重磅推送！深度学习结合偏微分方程为复合材料力学带来突破性进展

前沿简介

偏微分方程是描述多变量之间相互关系的方程，通常应用于物理学、工程学、金融学等多个领域。传统上，PDE的求解依赖于数值方法，如有限差分法、有限元法等，这些方法往往需要大量的计算资源，特别是在高维或复杂几何问题上。深度学习为PDE的求解提供了一种新的视角，它能够从数据中学习出PDE的解的模式，甚至能够在没有明确边界条件或初始条件的情况下进行推理。深度学习与偏微分方程（PDEs）的结合正逐步成为科学计算和工程模拟中的重要领域，特别是在解决传统数值方法难以处理的复杂、非线性问题时。深度学习（尤其是神经网络）通过其强大的数据拟合和模式识别能力，能够高效地求解偏微分方程，甚至在缺乏充分数据或高维问题下，仍能提供有效的近似解。深度学习解决PDE的关键技术

物理信息神经网络（PINN）

物理信息神经网络（PINN）是目前应用于PDE求解中最为重要的一种方法。PINN通过将偏微分方程的物理约束直接引入神经网络的损失函数中，使得网络在训练过程中不仅仅依赖数据驱动的目标，还同时满足PDE的约束。这种方法使得深度神经网络能够通过优化过程自动学习到PDE的解。

具体来说，PINN通过以下步骤解决PDE：

损失函数的设计：PINN的损失函数包含两部分，一部分是神经网络的输出与边界条件或初始条件之间的误差，另一部分是通过神经网络计算出的PDE方程的残差。网络在训练过程中，通过最小化损失函数，使得解同时满足物理规律和数据。

自动微分：PINN使用自动微分技术计算神经网络中每个参数的梯度，进而计算PDE的残差并反馈给网络。这使得神经网络能够在每次迭代中逐步调整参数，求得逼近真实解。

高效的解算方法：通过神经网络的逼近能力，PINN能够在高维问题、复杂几何和不规则边界条件下，提供比传统数值方法更高效的求解。

神经网络作为逼近器

神经网络的能力使其能够作为PDE解的逼近器。深度学习通过训练神经网络，利用空间和时间变量（或其他物理量）作为输入，学习其对应的解。网络的每一层会学习不同的特征，逐步构建出解的复杂模式。

多层前馈神经网络（MLP）：常用的神经网络结构之一，适用于高维PDE问题。网络的每一层都是非线性映射，允许神经网络捕捉到数据中的复杂模式。

卷积神经网络（CNN）：用于处理具有空间结构的数据，适用于流体动力学、热传导等问题的PDE求解。

递归神经网络（RNN）：在处理具有时间依赖关系的PDE问题时，RNN可以利用时间序列数据对解进行建模，适用于时间演化类问题（如波动方程、热方程等）。

深度学习在PDE中的应用

流体动力学与热传导

PDE广泛用于模拟流体动力学和热传导等问题，特别是描述流体的Navier-Stokes方程、热传导方程等。深度学习能够通过PINN等方法直接处理流体和热传导方程，在不需要细致网格划分的情况下，提供解的近似。

例如，通过训练一个神经网络，可以直接求解在特定边界条件下流体流动的速度场和压力场，从而避免了传统数值方法中的网格生成和大量计算。

材料科学与量子力学

在材料科学和量子力学中，偏微分方程用于描述材料的弹性、塑性、热力学行为等。深度学习被用来求解与材料性能相关的PDE，例如固体力学中的应力应变方程。通过深度神经网络，能够高效模拟复杂材料行为，尤其是具有高维度和复杂几何的材料问题。

气候建模与环境模拟

气候和环境模型通常涉及复杂的偏微分方程，描述大气、海洋、土壤等之间的物理相互作用。深度学习方法，特别是PINN，能够处理这些复杂的PDE，并且能够通过少量的观测数据训练模型，提供高效的预测。

例如，深度学习可用于气候模型中的热量传递、气流模拟等，从而帮助预测气候变化、空气质量等。

金融数学

在金融数学中，期权定价、风险管理等问题可以通过偏微分方程（如Black-Scholes方程）进行建模。深度学习方法能够通过神经网络求解这些偏微分方程，尤其在高维市场模型和多资产定价问题中，能够提供比传统方法更为高效的求解方式。

生物医学工程

在生物医学工程中，偏微分方程用于模拟血流、肿瘤生长、药物扩散等现象。深度学习通过学习实验数据和物理模型相结合的方式，可以对这些问题进行求解和预测，尤其在个性化医疗和模拟中发挥重要作用。

深度学习与偏微分方程的结合为解决传统数值方法难以处理的复杂问题提供了新的思路和工具。通过物理信息神经网络（PINN）和其他深度学习技术，能够有效地求解流体动力学、热传导、材料科学等领域中的PDE问题。随着计算能力的提高和算法的发展，深度学习将在PDE求解中扮演越来越重要的角色，特别是在高维、复杂边界和大规模计算问题中。

主讲老师来自国内top高校，高维薛定谔方程计算方向，拥有扎实的理论知识和丰富的研究经验，研究成果在多个国际高水平期刊上发表。授课方式深入浅出，能够将复杂的理论知识和计算方法讲解得清晰易懂。

深入理解深度算子方法：通过理论与实践结合，帮助参与者掌握DeepONets的基本概念及其在PDE求解中的应用。

掌握PyTorch实现：让参与者学会如何在PyTorch中构建和训练DeepONets，提供实践经验。

解决高维问题的能力：通过deepritz方法的介绍，使参与者了解如何处理复杂的高维方程，提高他们的研究能力。

工具选择与应用：通过介绍现有工具，帮助参与者选择合适的工具以提升他们在数值计算和深度学习中的效率。

第一天：科学计算库与神经网络基础

上午：

PyTorch入门

ØPyTorch的安装与配置

ØPyTorch的基本操作：张量创建与运算

Ø自动微分机制

Ø数据加载器的构建

人工神经网络基础（以手写数字分类任务为例）

Ø生物神经元与人工神经元：神经元结构与激活函数

Ø前馈神经网络（全连接神经网络）：网络结构与计算流程，权重和偏置的作用，前向传播与反向传播算法

Ø激活函数详解：Sigmoid、Tanh、ReLU、Leaky ReLU、Softmax等

Ø损失函数：均方误差（MSE），交叉熵损失

Ø优化算法：梯度下降、随机梯度下降（SGD），自适应学习率算法（Adam、RMSprop等）

下午：

深度神经网络入门：

卷积神经网络（CNN）

ØCNN的基本原理：卷积层、池化层、全连接层，卷积操作与特征提取

Ø经典CNN架构介绍：LeNet、AlexNet、VGG、ResNet等

Ø实例讲解：数据集（如CIFAR-10）的介绍, 模型的构建与训练,结果分析与可视化

循环神经网络（RNN）

ØRNN的基本概念:序列数据处理,时间步与隐含状态,

ØRNN的变体:长短期记忆网络（LSTM）,门控循环单元（GRU）

Ø实例讲解：时间序列预测

图神经网络（GNN）

ØGNN的基本原理：图数据的表示，信息在节点之间的传递

Ø常用GNN模型：图卷积网络（GCN），图注意力网络（GAT）

Ø实例讲解：节点分类与图分类，数据集（如Cora、CiteSeer）的介绍，模型的构建与训练，结果分析（PyTorch Geometric）

第二天：偏微分方程基础与机器学习求解 

上午：

偏微分方程概述

Ø常见PDE的应用场景

引言：偏微分方程在科学与工程中的重要性：描述自然界和工程中连续介质的物理规律。在热传导、流体力学、电磁学等领域的广泛应用。

泊松方程（Poisson Equation）：数学形式与物理意义，二阶椭圆型偏微分方程，形式为 ∇²φ = f。描述静电势、引力势等稳态场问题。其应用场景为：电场和引力场的稳态分布。图像处理中的图像修复和分割。

Ø热传导方程（Heat Conduction Equation）

导出与物理背景：基于热量守恒和傅里叶热传导定律。一阶时间导数和二阶空间导数的偏微分方程。应用场景为温度随时间和空间的演化。扩散过程，如污染物在水体中的扩散。

ØNavier-Stokes方程

方程形式与流体力学基础：描述粘性流体运动的非线性偏微分方程组。包含质量守恒、动量守恒和能量守恒。应用场景为空气动力学、海洋工程、气象学。涡流、湍流等复杂流动现象的模拟。

传统数值方法的简要回顾

Ø有限差分法（Finite Difference Method, FDM）

1）基本思想：使用差分商近似导数，将偏微分方程离散化为代数方程组。

2）实现步骤：建立网格，定义节点。推导差分格式（显式、隐式）。

3）优缺点：简单直观，易于实现。对复杂几何和边界条件处理有限。

Ø有限元法（Finite Element Method, FEM）

1）基本概念：基于变分原理，将问题转化为能量极值问题。使用分片多项式作为试函数和权函数。

2）实现步骤：网格划分为有限元（单元）。选择形状函数，建立单元刚度矩阵。组装全局方程，施加边界条件。

3）优缺点：对复杂几何和非均质材料有良好适应性。数学理论完善，但实现较为复杂。

PDE的机器学习方法概述

1. 物理信息神经网络（Physics-Informed Neural Networks, PINNs）

Ø引言：将物理先验融入神经网络克服传统神经网络忽视物理规律的缺点。无需大量标注数据，利用物理方程指导训练。

Ø函数拟合器

1）神经网络作为函数逼近器：深度神经网络的万能逼近性质。使用网络参数化待求解的物理量。

2）网络架构选择：全连接网络、残差网络等。激活函数的选择对收敛性的影响。

Ø损失函数

1）物理残差（PDE残差）：将偏微分方程代入神经网络输出，计算残差。残差作为损失函数的一部分，指导网络满足物理方程。

2）边界条件与初始条件：通过添加边界和初始条件的误差到损失函数中。确保解的物理合理性。

3）数据驱动项：如果有观测数据，可将数据误差纳入损失函数。实现数据和物理规律的融合。

Ø格点采样

1）采样策略的重要性：采样点的选择影响训练效果和收敛速度。

2）随机采样与拉丁超立方采样：提高样本的均匀性和覆盖度。

3）自适应采样方法：根据损失梯度或误差分布动态调整采样点。聚焦于误差较大的区域，提升精度。

深度算子方法（Deep Operator Methods）

Ø算子拟合理论

1）从函数逼近到算子逼近：不再仅逼近函数，而是学习函数到函数的映射关系。

2）算子学习的优势：能够处理参数化的PDE问题，一次训练解决多次求解。对于不同的输入函数，快速给出对应的输出。

Ø函数映射思路

1）DeepONet（深度算子网络）：由两个子网络组成：编码输入函数和编码空间位置。学习输入函数到输出函数的算子映射。

2）傅里叶神经算子（Fourier Neural Operator, FNO）：利用傅里叶变换在频域上进行卷积操作。高效处理高维和复杂结构的PDE问题。

Ø应用与优势

1）解决参数化PDE问题：在参数空间内进行泛化，减少重复训练。

2）提高计算效率：相比传统数值方法，速度提升显著。

3）适用于实时预测和控制：工程中的实时仿真和在线控制应用。

下午：

利用PyTorch实现PINNs实现一维热传导方程的求解

本次课程的主要目标是通过实际编程案例，深入理解物理信息神经网络（Physics-Informed Neural Networks, PINNs）的原理和实现方法。通过使用PyTorch框架，我们将从零开始构建一个PINNs模型，用于求解一维热传导方程。具体目的包括：

Ø理论与实践相结合：将偏微分方程（PDE）的理论知识与深度学习实践相结合，增强对PINNs的理解。

Ø掌握关键技术：学习如何在PyTorch中实现PINNs，包括网络构建、损失函数定义、模型训练和优化等关键步骤。

Ø培养问题解决能力：通过完整的项目实践，培养学员独立思考和解决复杂问题的能力。

Ø拓展应用视野：了解PINNs在工程和科学计算中的潜在应用，为未来的研究和工作打下基础。

具体实现流程包括：

Ø1. 确定问题域和物理定律

1）理解物理问题：帮助学员熟悉要解决的热传导问题，包括其物理意义和数学描述。

2）明确求解目标：清晰定义PDE问题，为后续的模型构建和求解奠定基础。

Ø2. 选择网络架构

1)将PDE映射为神经网络问题：理解如何使用神经网络来逼近PDE的解函数。

2)掌握网络设计原则：学习如何根据问题的复杂度选择合适的网络架构。

Ø3. 准备数据集

1)理解数据的重要性：强调在PINNs中，数据点的采样和分布对模型训练效果有直接影响。

2)掌握采样方法：学习如何有效地在定义域内采样，提高模型的泛化能力。

Ø4. 定义损失函数

1)核心原理理解：让学员理解如何将PDE和边界条件融入损失函数，这是PINNs的核心思想。

2)实践自动微分：通过PyTorch的自动求导机制，计算神经网络输出的导数，体现深度学习框架的优势。

Ø5. 训练模型

1）实际操作指导：手把手指导学员完成模型训练，解决可能遇到的实际问题。

2）强化对训练过程的理解：深入了解训练参数的作用和调整方法，培养调参能力。

Ø6. 对模型进行验证和测试

1）模型性能评估：学会如何客观地评价模型的好坏，识别模型的优缺点。

2）结果解释：通过可视化手段，更直观地理解模型的预测能力和误差分布。

Ø7. 调参与优化

1）提高模型性能：通过调参和优化，提升模型的准确性和泛化能力。

2）培养调优技巧：学习如何系统地调整模型参数，解决实际问题。

Ø8. 解释和应用

1）深化理解：通过对结果的分析，强化对PINNs和热传导问题的理解。

2）拓展视野：引导学员思考PINNs的更广泛应用和研究方向，激发创新思维。

第三天：deepXDE的安装使用

Ø本节课程的主要目的包括：

1）工具熟练应用：通过对deepXDE的安装和实践操作，学员能够熟练使用这一强大的PINNs实现工具，为后续的科研和工程应用打下坚实基础。

2）复杂问题解决能力提升：通过多个复杂PDE问题的求解案例，学员学会了如何在不同类型的偏微分方程中应用PINNs，包括处理非线性项、复杂几何域和高维度等挑战。

3）拓展应用视野：了解了PINNs在流体力学、材料科学、量子物理等多个领域的应用，激发学员对跨学科研究的兴趣，鼓励他们在未来的学习和工作中探索更多可能性。

deepXDE的安装与基础使用

ØdeepXDE简介：deepXDE是一个基于TensorFlow的深度学习框架，专门用于解决科学与工程计算中的微分方程问题，尤其是物理信息神经网络（PINNs）的实现。

Ø主要特点：支持求解常微分方程（ODEs）和偏微分方程（PDEs）。提供灵活的神经网络架构和损失函数定义。具有简单易用的API接口，适合快速原型开发。

ØdeepXDE的应用场景：求解复杂的PDE问题，如非线性、多尺度和高维度的方程。参数识别和反问题求解。工程中的实际应用，如流体力学、热传导、电磁场等领域。

ØDeepXDE的基本使用

Ø定义PDE问题

1）几何域（Geometry）：定义问题的空间域，如区间、矩形、圆形等。

2）PDE方程（PDE）：使用deepXDE的语言描述待求解的微分方程。

边界条件和初始条件：指定问题的约束条件。

Ø神经网络模型

选择适合问题的神经网络架构，如全连接网络、卷积网络等。

设置网络的层数、每层神经元数量和激活函数。

Ø训练过程

优化器选择：如Adam、L-BFGS等。

损失函数定义：结合物理残差和条件约束。

训练控制：设置训练轮数、学习率、早停策略等。

Ø讲解目的

1）通过求解一维Poisson方程熟悉deepXDE的安装和基本操作：帮助学员快速上手deepXDE，为后续复杂PDE的求解奠定基础。

2）理解核心概念：通过示例，加深对deepXDE核心组件和工作流程的理解。

复杂PDE的求解与案例分析

Ø非线性薛定谔方程（非线性薛定谔方程用于描述非线性光学、玻色-爱因斯坦凝聚等领域中的波动行为。）

1）掌握非线性PDE的求解方法：学习如何在deepXDE中处理非线性项和复值函数。

2）提高模型构建能力：理解复杂PDE问题的神经网络架构设计。

ØAllen–Cahn方程的模拟（Allen–Cahn方程描述了材料中的相分离过程，是相场模型的重要方程。）

1）理解相变模拟的关键技术：学习处理小参数和陡峭界面的技巧。

2）提升问题解决能力：应对非线性强、数值挑战大的PDE问题。

Ø稳态圆柱流（研究流体绕过圆柱体时形成的流动特征，如涡街、压力分布等。稳态的不可压缩Navier–Stokes方程。）

1）学习处理复杂几何的技巧：在PINNs中应对复杂形状的计算域。

2）理解流体力学中的PINNs应用：掌握在流体力学问题中构建和训练PINNs的方法。

第四天：PINNs方法高级应用

二维泊松方程（2D Poisson Equation）：进一步推广到二维泊松方程，研究如何在复杂几何区域（例如L形域）上处理边界条件。在该案例中可以探讨不同采样策略对解的精度和收敛速度的影响。

Burger方程（Burgers’ Equation）：该方程被广泛应用于流体动力学的简化模型。通过PINNs对该方程进行求解，可以展示PINNs在处理复杂物理系统（包括激波等）的优势和局限。

1D Poisson equation：

一维热传导方程：在材料科学中，热导率的差异可能引入多尺度现象。通过PINNs模拟温度随时间和位置的变化，可以观察材料中热流传导的多尺度特征，验证PINNs在热传导过程中的适应性。

第五天：深度算子方法与高级应用