Higher-order interactions shape collective dynamics differently in hypergraphs and simplicial complexes
高阶相互作用在超图和单纯复形中以不同的方式塑造集体动力学
https://www.nature.com/articles/s41467-023-37190-9
高阶网络已经成为一个强大的框架，用于模拟复杂系统及其集体行为。它们超越了成对的相互作用，通过单纯形复合体和超图等表示方法编码任意数量单元之间的结构化关系。迄今为止，选择单纯形复合体和超图通常是由技术便利性驱动的。在这里，我们以同步为例，展示了高阶相互作用的效应在很大程度上取决于表示方式。特别是，高阶相互作用通常在超图中增强同步，但在单纯形复合体中则有相反的效应。我们通过将不同超图结构的同步能力与（广义的）度异质性和跨阶度相关性联系起来，提供了理论上的见解，这些因素反过来又影响从传染到扩散等一系列动态过程。我们的发现揭示了高阶表示对集体动态的隐藏影响，强调了在选择研究具有非成对相互作用的系统的表示时的重要性。
在过去的三十年中，网络已被成功地用来模拟具有许多相互作用单元的复杂系统。在它们的传统形式中，网络仅编码成对的相互作用1,2。然而，越来越多的证据表明，一个节点可能经常以非线性方式受到多个其他节点的影响，而且这种高阶相互作用不能分解成成对的相互作用3-7。
可以在包括人类动态8、合作9、生态系统10和大脑11,12在内的广泛领域中找到示例。高阶相互作用不仅影响这些系统的结构13-21，它们还经常重塑它们的集体动态22-27。事实上，已经显示它们在包括扩散29,30、共识31,32、传播33-35和演化36在内的各种动态过程中诱发了新的集体现象，如爆炸性转变28。
尽管最近理论上有很多进步37-42，但迄今为止，对于如何最好地表示高阶相互作用43，人们关注甚少。有两个数学框架最常用于模拟具有高阶相互作用的系统：超图44和小胞复合体45。在大多数情况下，这两种表示可以互换使用，选择其中一种或另一种似乎往往是出于技术便利的考虑。例如，拓扑数据分析46和Hodge分解47需要小胞复合体。在这里，我们提出问题：选择一种高阶表示而不是另一种是否会有重大影响集体动态的隐藏后果？
鉴于目前可靠的现实世界超图数据仍然稀缺（大多数集中在社会系统中），特别是对于像大脑这样的复杂动态系统，回答这个问题很重要。对于这些系统，为了研究高阶相互作用的影响，我们必须从成对网络的数据开始，并推断潜在的非成对连接48。一种流行的实践是假设成对和非成对相互作用之间的同质性（例如，通过将三体相互作用附加到网络中的闭三角），有效地选择小胞复合体作为高阶表示。然而，如果以不同的方式添加超边可以根本改变集体动态，那么从研究单一高阶表示得出的结论可能是误导性的。
为了探讨这个问题，我们关注同步——这是在相互作用实体群体中出现秩序的一个典型过程。它在许多自然和人造系统的功能中起着基础作用49,50，从生物钟51和血管网络52到大脑53。非成对相互作用自然地出现在同步中，来自耦合振荡器群体的相位降低54-58。关于这里的高阶相互作用的一个关键问题是：它们何时促进同步？
最近，已经观察到超边增强同步适用于广泛的节点动态39,41,59-61。因此，很自然地推测非成对相互作用比成对相互作用更有效地同步振荡器。鉴于高阶相互作用使更多节点能够同时交换信息，从而允许更有效的通信，并最终导致增强的同步性能，这在物理上似乎是合理的。
在这篇文章中，我们展示了高阶相互作用促进或阻碍同步在很大程度上取决于表示方式。特别是，通过一种富者愈富效应，高阶相互作用在小胞复合体中一贯破坏同步。另一方面，高阶相互作用倾向于稳定包括随机超图和从合成网络以及大脑连接体数据构建的半结构化超图在内的广泛类别的超图中的同步。为表示依赖的同步性能提供理论基础，我们将两种相反趋势联系到两种表示下不同的高阶度异质性。此外，我们研究了不同家族超图的跨阶度相关性的影响。由于度异质性和度相关性不仅在同步中起关键作用，也在扩散和传染等其他动态过程中起关键作用，这里发现的高阶表示的效应可能在耦合振荡器之外的复杂系统中至关重要。
结果
高阶相互作用在单纯形复合体中阻碍同步，但在随机超图中促进同步
为了从节点动态中分离出高阶相互作用的效果，我们考虑一个简单的系统，由n个相同的相位振荡器39组成，它们的状态θ = (θ1, ⋯ , θn) 根据以下方式演变：
然后我们对多阶拉普拉斯矩阵的特征值进行排序：。方程（4）的Lyapunov指数就是这些特征值的相反数。我们设置
，以便
。第二个Lyapunov指数
决定了同步的稳定性：
表示稳定的同步，绝对值越大表示从扰动中恢复得更快。
我们首先通过数值方式展示α（分配给二阶相互作用的耦合强度比例）对λ2的影响。通过考虑图1中展示的两类结构：单纯形复合体和随机超图，我们发现这两种规范构造表现出相反的趋势。
随机超图的构造由连线概率pd决定：以概率pd在n个节点中的任何d + 1个节点之间创建一个d-超边64。这里，我们专注于d到2，因此随机超图是通过指定p1 = p和p2 = p△来构建的。单纯形复合体是超图的特殊情况，还有额外的要求，即如果存在二阶相互作用（i, j, k），那么三个相应的一阶相互作用（i, j），（i, k）和（j, k）也必须存在。我们首先通过连线概率p生成一个Erdös-Rényi图，然后在图中的每个三节点团中添加一个三体相互作用（也称为标志复合体）。
图1显示，在单纯形复合体中，高阶相互作用阻碍了同步，但在随机超图中却改善了同步。
当我们控制单纯形复合体和随机超图具有相同数量的连接时（见补充图S1），以及通过在随机超图中填充空白三角形获得的单纯形复合体时（见补充图S2），我们的发现也成立。我们注意到，不是在图中填充每一个成对的三角形，而是可以以一定的概率填充三角形。只要概率不是太接近零，论文中的结果保持不变（见补充图S3）。人们也可以从不同于Erdös-Rényi图的结构构建单纯形复合体，例如小世界网络65。上述结果对于不同的网络结构选择是稳健的。在补充图S4和S5中，我们展示了从更结构化的网络构建的单纯形复合体的类似结果，包括小世界和无标度网络。
将高阶表示、度异质性和同步性能联系起来
k(2)对k(1)的二次依赖性为富者愈富效应提供了基础。为了进一步量化当从一阶相互作用过渡到二阶相互作用时度异质性的变化，我们计算了以下异质性比率：
如果 r > 1，这意味着在二单纯形之间的异质性比在成对网络中更高，这转化为在存在高阶相互作用时的更差的同步稳定性。
将方程 (6) 代入方程 (7)，我们得到
这表明，对于从Erdös-Rényi图构建的单纯复形，二单纯形的耦合结构总是比一单纯形的更异质。此外，成对网络越异质，一阶和二阶耦合在异质性方面的差别就越大。具体来说，因为Erdös-Rényi图在较小的p值时更异质，所以异质性比率r在较小的p值时变得更大。
图3a显示了n=300和不同p值下三个单纯复形的k(1)与k(2)的关系。k(1)和k(2)之间的关系很好地被方程(6)预测。异质性比率r标记在每个数据集旁边，并紧密遵循方程(8)。图3b显示了n=300时r作为p的函数。误差条表示从1000个样本估计的标准差。数据证实了我们的预测，即对于所有考虑的单纯复形，r > 1，并且当成对连接稀疏时，一阶和二阶梯度异质性之间的差异最为明显。
它通过基于度数的界限控制λ2。在这里，平均度数的期望值分别由E[ k(1) ] = pn和E[ k(2) ] = pN给出。
现在，一阶梯度异质性和二阶梯度异质性如何相互比较呢？使用方程(9)到(11)，我们可以看到
“首先，注意到对于几乎所有的 n，，这意味着在存在高阶交互的情况下，同步稳定性更好。缩放也表明，随着 n 的增加，度异质性的差异变得更加明显。理论下限[公式（13）]与模拟结果（图4）进行了比较，显示了良好的一致性。直观上，（归一化的）二阶拉普拉斯算子相比同样 p 的一阶拉普拉斯算子，具有更窄的谱，因为对于较大的 n，二项分布更加集中（即，与 k(1) 相比，k(2) 的平均度相对波动要小得多）。”
探索超图空间：使用合成网络和大脑网络
到目前为止，我们主要关注单纯复形和随机超图，它们提供了分析洞察，说明了高阶表示如何影响集体动态。然而，超图空间的大部分被非单纯复形或随机超图的超图所占据。那里的高阶相互作用有什么影响呢？为了更彻底地探索超图空间，我们首先从合成网络和真实的大脑网络构建单纯复形。然后，我们研究这些结构的同步稳定性，因为它们越来越远离单纯复形的状态。我们发现，随着与单纯复形的距离增加，高阶相互作用迅速从阻碍同步转变为促进同步。这与上面为单纯复形和随机超图获得的分析结果相呼应，并支持我们的结论，即高阶相互作用在广泛的（包括结构化和随机的）超图类别中增强同步，除非它们接近于单纯复形。
具体来说，我们考虑了来自Neurodata.io的动物连接组数据，该数据包括不同大脑区域和不同动物物种的神经网络。我们选择大脑网络，因为已经证明非成对相互作用和同步动态在大脑中都很重要。为了计算效率，我们选择了六个网络，涵盖三种不同的物种（蠕虫、猴子和猫），这些网络既不过于密集也不过于稀疏。具体来说，对于每个大脑网络，我们首先通过填充所有3-团（即闭合的三角形）来构建单纯复形。实际上，并非所有3-团都意味着存在三体相互作用，也并非所有三体相互作用都位于3-团内。因此，我们继续将每个2-单纯形随机地洗牌到超图中的随机位置，概率为ps。这使我们能够探索超出单纯复形和随机超图的超图结构，ps也作为超图结构与原始单纯复形之间距离的代理。
我们还发现，从合成网络（包括无标度网络和小世界网络）构建的超图中得到了类似的结果，见补充图S6和S7，以及现实世界中的超图，见补充图S8。补充图S6和S7中值得注意的另一点是，只要网络不太稀疏或太密集，改变网络密度主要会将所有曲线一起在垂直方向上移动，而不会影响从超边阻碍同步到超边增强同步的过渡。”
程度相关性的作用
跨阶度相关性，定义为每个阶次上的度向量之间的相关性，，已被证明会影响流行病传播和同步性，它可以促进双稳态和滞后现象的出现。由于包含条件的作用，在单纯复形中，度相关性很大且为正，而在随机超图中则接近于零。这里，我们研究跨阶度相关性对同步的影响，以更全面地说明为何高阶表示至关重要。
为了将度相关性与度异质性的影响分开，我们提出了一种方法，通过固定后者来改变前者。首先，从一个单纯复形开始，我们选择两个节点：一个节点 i 仅包含在少数几个三角形中，另一个节点 j 包含在多个三角形中
）。然后，通过交换节点 i 和节点 j 所在的2-单纯形来交换它们各自的 k(2) 值。超边成员交换具有预期的效果：它降低了度相关性，而不改变度异质性。交换降低相关性的程度取决于每个阶次上节点的度，特别是一个简单的方法是迭代交换那些具有最低和最高 k(2) 的节点。注意，这种交换程序不同于图5和图6中使用的洗牌程序（洗牌不保留二阶度序列）。
在图7中，我们展示了超边成员交换在猫脑网络上的结果。初始的单纯复形与图5中使用的相同，我们没有交换任何成员。然后，我们通过选择5对和15对节点并按上述方法交换它们的2-单纯形，从中构建了两个超图。结果表明，λ₂ 在 α 的中间值时降低。重要的是，端点 λ₂(α = 0) 和 λ₂(α = 1) 保持不变，因为仅存在一个阶次的交互。这些观察结果在从其他五个大脑网络（见补充图S9）和合成网络（见补充图S10）构建的超图中得到了验证。
总之，降低跨阶度相关性有助于在存在成对和非成对交互的混合情况下改善同步稳定性。这在直觉上是合理的，因为负相关性允许来自两个不同阶次交互的度异质性相互补偿并使超图结构更加均匀。”
讨论
总结来说，通过使用简单的相位振荡器，我们展示了高阶交互在广泛的超图类中促进了同步，但在单纯复形中却阻碍了同步。我们确定了高阶度异质性和度相关性是驱动这些相反趋势的潜在机制。尽管我们只考虑了二体和三体耦合，但这一框架可以自然地扩展到更大组的交互。
那么，这些在相位振荡器中学到的经验是否适用于更广泛的振荡器动力学呢？这里使用的广义拉普拉斯算子已被证明适用于任意振荡器动力学和耦合函数。此外，每个拉普拉斯算子的特征值分布包含了关于相应阶次交互同步能力的关键信息。因此，一旦不同阶次的耦合函数被适当地归一化，我们预计这些发现能够适用于超越耦合相位振荡器的系统。也就是说，对于通用的振荡器动力学，如果超边比成对交互更均匀地分布，高阶交互通常会促进同步。在未来，推广我们的结果到具有非互惠交互的系统将是有趣的方向。
最后，尽管我们这里主要关注耦合振荡器的同步，我们的结果可能对其他过程也有启示。这些过程包括扩散、传染和进化过程等，这些过程中的度异质性和度相关性起着关键作用，而单纯复形和超图之间的差异在很大程度上被视为无关紧要。总体而言，我们的结果表明，单纯复形和超图不能总是可以互换使用，未来的研究在解释结果时应考虑所选表示方式的影响。”
