付林,彭世国,邓飞其,朱全新 | 无穷维随机积分微分方程的均方指数稳定性
文摘
科技
2024-10-27 12:00
北京
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研究团队
付林，彭世国：广东工业大学自动化学院
邓飞其：华南理工大学自动化科学与工程学院
朱全新：湖南师范大学数学与统计学院
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Lin FU, Shiguo PENG, Feiqi DENG & Quanxin ZHU. Mean-square exponential stability of stochastic Volterra systems in infinite dimensions. Sci China Inf Sci, 2024, 67(10): 202206, doi: 10.1007/s11432-023-4036-0
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Volterra积分微分方程能够有效地模拟材料的记忆行为，其应用主要集中在材料的粘弹性和热粘弹性问题上，涵盖了粘弹性流体的连续体机制、Timoshenko梁以及带有记忆特性的热传导等方面。此外，这类方程中的积分项同样存在于分数阶微分方程理论之中。分数阶微分方程旨在更为精确地描述具备记忆效应的物理模型的动态演变过程，其本质上即为一类具有特定卷积核的积分微分方程。在实际应用中，Volterra方程的优势在于其能够捕捉材料在受力后的非即时响应特征。例如，在粘弹性流体的研究中，这类方程可以更好地分析流体在剪切力作用下的变形情况，以及杆在扭转和拉伸过程中所经历的应力分布变化。这些分析对于设计高性能的工程材料和系统至关重要，因为它们有助于预测材料在实际应用中的性能表现。Timoshenko梁模型是典型的例子，该模型考虑了剪切变形的影响，从而比传统的Euler-Bernoulli梁模型更加精确。通过使用Volterra方程，可以更准确地计算梁在各种载荷作用下的弯曲变形及其随时间的变化规律。此外，带有记忆特性的热传导问题也可以通过Volterra方程进行建模，以更好地描述温度场随时间的演化过程，尤其是在纳米尺度或非平衡状态下，传统的Fourier定律已不足以描述实际情况。 值得注意的是，尽管Volterra方程在理论和应用方面都取得了显著进展，但仍存在一些技术上的难点需要克服。首先，在无穷维的情形，由于积分项中带有无界算子，这使得一般的分析方法难以应用。具体来说，我们无法直接估计算子的范数，这给稳定性分析带来了很大的挑战。其次，在随机的情形，并不是几乎所有的温和解都是强解，恰恰相反，大部分的温和解都不是强解。这意味着，我们无法将针对强解的结论直接延拓至温和解，从而增加了理论分析的复杂性。为了应对这些挑战，我们需要使用新的数学工具和技术，以便在处理无界算子和随机过程时获得更深入的理解。这些方法不仅有助于解决当前的技术难题，还可能为未来的理论研究开辟新的方向。1. 通过使用不动点定理得到方程温和解的适定性。引入乘积空间，并提出更“大”的随机Cauchy问题，利用半群的相对有界扰动定理和随机项算子的Hilbert–Schmidt有界性，得到该随机Cauchy问题的适定性。这种方法通过构造更大的框架，使得原本难以处理的无界算子问题变得更容易分析。2. 使用随机Fubini定理以及强解结论，将原方程的强解与随机Cauchy问题的强解的第一分量对应起来，这为后续的理论推导提供了基础。3. 为了将这种对应关系推广至温和解，分别引入原方程和随机Cauchy问题的Yosida近似方程，可以证明原方程的近似方程的所有温和解均为其强解。Yosida近似通常用于将抽象随机微分方程的一些性质从强解推广到温和解。4. 利用已有的结果，可以证明随机Cauchy问题的近似方程的所有温和解均为其强解，并且其强解在解空间中收敛至随机Cauchy问题的温和解。因此，原方程的近似方程的温和解在解空间中收敛至随机Cauchy问题的温和解的第一分量。通过控制收敛定理以及Yosida算子结论，进一步证明原方程的近似方程的温和解在解空间中也收敛至原方程的温和解。5. 通过序列极限的唯一性，可以证明原方程的温和解与随机Cauchy问题的温和解的第一分量是等价的。这一结论为整个技术路线提供了理论支撑。图1展示了上述主要思想和步骤：![]()
图1 将原方程与随机Cauchy问题的温和解对应起来的流程6. 将原方程的温和解的均方指数稳定性约化为随机Cauchy问题的温和解的均方指数稳定性。通过限制卷积核函数，并利用随机Cauchy问题的稳定性结论、Paley–Wiener定理以及Hardy空间上复合算子的有界性结论，进一步归结为复变函数的有界性和随机部分的范数不等式。最终确保了原方程温和解的均方指数稳定性。为了验证给出的结果和技术路线的有效性，本文提供了一个仿真实例，其确定性部分对应具有指数衰减记忆效应的热传导模型。这个模型中的卷积项等价于Caputo-Fabrizio分数阶导数。通过对1000个样本进行数值计算，并展示其中300个样本的结果，可以观察到以下特点：图2展示了1000个样本的均值和300个样本在不同时间点的温度分布情况，图3展示了300个样本的L2范数以及1000个样本的均方根在不同时间点的变化曲线。这些数据表明，均方根曲线随着时间的推移呈现出指数衰减的趋势，与理论预测一致。图2 指数衰减记忆效应热传导模型的300个样本与1000个样本的均值 图3 指数衰减记忆效应热传导模型的300个样本的L2范数与1000个样本的均方根![]()
