深挖教材系列（二）——定比分点与定比点差法
相信大家都多多少少听过定比点差法，今天我们一起来看看源于教材的这个方法，大家可能也都有个疑问，这个方法在考试中会不会超纲扣分，答案是只要没用错，从定比分点公式出发，合理地推导出定比点差法，并在圆锥曲线（如椭圆、双曲线、抛物线）问题中正确应用，不会扣分。因为这个都是教材上有的内容，何来“超纲扣分”一说。当然，如果你连最基本的公式都弄错了，生搬硬套去使用肯定会扣分，甚至没分，今天就一起来看看从教材上的定比分点到定比点差的使用。
知识清单 定比分点 定比点差法 适用范围与典型例题 一：求弦长被坐标轴分界的两段的比值范围 二：求证定比分点和调和分点的坐标乘积满足椭圆和双曲线的特征方程 三：坐标轴为角平分线的题型 四：相交弦问题的定点定值 五：非轴点弦的定比点差法 课后习题
一、知识清单
来源于人教版必修二第33页探究。
设点，，则有，则
一、定比分点
定义设点，，点分有向线段所成的比为（），则有：这里的。当时，为内分点；当且时，为外分点。
几何意义从几何角度来看，定比分点公式是对线段按一定比例分割后确定分点坐标的方法。它在向量、解析几何等领域有着广泛应用。例如在三角形中，如果已知两个顶点坐标和某条边上的定比分点情况，可以求出分点坐标，进而研究三角形的一些性质，如重心（三角形三条中线的交点，重心分每条中线的比为）的坐标求解就会用到定比分点公式。除了这些，你还知道在哪有运用呢，欢迎评论区聊聊！
二、定比点差
定比点差在处理三点共线、相交弦、定点定值、比例问题、调和点列等问题均具有优势，本文介绍定比点差法在调和点列中的应用。
定义
在椭圆或双曲线中，设，为椭圆或双曲线上的两点。若存在，调和分割，，即满足，，则一定有。
证明：由已知点，在椭圆或双曲线上，设，。
首先，则由定比分点坐标公式可得。
又，则由定比分点坐标公式可得。
当时，将，代入有。
得到。
和作差整理可得：。
在抛物线中，设，为抛物线上的两点。若存在，调和分割，，即满足，，则一定有。
证明：设，，由，得。
由，得。
又，得：，
，
，。
定比点差的原理谜题解开，就是两个互相调和的定比分点坐标满足圆锥曲线的特征方程。定比点差转换定理：在椭圆、双曲线或抛物线中，设，为椭圆或双曲线上的两点。若存在，两点，满足，，则一定有。
证明：。
应用场景在圆锥曲线问题中，当涉及到直线与圆锥曲线相交，且已知交点之间的某种比例关系时，定比点差法能巧妙地求解直线斜率、中点坐标等问题。比如在求解过圆锥曲线内某点的弦的中点轨迹问题、证明与圆锥曲线弦的斜率相关的定值问题等方面有着独特的优势。
二、适用范围与典型例题
一、求弦长被坐标轴分界的两段的比值范围
注意：根据两个调和定比分点的联立，将坐标与此值的关系式求出两个分点式子齐上场才能解决问题，这是定比点差法的核心
【例1】已知椭圆，过定点的直线与椭圆交于两点，（可重合），求的取值范围.
解析：设，，，则，。
所以，，即 ①
②
① - ②得：
即，所以
，所以，即。
二、求证定比分点和调和分点的坐标乘积满足椭圆和双曲线的特征方程
这个在2008年安徽高考题出现了，并且这些年在不断重复，也是定比点差法的本质探究.
【例2】已知椭圆，过点的动直线交椭圆于，两点，在线段上取点满足，求证：点在某条定直线上。
解析：(2)因为，所以令，，故
由于，在椭圆上，故
得：即，所以点在直线上。
三、坐标轴为角平分线的题型
三角形的内角平分线定理：在△ABC中，若AD是∠A的平分线，则有
证明：，易知，则
定理： 已知交椭圆 长轴(短轴)于点 是椭圆上关于长轴(短轴)对称的两点，直线交长轴(短轴)于，则。
【例3】设椭圆的右焦点为，过的直线与交于，两点，点的坐标为。设为坐标原点，证明：。
解析：①当与轴重合时，；②当与轴垂直时，为的垂直平分线，所以；③当与轴不重合也不垂直时，设，，点关于轴对称的点，根据几何性质可得：令为的角平分线，与轴交点为，下面通过证明与重合来证明，根据角平分线定理有：，令，则，
则，由，
① - ②得，
即
即与重合，所以。
综上：。
四、相交弦问题的定点定值
在2018年高考北京卷，特点是两弦的交点通常在坐标轴上，若过定点(一般在两调和分点的中点)，则的斜率与AB比值为定值。
定比点差转换定理： 在椭圆或双曲线中，设为椭圆或双曲线上的两点，若存在两点满足，，若，一定有
证明：
【例4】已知椭圆的离心率为，焦距为，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，。
(1)求椭圆的方程；
(2)若，求的最大值；
(3)设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为。若，和点共线，求的值。
解析：(3)设，设，，，，
由
① - ②得，
即。
③，同理 ④，
故 ⑤，
同时，由于过定点，
故
⑥，
结合⑤⑥可得，即。
五、非轴点弦的定比点差法
定比点差法的一般变形公式：椭圆（），点、是椭圆上的点，且，，则
【例5】已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴、轴，且过，两点。
(1)求的方程；.
(2)设过点的直线交于，两点，过且平行于轴的直线与线段交于点，点满足。证明：直线过定点。
解析：(2)设，则，，
① - ②得
，
则，
由题意可得：，又，则，
设过定点，，
由于左边无项，所以，即，
此时，
对比得：，则过定点。
三、课后习题
解析版在文末可下载（第二天更新），先做题再看解析。
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