项阅权,项林英 | 基于Gramian度量的图积网络可控性
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科技
2024-10-18 12:00
山西
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研究团队
项阅权：东北大学信息科学与工程学院
项林英：天津工业大学人工智能学院
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Yuequan Xiang & Linying Xiang. Controllability Gramian-based Measures of Graph Product Networks. Sci China Inf Sci, 2024, doi: 10.1007/s11432-023-4034-2
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图积网络（Graph Product Network）作为一种结构丰富的网络模型，近年来引起了学术界和工业界的广泛关注。图积网络通过将多个简单的网络图结合在一起，形成更为复杂的网络结构，从而有效地模拟和解析现实世界中的复杂系统，如在线社交网络、生物网络、电力网络等。图积网络的基本理念是利用图论中的图积概念来构建网络，在这种方法中，通过特定的规则（如克罗内克积、笛卡尔积等）将两个或多个小规模因子网络组合成一个更大的网络，这一过程不仅扩展了网络的规模，而且在很大程度上增加了网络的复杂度和多样性。图积网络的独特之处在于它能够揭示原始网络之间的相互作用和协同效应，为理解复杂系统中的动力学行为提供了新的视角。 研究图积网络的可控性是一项重大挑战，因为图积操作不可避免地增加了计算复杂性。因此，迫切需要一种更高效的方法来应对这一问题。在实际应用中，研究者们持续从能量角度探讨了复杂网络的可控性。事实上，为了量化控制网络所需的努力程度，必须考虑控制能量问题。然而，关于图积网络的能量相关可控性研究，现有文献中涉及较少。迄今为止，关于图积网络能量相关可控性的系统理论框架尚未建立。因此，探索图积网络的能量相关可控性显得尤为重要。基于上述背景，本文研究了基于Gramian度量的图积网络的可控性问题。这里的图积指的是克罗内克(Kronecker)积或笛卡尔(Cartesian)积。图积网络的可控性度量通过可控Gramian的迹和行列式进行表征，分别对应于平均可控性和体积控制能量。与现有研究不同，本文中的图积复合网络的可控性通过其对应的因子网络的Gramian度量进行表征，并建立了图积复合网络的Gramian度量与其因子网络的Gramian度量之间的关系。(1) 建立了克罗内克积网络的平均可控性与其因子网络的平均可控性之间的关系，并从因子网络的平均可控性推导出克罗内克积网络体积控制能量的上界，无需直接计算大规模复合网络，大大提高了计算效率。(2) 分别从因子网络的平均可控性度量指标推导出笛卡尔积网络的平均可控性和体积控制能量的上界，揭示了笛卡尔积网络的可控性度量指标与其因子网络可控性度量指标之间的新关系，为设计满足期望条件的笛卡尔积网络提供了理论依据和技术指导。 (3) 比较了克罗内克积网络和笛卡尔积网络的可控性，结论表明，在某些条件下，由克罗内克积构建的复合网络的平均可控性优于由笛卡尔积构建的复合网络。与现有研究相比，我们的方法提供了两种不同网络构建方法性能的详细比较，有助于对其可行性进行更全面的评估。这对于选择合适的网络构建方法以增强网络可控性至关重要。本文通过数值仿真对主要结论进行了验证。其中，两个因子网络分别由Erdös-Rényi (ER) 随机网络生成。首先，考虑第一个因子网络节点数为20，连边概率分别为0.2、0.4、0.6、0.8和1.0；第二个因子网络节点数为50，连边概率分别为0.2、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7、0.8、0.9和1.0。仿真结果表明，当节点数固定时，随着因子网络的连边概率增加，克罗内克积网络和笛卡尔积网络的平均可控性度量指标均减少，并且克罗内克积网络比笛卡尔积网络具有更好的平均可控性。 其次，将第二个因子网络的节点数增加到100，其它条件不变。上述仿真结论仍然成立。![]()
