2024年新高考Ⅰ第16题的十种解法
摘要：圆锥曲线中的三角形面积问题，一般性通法为设点或设线，利用韦达定理来处理，计算量大；利用几何关系转化，可减少计算；利用仿射变换，椭圆问题化圆，化难为易；利用参数方程、三角形行列式面积公式（向量外积几何意义），简便快捷。
试题展示
已知和为椭圆上的点。
（1）求的离心率；
（2）若过的直线交于另一点，且的面积为，求的方程。
方法一（首先考虑直线PB斜率不存在，再设，利用弦长公式和点到直线距离得到三角形ABP面积。）
首先考虑直线斜率不存在的情况，此时，，，到距离，此时，不满足条件。
当直线斜率存在时，设，令，。
联立，得到。
，且，即。
由韦达定理可得。
。
点到直线距离。
，化简为。或，均满足题意。
直线的方程为或，即或。
方法二
在方法一的基础上，设点，。
。
当直线斜率不存在时，，，，到距离，此时，不满足条件。
设直线，把代入，即。
由题意得直线，。
联立，则有。
，，。
代入得，即或。
，，无解。
，或，即直线方程为或。
方法三（在方法二的基础上，通过柯西不等式对进一步简化运算。）
在方法二的基础上，通过柯西不等式对进一步简化运算。
由题意得直线，。
，，即。
又，即。
由柯西不等式有。
即，。
联立求得或，或。
方法四（在方法三的基础上，通过参数方程\三角换元对进一步简化运算。(联想到求范围最值的其他方法。)）
在方法三的基础上，通过参数方程，可设点为。
。
（舍去），或。
或，或，或。
方法五（在方法四的基础上，通过参数方程\三角换元+向量外积的几何意义对S_△PAB进一步简化运算。）
在方法四的基础上，通过参数方程，可设点为。
，。
。
（舍去）或。或，或，或。
方法六（在方法五的基础上，联想到高代中行列式求三角形面积方法公式。）
因为点与原点在直线的同侧，所以，化简为，即。
联立，解得或，或。
方法七（在方法一、方法二的基础上，通过分割三角形表示面积，简化运算。）
当直线斜率不存在时，，，，到距离，此时，不满足条件。
当直线斜率存在时，设，设与轴的交点为，令，则。
联立，则有。
，。
，解得或，代入原式验证均满足题意。
则直线为或，即或。
方法八（在方法二、三、四、五的基础上，对距离进行进一步延伸，利用平行直线系进行转化。）
，直线的方程为，即，。
由，椭圆上的点到直线的距离为，，所以。
则将直线沿着垂直的方向平移单位即可，此时该平行线与椭圆的交点即为点，设该平行线的方程为，则：，解得或。
当时，联立，解得或。
当时，，直线的方程为，即。
当时，，直线的方程为，即。
当时，联立，得到，，此时该直线与椭圆无交点。
综上直线的方程为或。
方法九（仿射变换法）
椭圆的方程为。令，则。点变为，变为。，，。
令，则。
化简后得，故或。所以或。因为：或。
方程：或
方法十（作图观察+椭圆中心对称）
直线的方程为，即，。
设点到直线的距离为，则，所以。
通过作图，椭圆上的点最多有两个，下顶点满足。
作，则，易得点与点关于原点对称，所以，即。
所以或，所以直线的方程为或。
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