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🍓 课程推荐：2024 机器学习与因果推断专题
主讲老师：司继春 (上海对外经贸大学) ；张宏亮（浙江大学）
课程时间：2024 年 11 月 9-10 日 ；16-17日
课程咨询：王老师 18903405450（微信）
课程特色 · 2024机器学习与因果推断：
懂原理、会应用。本次课程邀请了两位老师合作讲授，目的在于最大限度地实现理论与应用的有机结合。为期四天的课程，分成两个部分：第一部分讲解常用的机器学习算法和适用条件，以及文本分析和大语言模型；第二部分通过精讲 4-6 篇发表于 Top 期刊的论文，帮助大家理解各类机器学习算法的应用场景，以及它们与传统因果推断方法的巧妙结合。 以 Top 期刊论文为范例。目前多数人的困惑是不清楚如何将传统因果推断方法与机器学习结合起来。事实上，即便是 MIT 和 Harvard 的大牛们也都在「摸着石头过河」。为此，通过论文精讲和复现来学习这部分内容或许是目前最有效的方式了。张宏亮老师此前在浙江大学按照这一模式教授了「因果推断和机器学习」课程，效果甚佳：学生们能够逐渐建立起研究设计的理念，并在构造识别策略时适当地嵌入机器学习方法。
邮箱：杜静玄 (雪城大学)
邮箱：jdu115@syr.edu
编者按：本文主要摘译自下文，特此致谢！
Source：Borusyak K, Jaravel X, Spiess J. Revisiting event study designs: Robust and efficient estimation[J]. arXiv preprint arXiv:2108.12419, 2021. -PDF-
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目录
1. 简介
2. 现有估计存在的问题
3. 基于插补的估计法
3.1 有效性
3.2 渐进性与置信区间
3.3 平行趋势检验
4. Stata 范例
5. 相关推文
1. 简介
事件研究法 (ESA) 是一种面板中的一组单元在不同时间接受处理的 DID 设计，通常用于估计处理非随机时的处理效应，并以双向固定效应的形式进行估计：
本文采用了两个标准的 DID 假设：未经处理的潜在结果具有平行趋势的特征，且没有预期的效果。此外还有一个辅助假设：处理效果本身遵循某种被限制了异质性的模型。本文提出了一个基于插补法的估计框架，使得在满足基本假设的前提下，该估计量为有效且稳健的。作者还提供了相应的 Stata 命令 did_imputation 来实现这一估计量。
2. 现有估计存在的问题
考虑在一个有 个个体， 期的面板中，对每个个体都有一个事件开始时点 ，这个时点之后的所有时期该个体都接受了处置 且一直不变：， 是接受处理的相对时间，且允许 “从未处理组” 的存在，即 。处理组 的处理效应：。
本文的目标估计量是：
其中权重则根据感兴趣的变量而不同。研究者也许感兴趣 ATT，则此时 且 ， 代表接受处理的集合。在 中，通常感兴趣的估计量为 且 。为了识别 ，本文考虑了 3 个假设：
A1 (平行趋势)：存在非随机的 和 使得 对于所有 都满足；
A2 (无事前期望效应)：对所有 ，；
关于因果效应的辅助性假设 A3 和其等价假设 A3'，后者假设了一个处理效应的参数模型：
A3 (限制的因果效应)：对于已知的满秩 矩阵 B，；
A3' (因果效应模型)：， 为 未知参数，而 是一个已知的 矩阵。
在实际中，A3 通常较难被满足，因此会造成估计偏误。具体来说，在常见的动态交错 DID 模型中：
其中 和 为双向固定效应， 和 分别为包含的领先和滞后期期数。在该设定中，假设 1 成立，而假设 2 则允许在处理之前的 a 期存在期望效应。同时，假设 3 要求处理效应只根据 h 而不同，不随个体和期数而变化。 的 OLS 系数被解释为 h 的平均因果效应，并未设定特别的权重。当 a=b=0 时，动态模型变为静态：
此时 A3 变得更加严格，其要求所有处理效应都一样。实际中，这些严格的假设通常难以满足，这会导致 OLS 估计产生问题。首先，当 “从未处理组” 不存在时， 路径的系数无法使用点估计得出。
其次，A3 会导致静态 TWFE 估计量无法获得异质性处理效应的合理权重，尤其是在对长期因果效应的估计中，其关键权重甚至可能为负数。在动态模型中，OLS 估计量能估计出一部分 的系数，但对于较长的 h，仅在 A1 和 A2 下无法估计出平均处理效应。除非 A3 先天满足，否则得出的 OLS 估计量不可信，这会导致 “虚假识别” 问题 (spurious identification)。
3. 基于插补的估计法
首先，A1 可以被放松为 A1'：(1) 允许个体固定效应和一些与处理无关的协变量交互；(2) 允许时变变量的存在。令 ，则此时在改良版 A1，以及 A2 和 A3 下：
3.1 有效性
在满足 A1-A3 和额外的同方差假设下，可通过：先估计 (4) 得到 ，再估计出处理效应的向量 ，最后得到目标估计 。仅满足 A1-A3 的条件下，该估计量就是无偏的。
在未限制异质处理效应的特殊情形下， 具有 “插补” 型表达式：即用未处理的观测值 去估计 模型，然后将其外推至经过处理的个体 来获得 ，任意权重都使得该估计量是有效的。
该 “插补” 形式不仅比 (4) 中的 OLS 估计量容易计算，还更自然地将平行趋势假设与无期望效应联系起来。事实上，任何 的线性无偏估计量都可以被表示为插补形式，但其用于插补 的方法可能不再有效。
3.2 渐进性与置信区间
本节中作者将同方差假定放松为聚类标准误，并证明了当权重向量满足一些条件时，可以确保估计量的一致性、渐进正态且可得到合理的置信区间。首先，在权重 v 满足赫芬达尔条件时：
可以证明 具有一致性。加上权重的高阶矩条件平衡性与极限下界假设，可以证明其渐进正态性。具体的证明可以参见作者的原文及附录。
3.3 平行趋势检验
通常有两个方法用于检验平行趋势。传统上，可以估计包含滞后期与领先期的动态模型，之后检验领先期的系数是否为 0。新方法则假设，对于所有最终受处理的个体，在 k 期之前处理就已发生，之后估计这一 “处理” 发生之后 期的平均处理效应。
本文的插补法可使用第二种方法检验。然而，这两种方法都有缺陷：由于传统的检验法用全部样本 (包括处理的观测)，因此对违反隐含假设 3——每个阶段接受处理的个体的处理效应都是同质的——十分敏感。新检验法则未对估计，检验和精准确定估计对象之间做出区分，因此导致了一定程度的功效丧失。作者提出了检验假设 1 的新方法：
为 选择一个比 A1' 更为丰富的模型： 仅对未受处理的个体 使用 OLS 从而估计 ； 运用 F 检验测验 。
作者证明了这一检验的优势：若通过检验，则对于 的推断在不违反 A1'、A2 以及同方差假定下仍为渐进合理的。
4. Stata 范例
*命令安装
cnssc install did_imputation, replace
did_imputation 的基本使用方法为：
*命令语法
did_imputation Y i t Ei [if] [in] [estimation weights] [, options]
其中 Y 为结果变量，i 是观测的唯一识别符，t 为时期，Ei 为个体接受处理的时间 (缺失值则代表从未处理组)。我们首先生成一个具有 300 个个体，观察期 15 的面板：
. clear all
. timer clear
. set seed 10
. global T = 15
. global I = 300
. set obs `=$I*$T'
. gen i = int((_n-1)/$T)+1
. gen t = mod((_n-1),$T)+1
. tsset i t
接下来为个体随机生成首次接受处理的时期 ():
· gen Ei = ceil(runiform()*7)+$T -6 if t==1
· bys i (t): replace Ei = Ei[1]
· gen K = t-Ei
· gen D = K>=0 & Ei!=.
其中 为经过处理后的相对时间， 为处理哑变量。然后我们可以基于平行趋势与异质性处理效应而产生结果变量 ：
· gen tau = cond(D==1, (t-12.5), 0)
· gen eps = rnormal()
· gen Y = i + 3*t + tau*D + eps
最后我们使用命令 did_imputation 估计处理效应，并使用 event_plot 命令进行绘图：
· did_imputation Y i t Ei, allhorizons pretrend(5)
Number of obs = 4,500
------------------------------------------------------------------------------
Y | Coef. Std. Err. z P>|z| [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
tau0 | .0854326 .0797319 1.07 0.284 -.070839 .2417042
tau1 | .6695374 .0837474 7.99 0.000 .5053955 .8336792
tau2 | 1.083881 .1012331 10.71 0.000 .8854674 1.282294
tau3 | 1.604685 .1332701 12.04 0.000 1.34348 1.865889
tau4 | 1.918663 .1531139 12.53 0.000 1.618565 2.21876
tau5 | 2.651424 .2432302 10.90 0.000 2.174701 3.128146
pre1 | -.0890417 .1243881 -0.72 0.474 -.3328379 .1547546
pre2 | -.0223983 .1062934 -0.21 0.833 -.2307295 .1859329
pre3 | -.0667799 .1004296 -0.66 0.506 -.2636183 .1300586
pre4 | -.0144644 .087886 -0.16 0.869 -.1867178 .1577889
pre5 | -.0334828 .0714538 -0.47 0.639 -.1735297 .1065641
------------------------------------------------------------------------------
可以看出，该数据集满足平行趋势假设，而处理效应也是异质的。我们还可以使用 event_plot 命令将不同时期的处理效应的系数都画出来，使得处理效应的变化更加直观：
. event_plot, default_look graph_opt(xtitle("Periods since the event") xlabel(-5(1)5) ///
> ytitle("Average causal effect") title("Borusyak et al. (2021) imputation estimator"))
5. 相关推文
Note：产生如下推文列表的 Stata 命令为：
lianxh 事件研究, m
安装最新版lianxh命令：
ssc install lianxh, replace
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