2024北京高考第19题的多种解法
摘要：椭圆求参问题的解法多样，各有千秋。设直线方程法（如斜截式、双设法等）通过联立方程与韦达定理，结合三点共线等条件求解，是常规通用思路；参数方程法借助椭圆参数方程表示点坐标，利用三点共线建立等式；其他妙法如齐次化法、截距坐标公式法、定比点差法、及射影背景&极点极线等，分别从不同角度巧妙解题。多种方法为椭圆求参问题提供了丰富的解题思路，解题时需根据题目特点灵活选用，同时要注重对椭圆性质的运用和条件的转化，以提高解题效率，拓展思维空间，构建系统的解题策略。
试题展示
解法赏析
法一：设斜截式方程，求点纵坐标 法二：设方程，利用三点共线 法三：双设与方程 法四：设参数方程，利用三点共线 法五：椭圆参数方程法 法六：椭圆参数方程（三角形式） 法七：齐次化 法八：利用截距坐标公式 法九：定比点差法 法十：射影背景&极点极线 课后习题
试题展示
已知椭圆方程，焦点和短轴端点构成边长为的正方形，过的直线与椭圆交于，，，连接交椭圆于。
（1）求椭圆方程和离心率；，
（2）若直线的斜率为，求。
解法赏析
方法一：设斜截式方程，求点纵坐标
思路分析：根据题意判断直线斜率存在且不为，设，，，联立直线和椭圆方程，利用韦达定理得到两个根的关系，由椭圆的对称性可知，得到，令，得到点纵坐标，代入计算即可解出答案。
解析：显然直线斜率存在，否则，重合，直线斜率不存在与题意不符，同样直线斜率不为，否则直线与椭圆无交点，矛盾。
从而设，，，联立，
化简并整理得。
由题意，
即，应满足。
所以，。
若直线斜率为，由椭圆的对称性可设，
所以，在直线方程中令，
得
所以。
此时应满足，
即应满足或。
综上所述，满足题意，此时或。
方法二：设方程，利用三点共线
思路分析：根据题意判断直线斜率存在且不为，设，联立直线和椭圆方程，利用韦达定理得到两个根的关系，由，，三点共线可知，代入直线方程与两个根的关系进行化简即可。
解析：设直线方程为，代入椭圆的方程得，
即。
设，，则，，。
由可知，由，，三点共线可知。
所以，
整理得，
即，解得。
方法三：双设与方程
思路分析：设，，，设，将两个直线方程分别与椭圆方程联立得到两根之间的关系，根据斜率为，则，，代入化简计算即可得到答案。
解析：设，，，与联立，
得，
，，，其中，
设，，
同理可得，，即。
若斜率为，则，，
，
，
，
，
所以，即时，斜率为。
方法四：设参数方程，利用三点共线
思路分析：设直线的方程为，将参数方程代入椭圆方程，结合韦达定理，得到两个根之间的关系，根据因为，，三点共线，所以，代入计算并整理即可解得。
解析：设直线的方程为（为参数，，且），
将参数方程代入椭圆方程得：。
设两根为，，则，。
由题知，，。因为，，三点共线，所以，
则，整理得，
即，解得。
方法五：椭圆参数方程法
思路分析：根据椭圆参数方程和 ， ， ，三点共线，所以，代入计算即可。
解析：由于椭圆标准方程为，则其参数方程为(为参数，
则，。
因为，，，三点共线，所以，整理得，
即，
化简得。
因为，，三点共线，同理可得。
故。
方法六：椭圆参数方程（三角形式）
思路分析：设，，，根据，，共线和，，共线分别列式再化简计算即可。
解析：设，，，
则由，，共线得，
即，。
由，，共线得，。
，
即。
方法七：齐次化
思路分析：直线的方程为：，其斜率，将椭圆方程按照直线相关形式进行变形展开，，将代换为直线方程进行换元，可以得到两直线斜率的关系，结合斜率已知关系代入计算即可解得答案。
解析：设椭圆下顶点为，直线不过，则。
直线的方程为，其斜率。
，即，
展开整理得，
则，
即，
设方程两根为，，则 ③。
点在直线上，则 ④。
直线的方程为。同理，可求得 ⑤。
点在直线上，则 ⑥。
其中，，分别直线，，的斜率，易知 ⑦。
由③④⑤⑥⑦，得。
方法八：利用截距坐标公式
思路分析：利用截距坐标公式，，两式相乘即可得答案。
解析：题意即过椭圆短轴所在直线上的椭圆外一点作斜率互为相反数的直线，，其中，均在椭圆上，且纵坐标相等。设与椭圆交于不同于的另一点，满足交轴于点。设，，，；
由、、三点共线可得： ①，
且， ②，又，
所以
由、、三点共线有：，
所以。
方法九：定比点差法
思路分析：将问题化归为调和点列问题，设，，，，代入椭圆方程，分解因式并整理，得到，，，同理得到，，，结合代入即可解得答案。
解析：设，，，，
其中，则，，，。
因为，在椭圆上，所以，，
那么，。
分解因式整理得，
即，则。
，则。
由，得。
设，，，其中，
同理可得，则，，则。
由于，所以，则，
故，，解得。
方法十：射影背景&极点极线
【射影背景&极点极线】：将与点连接交椭圆于点，再连接、，由的斜率为及椭圆的对称性知：，点的极线为过点的水平线，故，故
三、课后习题
解析版在文末可下载（第二天更新），先做题再看解析。
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