（图源：普林斯顿大学官网）
撰文｜李珊珊
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从安徽农村到普林斯顿终身教授、新一代华人数学家的翘楚，一路走来，做数学的秘诀是什么？
张寿武说：“数学要跟着人做，不能跟着书做”。
书，逻辑严密，面面俱到，都是整理好的东西放在那里。只有真正研究过那些东西的人，才会告诉你他们犯过的错，走过的弯路，有过的狼狈，以及最后得到的感悟，而所有这些，才是最重要的。而这些经历，并不会写在书上，数字里和算符中，要花很大的时间和精力才能看出来，而一个好老师，则可以大大减少这些摸索的时间。
而中国今天的数学教育，张寿武评价：仍然缺少好老师，缺少思考。
而今，作为普林斯顿大学的数学教授、美国艺术与科学学院院士，张寿武最为亮眼的成绩中，少不了他的学生。他带出来的博士生田野，袁新意，张伟，刘一峰等都已经开始斩获各种数学大奖，而他自己也曾被丘成桐评论为培养学生的能力“出类拔萃”。
“美国现代数学的发展轨迹，和中国很像，19世纪七八十年代，美国的数学家在欧洲留学后回国，再然后开始培养一些人，美国的数学学科得以发展，而中国在100年后，也就是20世纪七八十年代开始出现了这个趋势……”谈到一个前阵子热议的话题，中国的数学是否达到了40年代美国数学的水平？这位数学家这样有条不紊地回答。
在这位数学家面前，数学不是枯燥的数字、定理，而是历史，是经历。他偏爱历史，因为“从历史的角度去看事情会比较有趣，在哲学文化的角度可能也会比较无聊”。
他说：想象力是数学家最重要的一件事情，而想象力跟人的经历有关系的。所以，是经历影响了人类做数学的风格。比如他自己，出生在安徽马鞍山的和县，项羽投江的地方，刘禹锡写《陋室铭》的地方。在乡下长大，他看到的是天空、原野，数学也做得粗旷，“框架清晰，细节却没有”。而多数数学家，比如老师王元，陈景润，城里出来的，计算会非常精确，细节做得很好，这是他所做不到的。
因受陈景润哥德巴赫猜想的感召进了数学系，想学数论。1980年，因高考数学失误，小学四年级便立志做数学的张寿武被录取到了中山大学的化学系。通过假装色盲，在那个“一切服从组织分配的时代”，他终于转到了梦寐以求的数学系。
在数学系，老师们发现，这个转系而来的学生自学过抽象代数，这是老师自己都没学过的内容，一位老师给了他一本书，让他学会后给老师们“讲一讲”。那一年，张寿武在讲台上讲，下面坐着的，除了送给他书的老师，还有数学系另外两位副教授。第二年，老师又要求张寿武去学习同调代数，他学会后，由这个二年级学生再一次给老师们讲课，这次，坐在下面听课的老师达到了十几个。
1983年，初到中国科学院数学与系统科学研究所，硕士师从著名数学家王元，在现在的数学与系统科学所，与陈景润分享一个大办公室。在那里，21岁的张寿武第一次听说了那个缔造了法国数学辉煌的学派——布尔巴基学派。
那是在二战后，一群年轻的法国数学家发现法国的数学太落后了，德国的数学在领先，这几个年轻人决定重编大学教科书，那是读完现有的所有相关知识后，吵架式地写——四个人中的一个写了初稿，另外三个人（把这份初稿）改得一塌糊涂，然后第二个人再写一遍，写完之后再骂，一直改到最终4个人完全同意，都认为不错，这才定稿。
最终，因为无法确定书的作者如何署名，这些法国的热血青年们造了个名字，叫尼古拉•布尔巴基，那是个4人在报上看到的战场上士兵的名字。而最后，这套对现代高等数学探研所得的书籍在法国，乃至全世界流行了起来，而法国的数学，在这番整理之后果然也变得很好了。
这个故事令张寿武和同学听得热血沸腾，他们也要成立这样一个组织，写教科书，像布尔巴基学派一样推动中国数学的发展。
几个年轻人买了二锅头，到了圆明园买了烧鸡，开工宴结束，开始干活了，也就是要先把书读懂，之后用自己的理解写成中国的教科书，年轻人们傻眼了，发现“我们这几个人的水平太烂了，读都读不下来……”
张寿武的导师王元院士刚从国外回来，在数学所作了一个报告，介绍德国的青年数学家格尔德·法尔廷斯(Faltings)对莫德尔(Mordel)猜想的证明。那一刻，他觉得自己一定要想办法跟着那位年轻的德国数学家做数学，“他的定理给我的感觉太震撼了，我觉得做学问就要做他那个”。
1986年，法尔廷斯获得菲尔兹奖，张寿武来到哥伦比亚大学。之后，从1986到1989年的三年间，通过导师的介绍以及各种机缘，张寿武见过法尔廷斯3次，对方的态度，从毫无兴趣，到对他笑了一笑。
1990年，张寿武正式开始跟着法尔廷斯做数学，那一年，张寿武28岁，法尔廷斯36岁。张寿武的主要工作是为法尔廷斯开设的一门功课记笔记，“每星期见面两次，对照笔记”。
有一次，张寿武问法尔廷斯一个数学分析的问题，法尔廷斯要他到图书馆去查3卷书，告诉他答案就在里面，并让他第二天给出答案。这3卷书加起来有1000多页，张寿武花了一个多小时也没有找到需要的那一页，于是决定自己算，并在预定时间内把这个结果算了出来。
从学会读书，学会学数学，到看到真正好的数学，再到了解怎样“真正做数学”。张寿武回忆起在那一刻，法尔廷斯带给他的震撼——他忽然意识到，做数学，“不是哪里不懂查哪里的文献，而是哪里不懂就做哪里”……
那之后，1996年，张寿武证明了世界性难题波戈莫洛夫猜想，1997年在世界上率先于全实域上推广了格罗斯—乍基亚公式，1998年应邀在德国柏林举行的世界数学家大会上作45分钟报告，这是年轻数学家获得业内承认的重要标志。
数学家在一个个故事中成长，如同印度电影《贫民窟的百万富翁》，这位数学家认为，从一定意义上，一个数学家所做的数学，都是他人生经历的反映，而这些经历，被凝聚在一个个定理、方法中，变成了人类数学知识库的一部分。在那座大厦上，每一个名字，每一块砖头，都有它自己独特的意义。
01
知识分子：您年轻的时候，中国没有人，没有钱，没有资源，尤其没有针对有天分的学生的特别的训练，现在，中国出现了很多针对精英学生的计划，比如大学里的基地班、各种书院等等，你觉得这些举措，对于培养精英人才会有用吗？
张寿武：中国对于精英学生的教育，喜欢把他们编成一个班，学更难的东西，那不对，是大错特错的。这些年轻人已经是精英了，不要让他们再浪费这么多时间读书了，应该让他们进赶紧进入研究的领域。
我们的学生需要学的东西太多，压根没有时间思考。在国科大，每学期20周正课，这些课程非常之难，非常之多，而在普林斯顿，每个学期只有12周的课，一年里，几乎有半年都是假期。半年的假期中，学生就会找一个老师，学生挑个东西，然后老师跟他们进行讨论。那里的师生比例也比较高，大约二三十个学生对应30个左右的教授。
普林斯顿的学生，课业少，然而几乎每个人都在做项目（Project）。数学系里，学纯数学的学生在做项目，做应用的也在做项目，甚至跟着外系的其他人做项目。大学里，不能老念书，要做点真正的事情，而学校，要给他们留出时间，创造机会来做这些事情。
普林斯顿这么做，因为它的录取门槛非常高，所以录取之后并不需要对学生进行什么考核。那么，清华、北大、国科大这种学校为什么不能也进行高门槛低要求？不然的话，我们的学生没有时间思考。
大学老想着把学生的时间安排到分分钟，这是不对的。应该保留30%，甚至1/2的时间完全由学生自己支配，你不用担心学生会去做什么，他们比大家想象得要厉害。
知识分子：但如果这种培养方式，我们很难有合适的老师吧？您在2019年曾经对媒体表示过“师资力量不足是掣肘中国从数学大国走向数学强国的关键”，目前仍然如此吗？
张寿武：我年轻时候是这样一个情况。1998、1999年，我回国的时候，情况仍然差不多；但到了2010年我回国的时候，中国的情况已经好了很多，钱有了，但愿意教本科生的好老师仍然不多，今天，情况仍然如此。
知识分子：我们仍然没有这样的老师的原因是？
张寿武：首先，老师无法把精力放在教本科生方面。做一个好老师，教学生是一件需要付出很多精力的事情，然而，在中国，我们有一套独特的评价系统，跟世界上其他很多国家都不太一样，比如说，我们以发四大期刊（注：通常认为的数学四大期刊为：《数学年刊》 An-nals of Mathematics，《数学新进展》Inventiones Mathematicae，Acta Mathematica以及《美国数学会杂志》 Journal Of The American Mathematical Society ）文章的数目来决定晋升。
这样的系统，从管理的角度来讲很好。但年轻人不会把主要精力放在培养大学生上面，他们的精力会主要放在自己的科研上面。
他们的精力会主要放在自己的科研上面，但这又会出现一个新问题，他们的科研是针对一定的模式做出来的，是每天琢磨什么样的科研能发四大刊的文章出来的，这样的方法做科研，所谓的创新也都是几乎没有可能的。
创新是什么？在我们数学领域，很多创新是某年发现了一个东西，把这东西发在的一个不出名期刊上，5年之后面，别人发现原来那个东西很重要，这个期刊由此出名 。 如果要写个计划，讲清你先做什么后做什么，那么，已经知道要怎么做的事情，就不叫创新了。
如果你写一个东西，就是希望能拿到奖金的，那也很难叫创新。因为凡是有计划求稳的东西都很难有创新。
除了上面那些，还有一个更深层次的问题，那就是，最容易出现创新的状态本该是一个比较有耐心，比较放松的状态，但现在并不是。
比如，我在美国做教授的话，5年不发表文章无所谓，科研基金也可以不申请，只要你愿意拿着每个月固定的薪水，做一些自己想做的研究，（比如Andrew Wiles研究费马大定理，用了7年，没有其他的产出）。当然，我这么批评中国的制度并不是说美国制度就有多好，其实美国只不过是有个薪水可以养活自己，但中国的科研基金是占你收入大部分的，一个中国研究者，想这样做7年的话，可能真得要穷死了。
想一想，如果我们告诉李白，这种诗没人写过，你今天要不要写这个诗？那种诗也没人写，你要不要策划写一下，计划几天写完？我想，我们可能就没有这么辉煌的唐诗了。
知识分子：好老师为什么如此重要？您自己不就是本科和研究生期间一直在自学吗？
张寿武：我本科花了两年半，在中科院读了3年，到美国又读了5年，相当于我的博士读了8、9年，而且读得非常辛苦，很大的原因在于，很多时候自己太明白读的东西。那么，假如有个合适的老师带我给一个好的引导，我能不能4年就毕业，节省一些时间？
所有的知识（哪怕是数学）都是由故事触发的，故事是要有历史的，这些故事会经过讲故事的人变得越来越丰满，因为里面有讲述者的观点，但这些（观点）不会被写在书里，因为那不是数学内容。这些观点中有老师对知识的认知，有对探索的感悟，虽然中国人常说的念书，但书还是要跟着人念，而不能只是跟着书念。 写书时要逻辑严密，面面俱到，都是整理好的东西放在那里，只有真正研究过那些东西的人，才会告诉你他们犯过的错，走过的弯路，有过的狼狈，以及最后得到的感悟，而所有这些，才是最重要的。
学数学要跟真正的人学，而不只是跟着书学。只有这样，我们一旦想到某个定理，就能想到那年的老师穿着拖鞋在某个教室讲了这个东西，我们会记住的是那样一种场景，这种学东西的方法和你用教科书的方法是不一样的，给你带来的震撼是不一样。
02
知识分子：对于中国的数学的实力究竟如何，网络上有非常热闹的讨论，想必您也听说了。中国的数学究竟是比不上“40年代的美国”，还是正在经历最好的成长阶段，您怎么看呢？
张寿武：对于数学，我们有两个不同的评价方式，一个是看谁是在引领数学的发展？如果从这个角度来考虑，中国还是差得很远。从这个角度，我同意丘成桐先生的说法，我们当然比不上40年代的美国，当时的美国是世界数学的领袖，中国现在哪有那么多领袖型的人物？
但也不能妄自菲薄，汤涛的文章（指《探讨中国数学的现状》一文）中的说法同样很有道理的。目前的中国已经是一个数学大国了，我们有一批人能够站在世界的舞台上面，这些人能不能站在特别好的位置，那是另外一回事。
目前的情况，比我做学生的时候不知好多少，那时候我们根本不知道别人在做什么，现在至少跟上了。
当然，现在的情况也只是跟上，别人做什么，我们也可以做什么，只是跟上，没有引领潮流。
但你看美国现代数学的发展轨迹，和中国很像，19世纪七八十年代，美国的数学家在欧洲留学后回国，再然后开始培养一些人，美国的数学学科得以发展，而中国在100年后，也就是20世纪七八十年代开始出现了这个趋势。
二战之后，美国的数学家才进入了井喷状态，几乎所有大数学家都到美国去，包括我们中国的几个大数学家，比如陈省身、华罗庚等等。其他像移居过去的德国、法国数学家，那更是多得不得了。
从这个角度来看，在吸引国际人才方面，中国也还没法比。
知识分子：引进人才方面做得不好，是不是亚洲国家的通病，日本的引进人才多吗？
张寿武：日本有，但也不多。
美国的确是例外，丘先生认为美国的学生很强，但是我觉得美国只有几个好学校的学生很强，他们的人才储备其实没有中国多。从千里马这个角度来考虑，我们的学生不比他差，但是我们的教授，如我前面说的，花在培养学生身上的时间比较少，另外，我们在吸引外国人才的方面，差很多。
当然，不论如何，我对中国是乐观的，我觉得这些问题终究会解决，我们今天的成就还是很了不起的，改革开放40年，我们的数学成绩各方面还是不错的，我觉得从这一点角度我是赞成汤涛讲的东西。当然丘先生也没错的，目前的我们达不到美国40年代美国的水平，我们没有那么多领袖人才。
但是展望未来，我觉得中国是有能力把数学做好的。中华民族是一个浪漫传统的民族，你看我们有李杜的诗歌，还有苏轼，有非常好的想象力。而数学，跟物理不一样，后者是研究现实世界的东西，而数学研究虚拟世界的东西。数学家更需要天马行空的想象力，这些，在我们，都不是问题。从这个角度来看，我觉得，21世纪的中国，数学一定可以做得非常好。
知识分子：那么我们该怎么做，才能达到这个目标呢？
张寿武：一些细节我就不讲了，但一个很容易改善的东西是我们的科研评估体系。比如我在普林斯顿，（对教授们）就是执行高门槛低要求。我们聘任一个教授，要求所有人同意才行，有一个教授反对都不行，所以我们请来的人都是非常优秀的，他们进来之后做什么学问，学校几乎就不管了。
所谓好的评估体系就是不要评估，让这些教授们自己决定他要做什么事情。我们每年会向系主任发一封信，写很傻的几段话，讲一讲这一年我干了什么，如果有文章发表就可以写我发表了几篇文章发在那，没有也没关系，然后系主任就根据这个东西来决定给我们涨3%的工资还是2%，幅度差别非常小，几乎可以忽略不计。
我觉得这是对的，当然，这种方式可能只能存在于那些最好的大学，入门的要求高一些，后面一般都不会太差。评价体系每个学校可以不一样，可以根据自己的情况调整，但我认为，像北大清华中科院这种单位，招的人都是挑之又挑，进来之后就不用再做这些无谓的内卷竞争了，因为，这种竞争是没有意义的。
还有一个办法改进目前的评估体系，我曾经建议过这个办法，要引入外部评审。真正的、不会说中文的、跟中国的科研机构没什么瓜葛的老外，这种人加入评审委员会，我们的“套路”可能一下子就不好意思用出来了，马上会干净很多，“打招呼的情况”会少很多。
这个方法并不少见，美国的科研基金一定要请外部评审的，像我们的未来科学大奖也是这么做的，我们要相信，评估系统引入外国人参加，不会翻了天的。
知识分子：中国在奥数竞赛上表现很好，您怎么看数学研究与数学竞赛？
张寿武：数学竞赛要看兴趣，我也有学生，像袁新意，得过IMO金牌，做数学做得很好的，也有学生没怎么参加过数学竞赛，现在也做得很好的。
至于数学竞赛作为人才选拔的效果，我举个例子，在美国，MIT是很喜欢数学竞赛的，他们每年把所有拔尖的数学竞赛获奖的人都弄过去，再让这些组队参加一个美国的普特南大学生数学竞赛。就这样，MIT拿到了很多相关的金牌，而在普林斯顿，我们就很少做（组织学生参赛）的事情，我们的学生更倾向于做项目，这样，普林斯顿有更多的菲尔兹奖获得者。
数学竞赛夺冠的学生，考试第一名的学生，也是不一样的。有的学生考试成绩好，只是会做题而已，也有学生不仅成绩好，而且确实有了深入的思考。数学竞赛需要很多技巧，而且要求限定时间完成，但真正做研究时。通常一个题目是要几年才做出来，比如，我最近做的一个研究是花了20年才做出来。
所以，我不反对数学竞赛，但是大家要知道数学竞赛跟数学研究是两个事情，应该说搞数学竞赛好的人变成数学家的概率要比其他人可能要高，但至于高多少，我也说不清楚。
03
知识分子：有一个观点认为，目前中国的数学家主要还是在做问题解决者，而不是理论构建者，甚至我们一直引以为傲的“黄金一代”的年轻人们，也大多是处在一个解决问题的状态，还没有到提出问题的状态。
张寿武：提问是数学的重要部分，是因为数学说到底是一大堆问题的组合，数学的活力不仅在于解决问题，还在于知道问题在哪里。你提出问题之后，数学就可以慢慢地跟着问题去新的领域发展了，这是很重要的。
我们中国由于数学发展得晚，没有参与到数学初期的建构，数学发展最好的时期是19世纪初，那是黄金时代，井喷的年代，那段时间出现了伽罗瓦、阿贝尓、黎曼等等一大批很厉害的数学家，但那个时期的数学家们都过得很惨，很多数学家很早就去世了，上面几位几乎都没有活过40岁。他们生活得非常辛苦，但却创造出了那么好的数学，那是个很了不起的年代。
中国没有这种能够提出大问题的数学家，之前没有出现过，但现在条件好了，也没出现这样的人，还是跟我们的评价系统有关系。
因为按照现在这个系统，如果想把这文章发表到最好的杂志上面，其实做法非常简单，你要做那些编辑们感兴趣的东西，那就是热点。但如果做所有的学问都按照这个热点来的话，我们就永远也培养不出那种能问大问题的数学家了。
如果一直这么做，所有的东西都在追热点，永远是别人先提出来，咱们在后面再赶一步，那种特别原始的东西，需要花时间沉淀的东西，我们就很难真正有了。
知识分子：您怎么看前阵子热议的朗兰兹猜想获证明的新闻呢？另外，用纲领这个词的时候，往往会让人想到一个大型的计划，像工程一样，朗兰兹纲领是否意味着数学研究的范式会从小而美变成一种建制化的形式？
张寿武：我要讲清楚，首先，近期的很多媒体报道，甚至像《量子杂志》这样的相对专业的媒体的报道也是有问题的，他们其实是偷换了概念，这次被解决的朗兰兹，是几何朗兰兹，跟原始朗兰兹纲领有关系， 但不是一回事。
朗兰兹纲领起源于1967年，朗兰兹给我们前面提到过的做过布尔巴基派首领的韦依写了封信，那封信提出一个想法，要在数论、代数几何和群表示论之间建立一些联系。它不是数学一个方向的一个问题，不是像希尔伯特在1900年巴黎的国际数学家大会上提出的23个重要问题那样的问题，它所做的是指出两个世界、两块区域之间有一些联系，请大家把这些找出来。
我年轻的时候，对朗兰兹纲领有过抵触，不想研究这东西，因为，似乎朗兰兹纲领在数学中的作用是极其不自然的，只是我们也找不出比它更好的办法。但后来就慢慢的发现，在那里的数学也许确实才是最精妙的数学， 特别是在20世纪、21世纪，数学正在向整体结构的方法发展。
这个故事可能要从群概念的出现开始，最早是伽罗瓦解代数方程时引入，然后李（Lie）在研究微分方程提出了连续群（李群）的概念，并被后人应用于量子力学中。为了在物理上使用方便，狄拉克的学生哈里什-钱德拉在非紧李群的表示论方面做了一些工作，而这些工作启发了朗兰兹。朗兰兹发现，要解决这类问题，要用到数论。这才有了后面打通各个领域的想法。
我讲完之后你应该就知道了，朗兰兹纲领不是规划，它大约只是提了个假设，指了个方向。但这又确实是个非常神奇的东西，数学里面很少能把一个纲领提得如此之细致又如此宏大，几乎没有什么概念可以跟它相媲美了。我自己没研究过朗兰兹纲领，但是我时常会用它。因为朗兰兹在几个不同领域之间建立关系，如果建立好的关系，我可以用，用起来很方便。
朗兰兹纲领提出之后的很长一段时间里，是依靠朗兰兹自己的提出一个方法在发展，但后来，发展越来越慢，能做的事情越来越少了。这种情况从80年代末一直持续到了1994年，当时怀尔斯为了解决费马大定理提出了一种新的方法，这条新的路径被很多人拿来用于朗兰兹纲领，但大概也管用了20年左右，然后就又遇到问题了。现在的朗兰兹纲领的研究，几乎可以算是德国数学家舒尔兹（注：Peter Scholze，1987年出生，2018年菲尔兹奖获得者主，曾与柳智宇同为2005年IMO金牌得主）接手了，他使用了另一套办法，也有很多追随者，目前发展还不错。
就像我经常说的，任何一种数学理论只能管20年。但对于朗兰兹，这些办法都只能解决一些比较特殊的问题。所以我觉得，这些研究都很重要，但这都是阶梯式的工作，没有一个人能够找到一个方法把所有问题解决掉，而且他们解决的问题都是局部来完成，不是整体来完成的。
这里我想多讲几句数学家是怎么工作的。
数学和物理，以及一些其他自然科学的学科不太一样，比如物理学，确实存在那种所有的物理学家都感兴趣，也相关的共同问题，但在数学中，几乎不存在这类问题，并没有什么问题是非要解决的。有些数学家得菲尔兹奖，其他数学家可以完全不用管。一个数学家能做出来的东西，永远是他想做的问题中的凤毛麟角。在一些很古老的分支中，尤其像数论或者分析这样的学问里面的重大问题，我们几乎没有所谓的重大突破，只不过是对某个问题有点进展。
数学的发展就是这样，有可能需要花100年、200年来持续地努力，才能解决一个问题。但对于一个解决问题的新想法，如果20年没有人加入更新的想法的话，学生就会走掉，热门学科就变成了冷门学科，做的人就很少了。比如哥德巴赫猜想的研究， 现在就是冷门学问。中国人做一些领域是喜欢所有人都冲上去，看到这种情况，我一方面很高兴，一方面也会给大家一些警告，因为很有可能所有人进去之后一事无成。
知识分子：今年以来，AI有了飞速的发展，您怎么看AI进行数学研究，有可能吗？
张寿武：AI的确非常神奇，可以把文字润色的非常华丽，让我再学50年，也写不出那个样子。然而，它只是是一种语言大模型方法，目前还没有很多逻辑推到在里面，所以，替代数学非常困难。因为你不可能只靠统计前人解决问题的模式来解决后面的问题。
每个问题都是不一样的，每个解决办法都有个人的风格，人的性格、经历决定了他们要这样思考。从这个意义上，AI要解决数学问题，需要跨越的不仅是要有逻辑，还要有“性格”，比如，数学家做出来一个东西，可以用他们的喜欢的名字来命名，这个名字就可以跟着这个知识被流传下去，这是一种重要的动机。
每个人的生命很有限，这刚好促使人们有一种紧迫感，把经验记录下来流传下去，这就成了知识。而AI没有这种紧迫感，它们不知道在什么节点上该总结、起个名字了，最终他们可能会得到一堆以数字代号命名的乱七八糟的东西，也许包含了很多东西，但没有意义。
不过，也许AI可以去做一件事，就是去验证人类的证明结果。他没有性格、经验，从而不会受到这类因素产生的偏见的影响，非常适合去验证一个数学文章是否正确，这样，数学论文的审稿就可以得到大幅提速。我相信那同样是数学领域的一个巨大进步，把人解放出来，人就可以去做更多的事情了。
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