24 高考新定义之数论解法（MST 供稿）
24 高考题，如果追本溯源，其本质就是数论+组合，这种类型将会在我们接下来多年的高考 19 题出现，高中数学就是代数+几何+数论+组合，我们不得不学一些数论和组合的知识。
(2024 新课标I卷) 设 为正整数，数列 是公差不为 0 的等差数列，若从中删去两项 和 后剩余的 项可被平均分为 组，且每组的 4 个数都能构成等差数列，则称数列 是 - 可分数列.
(1) 写出所有的 ，，使数列 是 - 可分数列；
(2) 当 时，证明：数列 是 - 可分数列；
(3) 从 中一次任取两个数 和 ，记数列 是 - 可分数列的概率为，证明：.
【解析】
先来看看分析过程，文末还有标准的考试书写过程供大家参考
(1) 当 取 时，可以分为 ，，， 一组公差为 的等差数列，
当 取 时，可以分为 ，，， 一组公差为 的等差数列，
当 取 时，可以分为 ，，， 一组公差为 的等差数列，
所以 可以为 ，，；
(2) 由于 2 是偶数，13 是奇数，且在 时属于前后对称，即拿走了第二个数和倒数第二个数，中间 10 个数和首尾两个数成等差数列，
当 时，可以理解为在 以后，后续的连续四个数一组，分别为 、、、 成等差数列；
① 当 时，，，，，，，，，，，，，，，可以分为 ，，，；，，，；，，， 三组公差为 的等差数列，所以 时符合题意；
② 当 时，数列 ，，， 去掉 和 后，前三组还按照 时的分法，后面的每四个相邻的项分为一组，即 ，，，；；，，，，每一组都能构成等差数列，
所以数列 ，，， 是 - 可分数列；
(3) 记 - 可分数列的 的组数为 ，记从 中一次任取两个数 和 组数为 种，，
当 时，；
当 ， 可为 、、（连续组可分），、、（首尾和中间均保留 4 的倍数），（首尾留 1，构造两组公差为 等差数列），
此时 ；
当 ， 可为 、、、（连续组可分），、、、、、（首尾和中间均保留 4 的倍数），、、（首尾留 ），
此时有；
我们发现：
1). 当 ，，可以将此数列分成一系列连续的等差数列，
所以可以进行 分类，也可以利用组合直接求；
法一（分类）：
① 当 时，相当于捆绑，从 组数中选出一个，共有 种分法；
② 当 时，相当于从 组选出一个 ，再从剩下 种选出一个 ，由于 ，属于组合，故共有 种分法；
法二（整体分析）：
当 时，
当 ，则 有 共有 种情况，
当 ，则 有 共有 种情况，
故当 、 时形成一个等差数列列求和，
共有 种情况（分法）；
2). 当 、，由于 才出现这种分法，即 ，
① 当 时，将 、、、、 分为
两组等差（），公差为 ，
② 当 时，将 、、、、 分为
三组等差（），公差为 ，
所以当 时，
由于 ，
故这 项连续的等差数列 、、、、 能分为 组公差为 的等差数列，在 、、、、 以外的都是 4 个连续项为一组的等差数列，
故当 、 时，先固定 ，
由于 ，所以 ，能对上的 共有 种情况，
当 ，能对上的 共有 种情况，
以此类推，故共有 种分法；
综上，
，，.
（考试书写版）
【解析】
(1) 可以为 ，，；
(2)
① 当 时，，，，，，，，，，，，，，可以分为 ，，，；，，，；，，， 三组公差为 的等差数列，所以 时符合题意；
② 当 时，数列 ，，， 去掉 和 后，前三组还按照 时的分法，后面的每四个相邻的项分为一组，即 ，，，；；，，，，每一组都能构成等差数列，
所以数列 ，，， 是 - 可分数列；
(3)
记 - 可分数列的 的组数为 ，记从 中一次任取两个数 和 组数为 种，，
当 时，；
当 ， 可为 、、（连续组可分），、、（首尾和中间均保留 4 的倍数），（首尾留 1，构造两组公差为 等差数列），
此时 ；
当 ，根据前面列举可知，
分为 且 和 且 两种情况，
1). 当 时，，
则 有 共有 种情况，
当 ，则 有 共有 种情况，
故当 、 时形成一个等差数列列求和，
共有 种情况；
2). 当 、，
由于 才出现这种分法，即 ，
① 当 时，将 、、、、 分为
两组等差（），公差为 ，
② 当 时，将 、、、、 分为
组公差为 等差数列，（由于 ），在 、、、、 以外的都是 4 个连续项为一组的等差数列，
故当 、 时，先固定 ，
由于 ，所以 ，能对上的 共有 种情况，
当 ，能对上的 共有 种情况，
以此类推，故共有 种分法；
综上，，.
如果说本题涉及的数列知识背景，那就有另一个绝招——数学归纳法，明天将公布数论知识以外的数学归纳法解析！
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