Synchronization of phase oscillators on complex hypergraphs
复杂超图上相位振荡器的同步化
https://pubs.aip.org/aip/cha/article/33/3/033116/2881269
摘要
我们研究了结构化高阶交互对耦合相位振荡器集体行为的影响。通过结合超图生成模型和降维技术，我们得到了系统序参数的简化微分方程组。我们以具有大小为2（链接）和3（三角形）的超边的超图为例，说明了我们的框架。在这种情况下，我们得到了一组两个耦合的非线性代数方程，用于序参数。对于通过三角形的强耦合值，系统表现出双稳态和爆炸性同步转变。我们找到了导致双稳态的条件，并用数值模拟验证了我们的预测。我们的结果提供了一个通用框架，用于研究超图中相位振荡器的同步，并且可以扩展到具有任意大小超边、动态结构相关性和其他特征的超图。
耦合振荡器网络的同步是复杂系统中最具标志性的问题之一，它在生物学、物理学和工程学等领域都有应用。通常，振荡器之间的耦合被认为是通过成对交互来介导的。最近，受到物理学和生物学应用的启发，人们对于研究高阶交互作用，即多个振荡器之间的同时交互，对同步模式的影响产生了浓厚的兴趣。在本文中，我们研究了复杂超图上耦合相位振荡器的同步。我们使用超图生成模型，并开发了一种基于降维技术的均场分析，以获得以超图结构参数表示的同步的低维描述。我们找到了导致双稳态的超图条件。我们的结果提供了一个通用且灵活的框架，用于研究超图上的同步。
I. 引言
同步过程在许多应用中都存在。一些常见的例子包括闪烁的萤火虫群、齐声鸣叫的蟋蟀、神经网络、大脑皮层节律，以及电网动态。同步的一个典范模型是Kuramoto相位振荡器模型，其中同步是通过振荡器之间的成对交互来介导的。Kuramoto模型在复杂网络上有许多应用，并且是复杂科学中的一个核心模型。最近，受到基本原理和神经科学应用的启发，人们对于研究具有高阶交互作用的网络中的同步现象，即多个节点之间的同时交互，给予了极大的关注。在耦合相位振荡器系统中，高阶交互作用导致了一些有趣的现象，如在不同步和同步状态之间突然切换、滞后现象和双稳态。到目前为止，大多数分析结果都是针对全对全耦合情况获得的，而对于复杂交互结构对这些现象的影响还没有明确的预测方法。在本文中，我们研究了复杂超图上的相位振荡器同步，即具有高阶交互作用和非平凡连通性的网络。为此，我们将注意力限制在一个特定但灵活的超图生成模型上，该模型允许我们生成和研究具有可调特性的超图。通过结合使用这个生成模型和Ott-Antonsen方法，我们能够以超图的结构属性为依据，获得系统序参数的低维描述。我们通过两个例子来说明我们的方法：一个具有大小为2（链接）和3（三角形）交互作用的超图：一个随机超图和一个以某种方式构建的超图，使得每个节点上的链接数和三角形数是相关的。我们推导出导致同步、不同步或双稳态行为的这些超图属性的分析条件，并通过数值模拟验证了我们的结果。
本文的组织如下。在第II节中，我们介绍了我们的超图生成模型和超图上的Kuramoto模型。在第III节中，我们使用Ott-Antonsen方法和均场近似来获得局部和全局序参数的低维描述。在第IV节中，我们在两个示例超图上展示了我们的框架。在第V节中，我们讨论了我们的结果及其局限性。
II. 模型
在这一部分，我们介绍了超图生成模型和超图上的Kuramoto模型。
A. 超图模型
这个模型是潜在特征模型29到超图的自然扩展，它允许我们生成具有异质性和相关超度分布的超图。30 该模型可以轻松扩展到超边优先连接具有某些属性变量的节点的情况，例如节点社区指数、振荡器频率或其他动态参数。另一方面，生成模型无法捕捉超出对超边连接某些类型节点的偏好之外的特征。这个生成模型未能捕捉的一个重要的超图类别是单纯复形，其中三角形只连接形成具有成对连接的团的三个节点（关于单纯复形生成模型，参见例如，参考文献31-34）。
我们随后的结果将适用于由这个生成模型生成的“预期”网络。这种方法类似于基于配置模型（例如，参考文献35）或退火网络近似的网络过程分析。36-38 这种方法已成功应用于成对网络上的Kuramoto模型。39 第五节讨论了这种方法的局限性。
B. 高阶Kuramoto模型
Kuramoto相位同步模型可以推广以不同方式考虑高阶交互。在参考文献13-15中，研究了定义在单纯复形面上的相位的同步。这里，遵循参考文献10和12，我们将考虑通过超图边缘上所有相位的同时、非线性交互来介导的同步。在这种情况下，超图H上的节点n = 1, 2, ..., N的相位θn的Kuramoto模型可以推广为
其中我们假设超图由具有条目Anm和Bnjm的对称张量描述，如果节点n和m通过链接连接（未连接），则Anm = 1（0），如果节点n、j、m通过三角形连接（未连接），则Bnjm = 1（Bnjm = 0）。然而，我们这里介绍的技术可以应用于一般情况（2），只要超图是使用第II.A节讨论的生成模型生成的（或可以近似生成的）。
当相位振荡器模型从复Ginzburg–Landau方程的一阶以上展开得到时，就会出现形式如方程（3）的高阶交互作用（例如，参见参考文献7和8）。在三角形中的扩散型耦合情况已在参考文献12中针对全连接情况研究过，因此这里我们为了简单起见，专注于方程（3）中交互作用的形式。
III. 降维
在这一部分，我们使用Ott-Antonsen方法来导出动力学的低维描述，并用它来找到序参数的半解析表达式。为了实现这一点，我们使用了一个推广的假设，其中振荡器被划分为具有相同超度的子群，每个子群中的振荡器被假设为在统计上是等价的。此外，我们忽略了在三角形中连接的振荡器之间的成对相关性。这些近似在下面提出并讨论。通过这种程序，我们获得了一个以确定不同子群之间连接概率的函数为基础的低维描述，即函数a(m)。这个低维描述使我们能够找到同步的条件以及同步和不同步状态的双稳态出现的条件。
定义局部序参数
为了进一步推进，我们忽略了成对相关性，并假设联合密度可以写作
我们提供以下启发式论证来支持这一假设：首先，在完全不一致和完全同步的极限情况下，方程(9)是精确的。其次，当每个振荡器连接到许多其他振荡器时，任何特定一对振荡器之间的相关性应该是小的。因此，我们预计这种近似在接近完全同步或不一致，或者对于密集的超图时会是一个好方法。这种近似在第五部分进一步讨论。在常规Kuramoto模型中，已经研究了包含成对（以及更高）相关性的影响，参见参考文献42。
由于振荡器的守恒，f的演化受连续性方程的支配。
方程（17）以超图生成函数a(2)和a(3)为基础，提供了动力学的低维描述。尽管变量b(k)的数量可能仍然很大，但方程（17）允许我们研究系统的分叉和固定点。为此，定义全局序参数是有用的。
在R(2)的定义中的因子2是为了考虑到在计算时，每个三角形被计算了两次；请注意，在完全同步的情况下，b = 1，归一化（1）确保了R(2) = 1。
接下来，我们将展示这种形式主义在选定例子中的应用。
IV. 示例
在这一部分，我们将我们的理论知识应用于两个例子：一个类似于埃尔德什-雷尼网络的随机超图，以及一个三角形和链接度数相关的超图。
A. 随机超图
我们首先考虑埃尔德什-雷尼网络的超图类比，即一个超图，其中链接以概率p2连接每一对节点，三角形以概率p3连接每一组三个节点。这种超图的同步在参考文献10中进行了数值研究。根据节点的平均链接数和三角形数，，使用方程（1），我们得到：
B. 相关链接和三角形
现在，我们来看一个链接结构与三角形结构相关的例子。我们假设给定了一个规定的度数序列 {k1, k2, ..., kN}，并且根据Chung-Lu模型创建节点之间的链接，这样
在图5中，我们展示了通过数值求解方程(35)-(37)获得的该超图模型的相图。水平的红线表示图3中使用的参数，圆圈表示图4中使用的参数。
V. 讨论
在本文中，我们探索了具有异构结构的超图上的相位振荡器同步，将参考文献10和12中的结果推广到更复杂的情况。均场近似使我们能够预测同步的开始、同步和不一致状态之间的爆炸性转变，以及它们作为系统参数函数的双稳性。在没有大于2的超边的情况下，我们恢复了标准网络Kuramoto模型中发现的不一致和同步状态之间的平滑过渡。足够强的高阶交互作用导致不一致和同步状态的突然转变和双稳性。对于具有相关链接和三角形的超图，我们展示了同步的开始和双稳性的开始取决于度数分布的矩。对于我们考虑的超图模型，高阶交互作用只影响双稳性的开始，而不会影响同步的开始（然而，见下文对此点的额外讨论）。我们还验证了类似的结果对于具有幂律和双峰度数分布的网络也是成立的。
我们研究的主要局限性是要求超图由第II节的生成模型产生，使用均场近似，以及使用近似（9）。这里，我们指的是所有具有相同超度的节点在统计上等价的近似，而不是忽略方程（9）中的成对相关性。我们使用的生成模型假设连接一组节点的超边的存在仅取决于这些节点的一组预定数量，这可能无法捕捉一些现实世界或模型超图背后的生成机制。例如，单纯复形模型，其中三角形只连接已经形成团的三个节点的三元组（如一些研究中假设的那样），不在第II节的生成模型所涵盖的模型类别中。在这种模型中，属于同一三角形的节点状态之间的相关性可能不可忽视，因此，近似（9）可能会失效。在这种情况下，可能需要引入参考文献42中介绍的技术来考虑成对相关性。例如，对于单纯复形上的SIS模型，参考文献47发现只有在考虑成对相关性时才能正确预测流行病阈值。此外，参考文献48最近指出，强同步状态下的同步属性在单纯复形和随机超图之间有所不同。探索我们方法对于单纯复形的局限性和可能的扩展是一个有趣的问题，留给未来的研究。
尽管存在上述局限性，我们的框架构成了一种灵活的方法，用于研究复杂超图上的相位振荡器同步。虽然我们在特定情况下展示了我们的框架[按照方程（27）和（28）构建的超图]，但我们强调这里介绍的技术允许研究更广泛的系统类别。例子包括具有独立选择的链接和三角形度数分布的超图，超边度数和频率之间的相关性，以及链接和三角形度数之间不同程度的相关性。这里介绍的技术为理解超图连通性的大量结构属性对耦合振荡器同步的影响提供了一种方法。
