额、服务数量等）数据，计算每个决策单元的技术效率、规模效率以及纯技术效率。
具体来说，DEA能够解决以下问题：
效率评价：确定决策单元是否达到最优效率边界，即在保持相同产出的情况下能否减少输入，或者在保持相同输入不变的情况下能否增加产出。
标杆管理：识别效率最高的决策单元作为“标杆”，为其他低效单位提供改进的方向。
资源配置优化：指导资源在不同决策单元之间的合理分配，以提高整体系统的效率。
目前，DEA模型已经发展出了多种模型变体，适应不同的应用场景，例如C2R模型、BCC模型以及超效率模型等。
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应用示例
在地学研究中，DEA方法具有广泛的应用潜力：
1.区域发展效率评估
DEA可用于评估不同地区的经济、社会、环境等方面的综合效率或单项效率。通过比较各地区单位投入下的产出水平，找出最优效率边界，为区域政策制定和资源配置提供科学依据。
参考文献：曹炳汝,孔泽云,邓莉娟.长江经济带省域物流效率及时空演化研究[J].地理科学,2019,39(12):1841-1848.
2.自然资源管理与可持续性评价
DEA可以用于评价不同自然资源管理体系的效率，包括水资源、森林资源、矿产资源等的开发利用情况，以及相应的环境保护措施效果。
参考文献：王朝,张廷龙,李双等.基于DEA和Malmquist指数的汉江干流水资源利用效率变动研究[J].水土保持研究,2023,30(01):291-296.
3.城市或区域规划
针对城市的公共服务设施布局、交通网络效率、能源消耗结构等方面，DEA能够帮助识别高效的城市发展模式和低效环节，从而指导城市规划和优化资源配置。
参考文献：田超,程琳琳,邵盈钞.京津冀地区城市三生空间碳代谢效率特征及演进模式[J/OL].环境科学:1-15
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算法代码
DEA模型也可以使用SPSS或者Stata进行构建，自己习惯使用Python进行建模，核心代码如下：
import gurobipyimport pandas as pdclass DEA(object):def __init__(self, DMUs_Name, X, Y, AP=False):"""初始化 DEA 模型类:param DMUs_Name: 生产单元名称列表:param X: 输入指标矩阵 (DataFrame):param Y: 输出指标矩阵 (DataFrame):param AP: 是否考虑全输入/全输出 (默认为False)"""self.m1, self.m1_name, self.m2, self.m2_name, self.AP = X.shape[1], X.columns.tolist(), Y.shape[1], Y.columns.tolist(), APself.DMUs, self.X, self.Y = gurobipy.multidict({DMU: [X.loc[DMU].tolist(), Y.loc[DMU].tolist()] for DMU in DMUs_Name})print(f'DEA(AP={AP}) MODEL RUNNING...')def __CCR(self):for k in self.DMUs:MODEL = gurobipy.Model()OE, lambdas, s_negitive, s_positive = MODEL.addVar(), MODEL.addVars(self.DMUs), MODEL.addVars(self.m1), MODEL.addVars(self.m2)MODEL.update()MODEL.setObjectiveN(OE, index=0, priority=1) # 多目标优化(默认最小值)MODEL.setObjectiveN(-(sum(s_negitive) + sum(s_positive)), index=1, priority=0)MODEL.addConstrs(gurobipy.quicksum(lambdas[i] * self.X[i][j] for i in self.DMUs if i != k or not self.AP) + s_negitive[j] == OE * self.X[k][j] for j in range(self.m1))MODEL.addConstrs(gurobipy.quicksum(lambdas[i] * self.Y[i][j] for i in self.DMUs if i != k or not self.AP) - s_positive[j] == self.Y[k][j] for j in range(self.m2))MODEL.setParam('OutputFlag', 0)MODEL.optimize()self.Result.at[k, ('效益分析', '综合技术效益(CCR)')] = MODEL.objValreturn self.Resultdef __BCC(self):for k in self.DMUs:MODEL = gurobipy.Model()TE, lambdas, s_negitive, s_positive = MODEL.addVar(), MODEL.addVars(self.DMUs), MODEL.addVars(self.m1), MODEL.addVars(self.m2)MODEL.update()MODEL.setObjectiveN(TE, index=0, priority=1) # 多目标优化(默认最小值)MODEL.setObjectiveN(-(sum(s_negitive) + sum(s_positive)), index=1, priority=0)MODEL.addConstrs(gurobipy.quicksum(lambdas[i] * self.X[i][j] for i in self.DMUs if i != k or not self.AP) + s_negitive[j] == TE * self.X[k][j] for j in range(self.m1))MODEL.addConstrs(gurobipy.quicksum(lambdas[i] * self.Y[i][j] for i in self.DMUs if i != k or not self.AP) - s_positive[j] == self.Y[k][j] for j in range(self.m2))MODEL.addConstr(gurobipy.quicksum(lambdas[i] for i in self.DMUs if i != k or not self.AP) == 1)MODEL.setParam('OutputFlag', 0)MODEL.optimize()self.Result.at[k, ('效益分析', '技术效益(BCC)')] = MODEL.objVal if MODEL.status == gurobipy.GRB.Status.OPTIMAL else 'N/A'self.Result.at[k, ('规模报酬分析', '有效性')] = '非 DEA 有效' if MODEL.objVal < 1 else 'DEA 弱有效' if s_negitive.sum().getValue() + s_positive.sum().getValue() != 0 else 'DEA 强有效'for m in range(self.m1):self.Result.at[k, ('差额变数分析', f'{self.m1_name[m]}')] = s_negitive[m].Xself.Result.at[k, ('投入冗余率', f'{self.m1_name[m]}')] = 'N/A' if self.X[k][m] == 0 else s_negitive[m].X / self.X[k][m]for m in range(self.m2):self.Result.at[k, ('差额变数分析', f'{self.m2_name[m]}')] = s_positive[m].Xself.Result.at[k, ('产出不足率', f'{self.m2_name[m]}')] = 'N/A' if self.Y[k][m] == 0 else s_positive[m].X / self.Y[k][m]return self.Resultdef dea(self):columns_Page = ['效益分析'] * 3 + ['规模报酬分析'] * 1 + ['差额变数分析'] * (self.m1 + self.m2) + ['投入冗余率'] * self.m1 + ['产出不足率'] * self.m2columns_Group = ['技术效益(BCC)', '规模效益(CCR/BCC)', '综合技术效益(CCR)', '有效性'] + (self.m1_name + self.m2_name) * 2self.Result = pd.DataFrame(index=self.DMUs, columns=[columns_Page, columns_Group])self.__CCR()self.__BCC()self.Result.loc[:, ('效益分析', '规模效益(CCR/BCC)')] = self.Result.loc[:,('效益分析', '综合技术效益(CCR)')] / self.Result.loc[:,('效益分析', '技术效益(BCC)')]return self.Resultdef analysis(self, file_name=None):Result = self.dea()file_name = 'DEA 数据包络分析报告.xlsx' if file_name is None else f'\\{file_name}.xlsx'Result.to_excel(file_name, 'DEA 数据包络分析报告')
计算结果如下，分析可知，这些生产单元在综合技术效益和规模经济性方面表现较差，存在着一定程度的冗余现象。然而，在技术效益方面，从1996年开始，所有生产单元都达到了DEA的强有效性，即技术效率较高，不存在不足的部分。
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