题目0：
已知函数T(n)的递推关系式为：
证明该函数的时间复杂度为。
证明
所以，函数的时间复杂度为。
题目一：
证明在一个有个顶点的无向完全图中，边的数量为。
证明：
对于一个有个顶点的无向完全图，每个顶点都与其他个顶点相连。
所以每个顶点有条边与之关联。
但每条边被两个顶点共享，所以总的边数为。
题目二：
证明在一个有个顶点的二叉树中，若叶子节点数为，度为的节点数为，则。
证明：
设度为的节点数为。
因为二叉树中边的数量等于节点数减一，即，同时边的数量也等于度为的节点数乘以加上度为的节点数乘以，即。
而总的节点数，将其代入可得，化简后得到。
题目三：
证明一个有向图是强连通的当且仅当对于任意两个不同的顶点和，都存在从到的路径和从到的路径。
证明：
必要性：
若有向图是强连通的，那么对于任意两个不同的顶点和，必然存在从到的路径，因为强连通意味着任意两个顶点之间都有路径可达。同理，也存在从到的路径。
充分性：
若对于任意两个不同的顶点和，都存在从到的路径和从到的路径，那么对于任意一对顶点都能互相到达，这就满足强连通的定义。
题目四：
证明在一个有个顶点的无向树中，添加一条边会形成一个唯一的圈。
证明：
由于树是无环的连通图，当添加一条边时，必然会连接两个原本不直接相连的顶点。
这样就会形成一个路径，而这个路径加上新添加的边就构成了一个圈。
因为树的性质决定了任意两个顶点之间只有一条路径，所以添加一条边后形成的圈是唯一的。
题目五：
证明在一个有个顶点的无向连通图中，如果边的数量等于，那么这个图是一棵树。
证明：
首先，已知图是无向连通图。
若边的数量等于，根据树的定义，有个顶点的树恰好有条边。
假设这个图不是树，那么它必然存在环或者不连通。但如果有环，那么边的数量会大于；如果不连通，那么边的数量也会小于。这与已知条件矛盾，所以这个图是一棵树。
题目六：
证明在一个有向无环图（DAG）中，存在一个拓扑排序。
证明：
因为有向无环图中不存在环，所以必然存在一些入度为的顶点。
选择一个入度为的顶点，将其加入拓扑排序序列中，并从图中删除该顶点及其发出的边。
重复这个过程，每次都选择一个入度为的顶点加入序列，直到所有顶点都被加入序列。
由于图是有向无环图，所以这个过程一定可以完成，从而存在一个拓扑排序。
题目七：
证明在一个二叉搜索树中，中序遍历得到的序列是一个有序序列。
证明：
二叉搜索树的定义是对于任意一个节点，其左子树中的所有节点的值都小于该节点的值，其右子树中的所有节点的值都大于该节点的值。
中序遍历的顺序是先遍历左子树，然后访问根节点，最后遍历右子树。
由于左子树中的值都小于根节点的值，右子树中的值都大于根节点的值，并且左子树和右子树也都是二叉搜索树，所以中序遍历得到的序列是一个有序序列。
题目八：
证明在一个有个顶点的无向图中，如果每个顶点的度数都至少为，那么这个图是连通的。
证明：
假设这个图不连通，那么它可以分为多个连通分量。
考虑其中一个连通分量，设其顶点数为，那么这个连通分量中每个顶点的度数最多为。
因为整个图有个顶点，所以。
但题目中每个顶点的度数都至少为，这与假设矛盾，所以这个图是连通的。
题目九：
证明在一个满二叉树中，叶子节点的数量为，其中为总节点数。
证明：
设满二叉树的高度为，根据满二叉树的性质，总节点数。
满二叉树的叶子节点数量为。
由可得，即叶子节点的数量为。
题目十：
证明在一个有向图中，如果存在一个顶点，对于任意其他顶点，都存在从到的路径，那么这个有向图存在一个有向生成树。
证明：
从顶点出发，对于任意一个顶点，如果存在从到的路径，那么在这些路径中选择一条最短的路径。
这些最短路径构成的子图就是一个有向生成树。
因为对于任意顶点，都有从到的路径，所以这个子图包含了所有的顶点，并且是一个有向树，即有向生成树。
