启发式方法给K-Means选择较好的初始质心

今天云朵君和大家一起学习最简单的聚类算法K-Means算法中启发式选择初始聚类中心的方法，深入探究K-Means++算法中的细节！

一、K-Means

1. 概念

• k-means algorithm算法:
  K-均值（K-Means）属于聚类算法，之所以称为K-均值是因为它把n个样本根据它们的属性分为k个簇（k < n），且每个簇的中心采用簇中所含值的均值计算而成。

• 聚类：
  一种无监督的学习，事先不知道类别，自动将相似的对象归到同一簇中。
  聚类作为一种典型的数据挖掘方法，一直以来都是人工智能领域的一个研究热点，被广泛地应用于人脸图像识别、股票分析预测、搜索引擎、生物信息学等领域中。

2. K-Means算法思想

1. 随机选择K个中心值
2. 根据样本数据各点与中心点的距离来进行归簇
3. 通过各个簇的均值，更新为每个簇的中心值
4. 重复2、3，直至聚类中心的位置不再变化

3. K-Means特点

• 适用数据类型：适用于数值型数据
• 优点：算法原理简单，容易实现。需要调节的超参数就是一个k。
• 缺点：在 K-Means算法中 K需要事先确定，这个 K 值的选定有时候是比较难确定。
  可能收敛到局部最小值；
  在大规模数据集上收敛速度较慢；

二、K-Means++

1.概念

• k-means++ algorithm算法:
  由于 K-means 算法的分类结果会受到初始点的选取而有所区别，因此有提出这种算法的改进: K-Means++ 。

2.K-Means++算法思想

其实这个算法是对初始点的选择有改进，其他步骤都一样。初始质心选取的基本思路就是，初始的聚类中心之间的相互距离要尽可能的远。

1. 随机选取一个样本作为第一个聚类中心 c1；
2. 计算每个样本与当前已有类聚中心最短距离（即与最近一个聚类中心的距离），用 D(x)表示；
   这个值越大，表示被选取作为聚类中心的概率较大；
   最后，用轮盘法选出下一个聚类中心ci；
3. 重复步骤2，直到选出 k 个聚类中心。

3.K-Means++特点

适用数据类型：适用于数值型数据

• 优点：可以确定地初始化聚类中心。减少算法的迭代次数，提高算法的收敛速度。
• 缺点：K-Means++算法从可扩展性来看，它存在一个缺点，那就是它内在的有序性特性：下一个中心点的选择依赖于已经选择的中心点。

4.K-Means++算法实现

#!/usr/bin/env python
# encoding: utf-8

import math
import random
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt


def loadDataSet(fileName):
    '''
    加载测试数据集，返回一个列表，列表的元素是一个坐标
    '''
    dataList = []
    with open(fileName) as fr:
        for line in fr.readlines():
            curLine = line.strip().split('\t')
            fltLine = list(map(float, curLine))
            dataList.append(fltLine)
    return dataList


def euler_distance(point1: list, point2: list) -> float:
    """
    计算两点之间的欧拉距离，支持多维
    """
    distance = 0.0
    for a, b in zip(point1, point2):
        distance += math.pow(a - b, 2)
    return math.sqrt(distance)


def get_closest_dist(point, centroids):
    min_dist = math.inf  # 初始设为无穷大
    for i, centroid in enumerate(centroids):
        dist = euler_distance(centroid, point)
        if dist < min_dist:
            min_dist = dist
    return min_dist


def kpp_centers(data_set, k):
    """
    1.从数据集中返回 k 个对象可作为质心
    """

    # 将矩阵转为列表
    data_set = np.matrix.tolist(data_set)

    cluster_centers = []
    cluster_centers.append(random.choice(data_set))
    d = [0 for _ in range(len(data_set))]
    for _ in range(1, k):
        total = 0.0
        for i, point in enumerate(data_set):
            d[i] = get_closest_dist(point, cluster_centers)  # 与最近一个聚类中心的距离
            total += d[i]
        total *= random.random()
        for i, di in enumerate(d):  # 轮盘法选出下一个聚类中心；
            total -= di
            if total > 0:
                continue
            cluster_centers.append(data_set[i])
            break

    cluster_centers = np.mat(cluster_centers)
    return cluster_centers


def kMeans(dataSet, k):
    '''
    2.KMeans算法，返回最终的质心坐标和每个点所在的簇
    '''
    m = np.shape(dataSet)[0]  # m表示数据集的长度（个数）
    clusterAssment = np.mat(np.zeros((m, 2)))

    centroids = kpp_centers(dataSet, k)  # 保存k个初始质心的坐标
    clusterChanged = True
    iterIndex = 1  # 迭代次数
    while clusterChanged:
        clusterChanged = False
        for i in range(m):
            minDist = np.inf;
            minIndex = -1
            for j in range(k):
                distJI = np.linalg.norm(np.array(centroids[j, :]) - np.array(dataSet[i, :]))
                if distJI < minDist:
                    minDist = distJI;
                    minIndex = j
            if clusterAssment[i, 0] != minIndex: clusterChanged = True
            clusterAssment[i, :] = minIndex, minDist ** 2
            print("第%d次迭代后%d个质心的坐标:\n%s" % (iterIndex, k, centroids))  # 第一次迭代的质心坐标就是初始的质心坐标
            iterIndex += 1
        for cent in range(k):
            ptsInClust = dataSet[np.nonzero(clusterAssment[:, 0].A == cent)[0]]  # get all the point in this cluster
            centroids[cent, :] = np.mean(ptsInClust, axis=0)
    iter = (iterIndex - 1) / dataSet.shape[0]
    return centroids, clusterAssment, iter

其中最重要的函数即寻找质心的函数kpp_centers(data_set, k)。这个 Python 函数 kpp_centers 实现了 k-means++ 算法中的质心初始化步骤。k-means++ 是一种用于 k-means 聚类算法的改进方法，它能够提高聚类的质量并减少迭代次数。

函数接受两个参数：

• data_set: 包含数据点的 NumPy 矩阵。
• k: 需要初始化的质心数量。

函数的主要逻辑如下：

1. 转换数据集:

• 使用 np.matrix.tolist(data_set) 将输入的 NumPy 矩阵转换为列表形式，以便于后续处理。

• 创建一个空列表 cluster_centers 用于存储选中的质心。
• 从数据集中随机选择一个数据点作为第一个质心，并将其添加到 cluster_centers 列表中。

• 初始化一个长度与数据集相同且所有元素均为 0 的列表 d，用于存储每个数据点到最近质心的距离。
• 使用循环遍历数据集中的每个数据点，并调用 get_closest_dist(point, cluster_centers) 函数来计算距离。
• 这里假设 get_closest_dist 函数已经定义好，它接收一个数据点和质心列表，返回该点到这些质心中最近的那个质心的距离。

• 使用循环选择剩余的 k-1 个质心。
• 对于每个可能的质心，根据其到当前已选质心的距离来确定其被选中的概率。这里使用的是轮盘赌选择法。
• 计算 d 中所有距离的总和 total。
• 生成一个介于 0 和 total 之间的随机数，用于确定下一个质心。
• 通过减去每个数据点的距离值 di 并检查结果是否大于 0 来确定下一个质心。当结果小于等于 0 时，当前数据点就被选作下一个质心。

• 最后，将 cluster_centers 列表转换回 NumPy 矩阵形式并返回。

这个函数实现了一个简单而有效的质心初始化过程，使得初始质心能够在数据空间中分散开来，从而避免了 k-means 算法对初始质心的选择过于敏感的问题。

通过一个简单的例子来说明 total *= random.random() 在 k-means++ 质心初始化中的作用。假设我们有一个二维数据集，其中包含以下五个数据点：

• P1(1, 1)
• P2(2, 2)
• P3(10, 10)
• P4(11, 11)
• P5(12, 12)

我们的目标是使用 k-means 算法将这些点聚类为两个簇。为了开始这个过程，我们需要初始化两个质心。k-means++ 提供了一种方法来选择初始质心，使得它们尽可能地分散。

1. 随机选择第一个质心:

• 我们随机选择一个数据点作为第一个质心 C1。假设我们选择了 P1(1, 1) 作为 C1。

• 对于剩下的四个点 (P2, P3, P4, P5)，我们需要计算它们与 C1 的欧几里得距离。
• d(P2, C1) = √((2-1)² + (2-1)²) = √2 ≈ 1.41
• d(P3, C1) = √((10-1)² + (10-1)²) = √162 ≈ 12.73
• d(P4, C1) = √((11-1)² + (11-1)²) = √200 ≈ 14.14
• d(P5, C1) = √((12-1)² + (12-1)²) = √242 ≈ 15.55

• 将所有距离加起来得到总距离 total。
• total = d(P2, C1) + d(P3, C1) + d(P4, C    - total ≈ 1.41 + 12.73 + 14.14 + 15.55 ≈ 43.83

• 假设 random.random() 返回了一个介于 0 和 1 之间的随机数，比如 0.6。
• total *= 0.6
• 新的 total ≈ 43.83 * 0.6 ≈ 26.3

• 我们需要从剩下的点中选择一个新的质心。我们将从 total 中减去每个点的距离，直到 total 变为负数或 0。
• total -= d(P2, C1) ≈ 26.3 - 1.41 ≈ 24.89
• total -= d(P3, C1) ≈ 24.89 - 12.73 ≈ 12.16
• total -= d(P4, C1) ≈ 12.16 - 14.14 ≈ -1.98
• 当 total 变为负数时，我们停止，并选择最后一个减去距离的点作为新的质心。在这种情况下，我们选择了 P4(11, 11) 作为第二个质心 C2。

通过这种方式，k-means++ 确保了初始质心之间的距离较大，从而可以更好地代表数据集的不同部分。这种方法可以显著减少 k-means 算法陷入局部最优解的风险。