鲁棒优化理论奠基人Aharon Ben-Tal 权威之作，多所名校采用的《鲁棒优化》

目

录

译者序

前言

第一部分鲁棒线性优化

第1章不确定线性优化问题及其鲁棒对等2

1.1线性优化中的数据不确定性2

1.1.1示例介绍3

1.1.2数据不确定性及其后果3

1.2不确定线性问题及其鲁棒对等4

1.2.1鲁棒对等的更多信息7

1.2.2未来10

1.3鲁棒对等的易处理性11

1.3.1策略11

1.3.2式（1.3.6）的易处理表示：简单情况13

1.3.3式（1.3.6）的易处理表示：一般情况14

1.4非仿射扰动16

1.5练习17

1.6备注18

第2章标量机会约束下的鲁棒对等近似问题19

2.1如何指定一个不确定性集19

2.2机会约束及其保守易处理近似20

2.2.1模糊机会约束21

2.3标量机会约束的保守易处理近似：基本示例21

2.3.1实例：单期投资组合选择问题25

2.3.2实例：蜂窝通信27

2.4扩展32

2.4.1有界扰动情况下的改进35

2.4.2实例38

2.4.3更多实例43

2.4.4总结46

2.5练习48

2.6备注49

第3章不确定LO问题的全局鲁棒对等51

3.1全局鲁棒对等——动机和定义51

3.2GRC的计算易处理性52

3.3实例：天线阵列的综合问题54

3.3.1建立模型54

3.3.2标准解：梦想和现实56

3.3.3对不确定性的免疫能力58

3.4练习60

3.5备注60

第4章关于标量机会约束的保守易处理近似61

4.1标量机会约束的保守凸近似的鲁棒对等表示61

4.2机会约束的Bernstein近似62

4.2.1Bernstein近似：基本观察62

4.2.2Bernstein近似：对偶化63

4.2.3Bernstein近似：主要结果64

4.2.4Bernstein近似:示例65

4.3在风险与收益方面从Bernstein近似值到条件值68

4.3.1基于生成函数的近似方案68

4.3.2Γ的鲁棒对等表示69

4.3.3风险条件下生成函数和条件值的最优选择70

4.3.4易处理的问题72

4.3.5向量不等式的扩展73

4.3.6在Bernstein近似和CVaR近似之间架起桥梁74

4.4优化80

4.4.1优化定理82

4.5超出独立线性扰动的情况83

4.5.1相关线性扰动83

4.5.2修正85

4.5.3利用协方差矩阵87

4.5.4说明89

4.5.5二次扰动的机会约束的扩展91

4.5.6利用域和矩信息94

4.6练习104

4.6.1混合不确定性模型106

4.7备注111

第二部分鲁棒锥优化

第5章不确定锥优化：概念114

5.1不确定锥优化：初步研究114

5.1.1锥规划114

5.1.2不确定锥问题及其鲁棒对等115

5.2不确定锥问题的鲁棒对等：易处理性116

5.3不确定锥不等式RC的保守易处理近似117

5.4练习119

5.5备注119

第6章具有易处理鲁棒对等的不确定锥二次问题121

6.1一般可解情况：场景不确定性121

6.2可解情况Ⅰ：简单的区间不确定性122

6.3可解情况Ⅱ：非结构化范数有界不确定性122

6.4可解情况Ⅲ：具有非结构化范数有界不确定性的凸二次不等式126

6.5可解情况Ⅳ：简单椭球不确定性的锥二次不等式127

6.5.1具有简单椭球不确定性的不确定锥二次不等式的鲁棒对等的半定表示130

6.6实例：鲁棒线性估计131

6.7练习135

6.8备注135

第7章不确定锥二次问题的鲁棒对等近似136

7.1结构化范数有界不确定性136

7.1.1不确定最小二乘不等式鲁棒对等的近似137

7.1.2具有结构化范数有界不确定性的最小二乘不等式——复数情况140

7.1.3从不确定最小二乘到不确定锥二次不等式144

7.1.4具有结构化范数有界不确定性的凸二次约束146

7.2∩-椭球不确定性的情况149

7.2.1不确定最小二乘不等式鲁棒对等的近似149

7.2.2从不确定最小二乘到不确定锥二次不等式151

7.2.3带∩-椭球不确定性的凸二次约束152

7.3练习154

7.4备注154

第8章具有易处理鲁棒对等的不确定半定问题155

8.1不确定半定问题155

8.2不确定半定问题鲁棒对等的易处理性156

8.2.1非结构化范数有界扰动157

8.2.2应用：鲁棒的结构设计158

8.2.3鲁棒控制中的应用166

8.3练习169

8.4备注169

第9章不确定半定问题的鲁棒近似170

9.1具有结构化范数有界不确定性的不确定半定问题鲁棒对等的易处理紧近似170

9.1.1具有结构化范数有界扰动的不确定线性矩阵不等式170

9.1.2应用：回顾李雅普诺夫稳定性分析/综合171

9.2练习176

9.3备注177

第10章近似机会约束的锥二次不等式和线性矩阵不等式178

10.1机会约束的线性矩阵不等式178

10.1.1近似机会约束的线性矩阵不等式：初步研究178

10.2近似方案182

10.2.1基于模拟的式（10.2.4）的证明185

10.2.2修正187

10.2.3实例：重新审视例8.2.7189

10.3高斯优化190

10.4机会约束线性矩阵不等式：特殊情况193

10.4.1对角情况：机会约束线性优化194

10.4.2箭头情况：机会约束锥二次优化198

10.4.3应用：从间接噪声观测中恢复信号202

10.5备注210

第11章不确定锥问题的全局鲁棒对等211

11.1不确定锥问题的全局鲁棒对等：定义211

11.2全局鲁棒对等的保守且易处理近似213

11.3不确定约束的全局鲁棒对等：分解213

11.3.1预备知识213

11.3.2主要结果214

11.4全局鲁棒对等的易处理性215

11.4.1预备知识215

11.4.2Ψ(·)的有效边界问题217

11.5实例：非扩张动态系统的鲁棒分析221

11.5.1预备知识：非扩张线性动态系统222

11.5.2鲁棒非扩张性：通过全局鲁棒对等进行分析223

第12章鲁棒分类与估计228

12.1鲁棒支持向量机228

12.1.1支持向量机228

12.1.2最小化最坏情况下的已实现损失229

12.1.3从测量角度考虑不确定性模型230

12.1.4耦合不确定性模型231

12.1.5最坏情况下的损失和可调变量232

12.2鲁棒分类与回归233

12.2.1标准问题与鲁棒对等233

12.2.2一些简单的例子234

12.2.3广义有界加性不确定性236

12.2.4例子240

12.3仿射不确定性模型245

12.3.1范数有界仿射不确定性模型245

12.3.2伪最坏情况损失函数245

12.3.3主要结果246

12.3.4全局鲁棒对等248

12.4随机仿射不确定性模型249

12.4.1问题公式化249

12.4.2矩约束250

12.4.3独立扰动的Bernstein近似252

12.5练习253

12.6备注254

第三部分鲁棒多阶段优化

第13章鲁棒马尔可夫决策过程256

13.1马尔可夫决策过程256

13.1.1标准控制问题256

13.1.2解决标准问题257

13.1.3不确定性的诅咒258

13.2鲁棒MDP问题258

13.2.1不确定性模型258

13.2.2鲁棒对等260

13.3有限阶段上的鲁棒Bellman递归260

13.3.1易处理问题261

13.4备注264

第14章鲁棒可调多阶段优化265

14.1可调鲁棒优化：动机265

14.2可调鲁棒对等266

14.2.1举例267

14.2.2对于可调鲁棒对等（ARC）的好消息270

14.2.3对于可调鲁棒对等（ARC）的坏消息271

14.3仿射可调鲁棒对等274

14.3.1仿射可调鲁棒对等（AARC）的易处理性275

14.3.2仿射性是一个实际的限制吗276

14.3.3无固定资源的不确定线性优化问题的AARC291

14.3.4实例：不确定需求影响下的多周期库存AARC291

14.4可调鲁棒优化和线性控制器的综合294

14.4.1有限时间阶段上的鲁棒仿射控制294

14.4.2基于纯输出的仿射控制律表示与有限时间阶段线性控制器的有效设计295

14.4.3处理无限阶段设计规范301

14.4.4整合：无限和有限阶段的设计规范304

14.5练习307

14.6备注308

第四部分典型应用

第15章典型示例312

15.1鲁棒线性回归和电视管的制造312

15.2拥有灵活承诺合同的库存管理316

15.2.1问题316

15.2.2具体说明不确定性和可调性318

15.2.3构建一个式（15.2.3）的仿射可调鲁棒对等318

15.2.4数值结果320

15.3控制一个多级多周期供应链323

15.3.1问题324

15.3.2说明牛鞭效应326

15.3.3构建供应链问题的仿射可调全局鲁棒对等

（AAGRC）326

15.3.4计算结果328

附录A符号与预备知识333

附录B一些辅助证明348

附录C部分练习的答案382

参考文献401