昨天，「代码随想录算法公开课」的总播放量突破 1000w 了。
这是我当初开始录视频想都不敢想的播放量。
不蹭热点，不娱乐，不搞笑，就是这么严肃的视频系列，播放量突破 1000w 还是挺不容易的。
很多录友在刚刚破1000w的时候，纷纷在B站上给我留言：
感谢录友们的支持🌹。
看到这些数据的时候，我短暂的高兴后，也发现其实「代码随想录」还有很多地方讲的不够好。
我更担心是：质量跟不上 这些所谓的“成就”。
所以我开始全扫一遍代码随想录，发现 背包问题系列其实讲的不好，例如dp数组的定义是怎么来的，还有特别是 494.目标和，这道题目的讲解，被大家吐槽很多。
更重要的是：大家吐槽的也很有道理！
我在讲解中 上来就用 一维数组 还是牵强了。
所以 知错就改！
以下我对 力扣：494.目标和 这道题目的讲解 进行了全修改，从二维DP数组的角度把这道题目重讲一遍。
以下讲解对大家重新理解这道题目很有帮助，刷过代码随想录的录友更要认真学习一波。
另外，代码随想录的背包系列，我后面也会开始重构，大家敬请期待！
（「代码随想录」还有哪里讲的不好，大家在本篇评论区尽管吐槽！）
494.目标和
力扣链接：https://leetcode.cn/problems/target-sum
给定一个非负整数数组，a1, a2, ..., an, 和一个目标数，S。现在你有两个符号 + 和 -。对于数组中的任意一个整数，你都可以从 + 或 -中选择一个符号添加在前面。
返回可以使最终数组和为目标数 S 的所有添加符号的方法数。
示例：
输入：nums: [1, 1, 1, 1, 1], S: 3 输出：5
解释：
-1+1+1+1+1 = 3 +1-1+1+1+1 = 3 +1+1-1+1+1 = 3 +1+1+1-1+1 = 3 +1+1+1+1-1 = 3
一共有5种方法让最终目标和为3。
提示：
数组非空，且长度不会超过 20 。 初始的数组的和不会超过 1000 。 保证返回的最终结果能被 32 位整数存下。
思路
如果跟着「代码随想录」一起学过回溯算法系列的录友，看到这道题，应该有一种直觉，就是感觉好像回溯法可以暴搜出来。
事实确实如此，下面我也会给出相应的代码，只不过会超时。
这道题目咋眼一看和动态规划背包啥的也没啥关系。
本题要如何使表达式结果为target，
既然为target，那么就一定有 left组合 - right组合 = target。
left + right = sum，而sum是固定的。right = sum - left
公式来了， left - (sum - left) = target 推导出 left = (target + sum)/2 。
target是固定的，sum是固定的，left就可以求出来。
此时问题就是在集合nums中找出和为left的组合。
动态规划 （二维dp数组）
假设加法的总和为x，那么减法对应的总和就是sum - x。
所以我们要求的是 x - (sum - x) = target
x = (target + sum) / 2
此时问题就转化为，装满容量为x的背包，有几种方法。
这里的x，就是bagSize，也就是我们后面要求的背包容量。
大家看到(target + sum) / 2 应该担心计算的过程中向下取整有没有影响。
这么担心就对了，例如sum是5，target是2 的话其实就是无解的，所以：
（C++代码中，输入的S 就是题目描述的 target）
if ((target + sum) % 2 == 1) return 0; // 此时没有方案
同时如果target 的绝对值已经大于sum，那么也是没有方案的。
if (abs(target) > sum) return 0; // 此时没有方案
因为每个物品（题目中的1）只用一次！
这次和之前遇到的背包问题不一样了，之前都是求容量为j的背包，最多能装多少。
本题则是装满有几种方法。其实这就是一个组合问题了。
确定dp数组以及下标的含义
先用 二维 dp数组求解本题，dp[i][j]：使用 下标为[0, i]的nums[i]能够凑满j（包括j）这么大容量的包，有dp[i][j]种方法。
01背包为什么这么定义dp数组， 这是我之前一直都没有讲解的内容，这块我已经补充在『0-1背包理论基础』 章节，明天会更新到网站上。
确定递推公式
我们先手动推导一下，这个二维数组里面的数值。
先只考虑物品0，如图：
（这里的所有物品，都是题目中的数字1）。
装满背包容量为0 的方法个数是1，即 放0件物品。
装满背包容量为1 的方法个数是1，即 放物品0。
装满背包容量为2 的方法个数是0，目前没有办法能装满容量为2的背包。
接下来 考虑 物品0 和 物品1，如图：
装满背包容量为0 的方法个数是1，即 放0件物品。
装满背包容量为1 的方法个数是2，即 放物品0 或者 放物品1。
装满背包容量为2 的方法个数是1，即 放物品0 和 放物品1。
其他容量都不能装满，所以方法是0。
接下来 考虑 物品0 、物品1 和 物品2 ，如图：
装满背包容量为0 的方法个数是1，即 放0件物品。
装满背包容量为1 的方法个数是3，即 放物品0 或者 放物品1 或者 放物品2。
装满背包容量为2 的方法个数是3，即 放物品0 和 放物品1、放物品0 和 物品2、 放物品1 和 物品2。
装满背包容量为3的方法个数是1，即 放物品0 和 物品1 和 物品2。
通过以上举例，我们来看 dp[2][2] 可以有哪些方向推出来。
如图红色部分：
dp[2][2] = 3，即 放物品0 和 放物品1、放物品0 和 物品 2、放物品1 和 物品2， 如图所示，三种方法：
容量为2 的背包，如果不放 物品2 有几种方法呢？
有 dp[1][2] 种方法，即 背包容量为2，只考虑物品0 和 物品1 ，有 dp[1][2] 种方法，如图：
容量为2 的背包， 如果放 物品2 有几种方法呢？
首先 要在背包里 先把物品2的容量空出来， 装满 刨除物品2容量 的背包 有几种方法呢？
刨除物品2容量后的背包容量为 1。
此时装满背包容量为1 有 dp[1][1] 种方法，即：不放物品2，背包容量为1，只考虑物品 0 和 物品 1，有 dp[1][1] 种方法。
如图：
有录友可能疑惑，这里计算的是放满 容量为2的背包 有几种方法，那物品2去哪了？
在上面图中，你把物品2补上就好，同样是两种方法。
dp[2][2] = 容量为2的背包不放物品2有几种方法 + 容量为2的背包不放物品2有几种方法
所以 dp[2][2] = dp[1][2] + dp[1][1] ，如图：
以上过程，抽象化如下：
不放物品i：即背包容量为j，里面不放物品i，装满有dp[i - 1][j]中方法。
放物品i：即：先空出物品i的容量，背包容量为（j - 物品i容量），放满背包有 dp[i - 1][j - 物品i容量] 种方法。
本题中，物品i的容量是nums[i]，价值也是nums[i]。
递推公式：dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - nums[i]];
考到这个递推公式，我们应该注意到，j - nums[i] 作为数组下标，如果 j - nums[i] 小于零呢？
说明背包容量装不下 物品i，所以此时装满背包的方法值 等于 不放物品i的装满背包的方法，即：dp[i][j] = dp[i - 1][j];
所以递推公式：
if (nums[i] > j) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
else dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - nums[i]];
dp数组如何初始化
先明确递推的方向，如图，求解 dp[2][2] 是由 上方和左上方推出。
那么二维数组的最上行 和 最左列一定要初始化，这是递推公式推导的基础，如图红色部分：
关于dp[0][0]的值，在上面的递推公式讲解中已经讲过，装满背包容量为0 的方法数量是1，即 放0件物品。
那么最上行dp[0][j] 如何初始化呢？
dp[0][j]：只放物品0， 把容量为j的背包填满有几种方法。
只有背包容量为 物品0 的容量的时候，方法为1，正好装满。
其他情况下，要不是装不满，要不是装不下。
所以初始化：dp[0][nums[0]] = 1 ，其他均为0 。
表格最左列也要初始化，dp[i][0] : 背包容量为0， 放物品0 到 物品i，装满有几种方法。
都是有一种方法，就是放0件物品。
即 dp[i][0] = 1
确定遍历顺序
在明确递推方向时，我们知道 当前值 是由上方和左上方推出。
那么我们的遍历顺序一定是 从上到下，从左到右。
因为只有这样，我们才能基于之前的数值做推导。
例如下图，如果上方没数值，左上方没数值，就无法推出 dp[2][2]。
那么是先 从上到下 ，再从左到右遍历，例如这样：
for (int i = 1; i < nums.size(); i++) { // 行，遍历物品
for (int j = 0; j <= bagSize; j++) { // 列，遍历背包
}
}
还是先 从左到右，再从上到下呢，例如这样：
for (int j = 0; j <= bagSize; j++) { // 列，遍历背包
for (int i = 1; i < nums.size(); i++) { // 行，遍历物品
}
}
其实以上两种遍历都可以！（但仅针对二维DP数组是这样的）
这一点我在 「01背包理论基础（二维数组）」中的 遍历顺序部分讲过。
这里我再画图讲一下，以求dp[2][2]为例，当先从上到下，再从左到右遍历，矩阵是这样：
当先从左到右，再从上到下遍历，矩阵是这样：
这里大家可以看出，无论是以上哪种遍历，都不影响 dp[2][2]的求值，用来 推导 dp[2][2] 的数值都在。
举例推导dp数组
输入：nums: [1, 1, 1, 1, 1], target: 3
bagSize = (target + sum) / 2 = (3 + 5) / 2 = 4
dp数组状态变化如下：
这么大的矩阵，我们是可以自己手动模拟出来的。
在模拟的过程中，既可以帮我们寻找规律，也可以帮我们验证 递推公式加遍历顺序是不是按照我们想象的结果推进的。
最后二维dp数组的C++代码如下：
class Solution {
public:
int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int target) {
int sum = 0;
for (int i = 0; i < nums.size(); i++) sum += nums[i];
if (abs(target) > sum) return 0; // 此时没有方案
if ((target + sum) % 2 == 1) return 0; // 此时没有方案
int bagSize = (target + sum) / 2;
vector<vector<int>> dp(nums.size(), vector<int>(bagSize + 1, 0));
// 初始化最上行
if (nums[0] <= bagSize) dp[0][nums[0]] = 1;
// 初始化最左列，最左列其他数值在递推公式中就完成了赋值
dp[0][0] = 1;
int numZero = 0;
for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
if (nums[i] == 0) numZero++;
dp[i][0] = (int) pow(2.0, numZero);
}
// 以下遍历顺序行列可以颠倒
for (int i = 1; i < nums.size(); i++) { // 行，遍历物品
for (int j = 0; j <= bagSize; j++) { // 列，遍历背包
if (nums[i] > j) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
else dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - nums[i]];
}
}
return dp[nums.size() - 1][bagSize];
}
};
动态规划 （一维dp数组）
将二维dp数组压缩成一维dp数组，我们在 「背包理论基础（滚动数组）」讲过滚动数组，原理是一样的，即重复利用每一行的数值。
既然是重复利用每一行，就是将二维数组压缩成一行。
dp[i][j] 去掉 行的维度，即 dp[j]，表示：填满j（包括j）这么大容积的包，有dp[j]种方法。
确定递推公式
二维DP数组递推公式：dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - nums[i]];
去掉维度i 之后，递推公式：dp[j] = dp[j] + dp[j - nums[i]] ，即：dp[j] += dp[j - nums[i]]
这个公式在后面在讲解背包解决排列组合问题的时候还会用到！
dp数组如何初始化
在上面 二维dp数组中，我们讲解过 dp[0][0] 初始为1，这里dp[0] 同样初始为1 ,即装满背包为0的方法有一种，放0件物品。
确定遍历顺序
在「背包理论基础（滚动数组）」]中，我们系统讲过对于01背包问题一维dp的遍历。
遍历物品放在外循环，遍历背包在内循环，且内循环倒序（为了保证物品只使用一次）。
举例推导dp数组
输入：nums: [1, 1, 1, 1, 1], target: 3
bagSize = (target + sum) / 2 = (3 + 5) / 2 = 4
dp数组状态变化如下：
大家可以和 二维dp数组的打印结果做一下对比。
一维DP的C++代码如下：
class Solution {
public:
int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int target) {
int sum = 0;
for (int i = 0; i < nums.size(); i++) sum += nums[i];
if (abs(target) > sum) return 0; // 此时没有方案
if ((target + sum) % 2 == 1) return 0; // 此时没有方案
int bagSize = (target + sum) / 2;
vector<int> dp(bagSize + 1, 0);
dp[0] = 1;
for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
for (int j = bagSize; j >= nums[i]; j--) {
dp[j] += dp[j - nums[i]];
}
}
return dp[bagSize];
}
};
时间复杂度：O(n × m)，n为正数个数，m为背包容量 空间复杂度：O(m)，m为背包容量
拓展
关于一维dp数组的递推公式解释，也可以从以下维度来理解。（但还是从二维DP数组到一维DP数组这样更容易理解一些）
确定递推公式
有哪些来源可以推出dp[j]呢？
只要搞到nums[i]，凑成dp[j]就有dp[j - nums[i]] 种方法。
例如：dp[j]，j 为5，
已经有一个1（nums[i]） 的话，有 dp[4]种方法 凑成 容量为5的背包。 已经有一个2（nums[i]） 的话，有 dp[3]种方法 凑成 容量为5的背包。 已经有一个3（nums[i]） 的话，有 dp[2]种方法 凑成 容量为5的背包 已经有一个4（nums[i]） 的话，有 dp[1]种方法 凑成 容量为5的背包 已经有一个5 （nums[i]）的话，有 dp[0]种方法 凑成 容量为5的背包
那么凑整dp[5]有多少方法呢，也就是把 所有的 dp[j - nums[i]] 累加起来。
所以求组合类问题的公式，都是类似这种：
dp[j] += dp[j - nums[i]]
总结
此时 大家应该不禁想起，我们之前讲过的「回溯算法：39. 组合总和」是不是应该也可以用dp来做？
是可以求的，如果仅仅是求个数的话，就可以用dp，但「回溯算法：39. 组合总和」要求的是把所有组合列出来，还是要使用回溯法暴搜的。
本题还是有点难度，理解上从二维DP数组更容易理解，做题上直接用一维DP更简洁一些。
大家可以选择哪种方式自己更容易理解。
在后面得题目中，在求装满背包有几种方法的情况下，递推公式一般为：
dp[j] += dp[j - nums[i]];
我们在讲解完全背包的时候，还会用到这个递推公式！
