0 前言
贝叶斯资产配置模型是金融领域中一种重要的投资决策工具，其基于贝叶斯统计理论，结合历史数据和先验知识，用于帮助投资者在不确定性环境下做出理性的资产配置决策。
本文重点介绍在资产配置中隶属于贝叶斯派系的两个模型：Black-Litterman 与 Entropy-Pooling，后者被称作前者的现代版本。
| 一级目录 | 二级目录 | 三级目录 |
|---|---|---|
| Black-Litterman 模型 | ||
| 模型优点 | ||
| 基本原理 | ||
| 模型搭建 | 计算收益先验分布 | |
| 设置投资观点分布 | ||
| 得到收益后验分布 | ||
| 最优化问题的求解 | ||
| Entropy-Pooling 模型 | ||
| 模型优点 | ||
| 基本原理 | ||
| 模型搭建 | 模型输入准备 | |
| 模拟样本扩容 | ||
| 得到收益后验分布 | ||
| 最优化问题的求解 |
1 Black-Litterman 模型
均值方差模型作为首次将数理统计方法应用到投资组合的模型，必不可免地存在一些缺陷：
资产标的不能做空的限制，其有效边界上的最优组合往往不能被视为可行的资产组合； 对于某一资产，模型可能赋予过大的权重，而其余资产的权重仅为零，违背了资产配置的初衷； 作为模型输入参数的资产期望收益率难以准确估计，实际应用效果大打折扣； 模型计算结果对输入参数，尤其是资产预期收益率非常敏感，使得模型结果很不稳定。
为此，高盛的 Fisher Black 和 Robert Litterman 提出了 Black-Litterman 模型作为改进，此后被业内广泛使用。
1.1 模型优点
采用贝叶斯理论将主观观点与量化配置模型有机结合起来； 有效地解决了均值方差模型对于预期收益敏感的问题，具有更高的容错性； 以市场均衡组合为起点，配置结论更加贴近投资者的直观认知。
1.2 基本原理
Black-Litterman 模型通过贝叶斯推理，使用收益率的先验分布和观点分布来得到收益率的后验分布，最后使用均值-方差模型完成资产持仓权重的优化。
假设当前市场是均衡的，权重与市值成比例的理论市场组合是有效的，因此标的市值与市场总市值的比值就是该标的在市场均衡组合中的权重。
同时进一步假设该市值比例是由全市场投资者共同追求效用函数最大化所导致的结果，从而通过逆优化反解来推导出收益率的先验分布。
观点被表示为收益率的线性组合，同时将置信度作为误差的协方差矩阵，进而得到观点分布。
1.3 模型搭建
1.3.1 计算先验收益分布
假定资本资产定价模型满足时，全市场效用函数为:
其中，
是市场均衡权重；
是风险厌恶系数；
是收益率的 方差矩阵；
是市场均衡条件下的收益率。
由于假设全市场投资者共同追求效用函数最大化，因此可对权重 求一阶导，并令一阶导数等于 0：
则有：
进一步的，得到 BL 模型中的资产超额收益率的先验分布，它并未被任何主观观点所影响：
其中， 是使用历史收益率序列计算协方差矩阵， 是一个自定义常量。
1.3.2 设置投资观点分布
假定投资者对 n 个资产具有 k 个观点，同时假设不同投资观点之间互不相关。 那么对应的主观观点可以表示成如下形式:
其中，
是资产观点 矩阵，每一行是一个观点，每一列对应一种资产；
是观点收益 矩阵，每一行是每个观点对应的收益率；
是观点的误差 ， 是观点误差的 协方差矩阵。
当投资者形成主观观点时，说明投资者对当前市场状态已经有了一定认识，因此投资观点分布应是已知资产的先验分布下的形成的条件分布，这里假定为正态分布：
1.3.3 得到收益后验分布
给定上述两个分布，通过贝叶斯推理和共轭函数的性质，可以推导得到收益后验分布的特定形式:
其中， 后验预期收益的均值估计:
后验预期收益的协方差矩阵估计:
1.3.4 最优化问题的求解
把得到的后验收益率估计 和方差矩阵 带入均值-方差模型的最优化函数，得到标的的持仓权重。
假设我们有 类资产，对应持仓权重为 ， 那么对应的目标函数:
在实际的投资操作中，常用的约束条件会有卖空限制、换手限制和资产比例限制等。
2 Entropy-Pooling 模型
尽管 Black-Litterman 模型克服了传统均值-方差模型的诸多弊处，但实际应用中仍存在一些缺陷：
观点的准确性直接影响模型的效果，观点错误会给组合带来较大风险； 观点输入方式较为单一，往往需要投资者对于资产收益有更为准确的预测； 模型输入参数较多，部分参数取值没有统一的选取方式，增加了实际使用难度； 模型假设收益率呈正态分布，与实际收益率的尖峰厚尾分布有较大差别，容易错误估计。
前 KKR 首席风险官 Attilio Meucci 对 Black-Litterman 模型进行改进，并提出了 Entropy Pooling 模型，是此类模型的集大成者。
2.1 模型优点
We summarize in the table below the capabilities of the EP as compared to Black and Litterman (1990), Almgren and Chriss (2006), Qian and Gorman (2001), Pezier (2007), Meucci (2009) and the COP in Meucci (2006).
2.2 基本原理
Entropy-Pooling 模型通过相对熵最小化和非参数估计，将因子先验分布和观点分布来得到因子后验分布，再通过特定的定价函数推导出收益的均值和方差，最后使用均值-方差模型完成资产持仓权重的优化。
相对熵也被称作 KL 散度，用于评估两种分布的相似程度，使用相对熵最小化，本质是为了使得到的因子后验分布，在满足观点限制的条件下，尽可能保留先验分布的信息，从而保持模型的稳定性与连续性。
Entropy-Pooling 模型采用非参数的方法对分布进行采样估计，不再通过统计量来抽象出整个分布的特征，从而使得估计更加贴近实际数据，但是这往往要求样本量足够大，同时需要对离群点进行控制。
2.3 模型搭建
2.3.1 模型输入准备
这一部分主要包括风险因子 、定价函数 和投资者观点 。
定价函数 是一个确定性的函数，它将风险因子与当前可得的信息映射到每个标的未来收益率：
其中， 是风险因子， 是资产未来第 期的价格， 是当前可得的信息。
投资者观点 是表达在风险因子 的一组广义函数上:
这些广义函数并不一定需要线性，投资者甚至可以直接应用定价函数 。
2.3.2 模拟样本扩容
为了使得非参数方法得以应用，并提升对先验分布的估计准确度，我们需要使用原始因子数据通过采样方法来进行模拟样本扩容。
在 Entropy-Pooling 模型中，作者采用的是 Kernel-Bootstrap 方法，从而得到 个模拟风险因子矩阵。
2.3.3 得到收益后验分布
给定因子先验分布和投资者观点，通过相对熵最小化，可以推导得到因子后验分布的特定形式：
其中， 是因子先验分布； 是满足投资者观点前提的因子后验分布。
论文中采用拉格朗日乘数法并转换为对偶方法对上述优化问题进行求解，对求解参数进行了降维，保证了相对熵最小化算法的可行性。
对于多个不同置信度的观点，可通过置信度加权的方式进行池化融合，此时最终因子后验分布为：
其中， 是第 个观点对应的因子后验分布。
2.3.4 最优化问题的求解
在模拟扩充的样本基础上，通过最大化效用函数来得到标的的持仓权重：
其中， 是风险因子的分布𝑓； 是资产权重𝑤。
将模拟因子样本带入定价函数，便可以得到模拟资产收益率矩阵和对应协方差，从而进行求解。
3 参考文献
Thomas M. Idzorek 的《A STEP-BY-STEP GUIDE TO THE BLACK-LITTERMAN MODEL》 国泰君安的《手把手教你实现 Black-Litterman 模型》 Attilio Meucci 的《Fully Flexible Views: Theory and Practice》 国盛证券的《BL模型的泛化扩展：熵池模型之理论篇》 国金证券的《熵池模型：如何将纯主动观点纳入量化配置模型》 东证期货的《均值方差模型与 Black-Litterman 模型的应用》 棱镜财评的《从宏观到量化：大类资产配置综述》
