立体几何中传统几何法与建系法的比较与应用
本文分前言、两种方法对比分析、实例分析、利用传统方法求线线角、线面角、二面角与距离的九大题型、总结。
在立体几何求解二面角等问题时，哪个方法比哪个方法好，只要是适合自己的就是最好的，区别就是花费的时间可能会不一样！其实，传统几何法和建系法也各有优劣，我们应尽量去熟练掌握两种方法并根据具体题目灵活运用。但是平时还是推荐大家一定要多去练习用传统方法求二面角问题，去年的乙卷，今年的全国一卷，相信大家也记忆犹新，这两道题建系好不好写，计算量大不大，对于立体几何思维比较弱而又一股脑的建系来说，这两年高考可能是个预警，未来高考甚至会出现建系解决不了的题目！关于立体几何，自从引入了空间向量后，传统思维方法逐渐丢失，大部分同学直接无脑建系！
正如教育部提到的“敢于探究，善于探究”，大家一定要在平时多锻炼自己的思维！文末也有传统几何法的练习！
一、对比分析
优势方面
传统几何法： 对于一些具有明显几何特征的题目，如能快速找到二面角的平面角或利用相关几何关系解题时，计算量可能相对较小。例如在某些可以直接通过作垂线、利用等腰三角形三线合一等几何性质确定二面角的题目中，传统几何法能简洁地得出答案。 有助于培养学生的空间想象力和逻辑推理能力，深入理解立体几何图形的性质和关系。 建系法： 思路相对较为固定，不需要过多地寻找复杂的几何关系，只要建立起合适的坐标系，按照向量的计算方法进行运算即可。对于空间想象力稍弱的学生，建系法提供了一种较为程序化的解题途径。 在处理一些较为复杂、难以直接找到几何关系的题目时，建系法可能更具优势，能够通过计算得出较为准确的结果。
劣势方面
传统几何法： 对学生的空间想象力和几何思维能力要求较高，需要学生能够准确地找到二面角的平面角或运用各种几何定理进行推理计算。如果找不到合适的几何关系，可能会导致解题困难或无法解题。 - 对于一些复杂图形，可能需要添加较多的辅助线，这增加了解题的难度和出错的可能性。 建系法： 计算量通常较大，涉及到较多的坐标运算和向量计算，容易出现计算错误。 建立坐标系需要一定的技巧，如果坐标系选择不当，可能会使计算过程变得复杂。
二、实例分析
先来看看这去年乙卷和今年一卷的立体几何
如图, 在三棱锥 中, 的中点分别为 ,, 点 在 上,
(1) 证明: 平面
(2) 证明: 平面 平面
(3)求二面角 的正弦值
【解析】法一（几何法）：
过点 作 交 于点 , 设 ,由 , 得 , 且
又由 (2) 知, , 则 为二面角 的平面角
因为 分别为 的中点, 因此 为 的重心
即有 , 又
即有 ,
解得
同理得 ,于是
即有 则 ,
从而 ,
在 中,
于是
所以二面角 的正弦值为 .
法二（建系法）：以B点为原点建系，剩下的就写坐标计算。
法三（三垂线法）：
如图,四棱锥 中, 底面 , .
(1) 若 , 证明: 平面 ;
(2) 若 , 且二面角 的正弦值为 , 求 .
【解析】
（2）法一（几何法）：
∵ 平面 ,
若 , 则 平面 作 于点 ,
则 ∴ 平面 ∴
取 中点 , 由 得 , ∴ 平面
∴ 即为 的平面角
∴ 设 ,
则 即
法二（建系法）：
三、利用传统方法求线线角、线面角、二面角与距离的九大题型
<左右滑动查看完整试题>
来源于Q群：675373636！
MST创始人陪跑课
MST书籍推荐
资料群介绍
公众号每天分享篇幅有限，更多资料会第一时间分享在咱们公众号资料群！致力于为大家提供一个资源分享，实时资料试题更新，让大家花最短的时间找到自己需要的资料，提高学习工作效率，给大家提供一个高考交流的平台！本群上限为2000人，收费为21.68一位。在下方微信购书赠送资料群！（微信：fudisheng2020）
四、结论
在立体几何学习中，传统几何法和建系法都不能偏废。学生应在平时的学习中多练习传统方法，锻炼空间想象力和逻辑思维能力，同时也要熟练掌握建系法，以应对各种不同类型的题目。在考试中，应根据题目具体情况灵活选择方法，优先考虑能够快速、准确解题的方法，从而提高解题效率和准确性，实现立体几何学习和解题能力的全面提升。正如教育部提到的“敢于探究，善于探究”，学生要在平时多锻炼自己的思维，熟练运用两种方法，在立体几何的学习中取得更好的成绩。
点击下方阅读原文进MST书店！
