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正方形内含十字架的解题方法

教育 2024-09-26 21:37 江苏

01 弦图的应用

在勾股定理的证明中，我们学习过赵爽弦图，如下，有△AED≌△BFA≌△CGB≌DHC．

稍作变形，若DE⊥AF，则可得：△DAE≌△ABF．（证明思路类似三垂直模型）

一般地，在正方形ABCD中，若MN⊥PQ，则必有MN=PQ．

法一：分别将PQ、MN平移至AF、DE位置（作平行线）证明AF=DE即可．

法二：过点P作PE⊥BC，过点N作NF⊥AB交AB于点F，易证△PEQ≌△NFM．

反之，若已知PQ=MN，但不一定存在PQ⊥MN．

如下：EF=PQ=MN，但EF不与MN垂直．

由位置关系可推数量关系，

但由数量关系未必可推位置关系．

除此之外，还有一些常用的性质和结论：

1、弦图与对称

考虑对称点连线被对称轴垂直且平分．

将正方形ABCD沿MN折叠，则AA'MN且AA'⊥MN．

2、弦图与辅助圆

如图，垂足H轨迹是个圆弧（定边对直角）．

以AD中点M为圆心，MA为半径的圆，两端分别的点A及对角线交点O．

3、弦图与四点共圆

如图，C、D、H、F四点共圆．

∵∠DCF=∠DHF=90°，∴C、D、H、F四点共圆．

连接DF，取DF中点N，以点N为圆心，DN为半径作圆．

特别地，若E、F分别是AB、BC中点，连接CH，则CH=CD．

证明：∵∠CHD=∠CFD=∠AED=∠CDE，∴CH=CD．

4、矩形中的弦图构造

在矩形ABCD中，E、F分别是AB、BC上的点，且AF⊥DE，则AF/DE=AB/AD．

证明：易证△ABF∽△DAE，∴AF/DE=AB/AD．

02

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