2024-2025学年红桥区九年级上期末数学试卷分析
（一）重点考查内容
1.代数部分：方程（一元二次方程的解法、根与系数关系）、函数（二次函数的性质、图象平移、在实际问题中的应用）。
2.几何部分：图形的变换（旋转、对称）、圆（切线、圆周角、弦长、内接四边形）、多边形（矩形）。
3.概率统计部分：简单概率计算和用频率估计概率的理解。
总体来看，红桥区今年的期末考试题比去年的难度有所提升，与南开的期末考试卷难度不相上下。本套试卷的运算量比往年有所降低，思维含量有所提升，唯一缺憾就是创新性不足。其中几道重点题目得分还是有难度的，这套卷子上110分，学生的数学能力已经比较强悍。
（二）各题型考点分布
一、选择题
第1题- 中心对称图形的判断。
第2题- 频率估计概率的理解。
第3题- 用配方法解一元二次方程。
第4题- 一元二次方程的求解。
第5题- 抛物线的平移规律。
第6题- 抛物线对称轴公式的应用。
第7题- 圆中相交弦所成角的计算。
第8题- 圆的切线性质及圆周角定理的应用。
第9题- 二次函数图象上点的坐标特征及函数值大小比较。
第10题- 垂径定理在实际测量圆形工件半径中的应用。
第11题- 三角形旋转的性质及角度关系。
第12题- 抛物线对称轴、与坐标轴交点及相关不等式的综合应用。
二、填空题
第13题- 简单概率计算（摸球问题）。
第14题- 一元二次方程根与系数的关系应用。
第15题- 抛物线与x轴交点个数与判别式的关系。
第16题- 圆内接四边形的性质（对角互补）。
第17题- 二次函数在给定区间内的最值。
第18题- 网格中圆周角的计算及利用轴对称求最短路径（确定点P位置）。
三、解答题
第19题- 一元二次方程的求解（移项后用公式法或因式分解法）。
第20题- 放回抽样的概率计算（两次取球标号相同及标号和小于4的概率，用列表法或树状图法）。
第21题- 圆内接四边形及圆中相关角度、弦长计算（利用圆周角定理、垂径定理等，结合三角函数或勾股定理求解）。
第22题- 圆的切线性质及等腰三角形性质应用（计算角度）。
第23题- 二次函数在实际问题中的应用（求抛物线顶点坐标、经过特定点时的函数值及函数值最大值）。
第24题- 矩形旋转后的坐标计算、线段长度计算及线段中点相关问题（分情况讨论旋转角，利用旋转性质和几何图形性质求解）。
第25题- 抛物线与坐标轴交点、顶点相关问题及线段和最小值问题（涉及抛物线解析式确定、角度关系、线段最值原理等）。
（三）重点题目分析
第12题考查二次函数系数与图象结论辨析，传统的二次函数考法。解题的知识和方法都是很成熟的，难度还是比较大。尤其是第4个结论，以往考查平行x轴直线与抛物线交点，这道题考的是斜向一次函数与二次函数交点问题，方法一致，考查学生的应变能力。还是一道不错的题目。
第17题考查二次函数区间最值，以往在综合题目中，有过考查，直接以填空题考查的不多见。难度中等，需要结合开口方向和对称轴位置，根据增减性就行解题。
第18题考查轴对称最值网格作图问题，关键是作出点B关于AC的对称点，再联圆心，作对称应该结合直径所对圆周角为直角和定比分点，即可作出对称点。这道题的解题思路比较好像，但由于点B和点C不是格点，所以难度陡然提升。
第24题考查矩形旋转，以前各区的期末和模拟都考过类型题目，难度中等。前两问常规求值，第三问求线段CM范围，就是求CM的最值，属于直线型瓜豆原理问题，先确定点M的运动轨迹为圆，再应用点圆最值，就可以求出CM的最值。学习过瓜豆原理的同学，做起来很轻松，没学过的同学可以找找我发的瓜豆原理解题方法微课，学习一下。
第25题考查二次函数与将军饮马问题综合，其中第②问研究角度问题，2024年红桥区模拟也考过角度问题，红桥的同学需要注意角度的处理方法。第2问解析式含参，难度提升很多，而且属于将军饮马变式最值问题。单独拿出含参问题或将军饮马变式问题，现阶段，对于很多学生都是难点。所以本题难度还是比较难的。
