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🔥 内容介绍
摘要: 递归最小二乘法(RLS)作为一种经典的自适应滤波算法，在系统参数辨识中得到广泛应用。然而，标准RLS算法对初始条件敏感，且遗忘因子固定，难以适应非平稳信号。为了解决这些问题，本文研究了具有可变指数遗忘的扩展递归最小二乘法(ERLS)在存在输出噪声情况下的参数辨识问题。文章首先分析了标准RLS算法的不足，然后详细推导了可变指数遗忘机制下的ERLS算法，并讨论了其在不同噪声水平下的性能表现。最后，通过仿真实验验证了所提出算法的有效性，并与标准RLS算法进行了对比分析。
关键词: 参数辨识；扩展递归最小二乘法；可变指数遗忘；输出噪声；自适应滤波
1. 引言
在许多工程应用中，需要对未知系统的参数进行在线估计。参数辨识作为一种重要的系统辨识技术，旨在利用系统的输入输出数据来估计其参数。递归最小二乘法(RLS)作为一种经典的在线参数辨识算法，具有收敛速度快、计算量小的优点，被广泛应用于自适应控制、信号处理等领域。然而，标准RLS算法存在一些不足之处：首先，它对初始条件较为敏感，不恰当的初始值可能会导致算法收敛缓慢甚至发散；其次，标准RLS算法采用固定的遗忘因子，难以适应非平稳信号。对于非平稳过程，固定遗忘因子可能导致算法对旧数据赋予过高的权重，影响参数估计的准确性。
为了克服标准RLS算法的不足，研究者们提出了多种改进算法，其中可变遗忘因子RLS算法是较为有效的一种方法。可变遗忘因子根据数据的变化情况动态调整遗忘因子的大小，从而提高算法对非平稳信号的适应能力。本文关注的是具有可变指数遗忘机制的扩展递归最小二乘法(ERLS)在输出噪声环境下的应用。扩展递归最小二乘法通过引入辅助变量，提高了算法的鲁棒性，使其对输出噪声的敏感性降低。结合可变指数遗忘机制，ERLS算法能够更好地适应非平稳信号和输出噪声的影响。
2. 标准RLS算法及不足
标准RLS算法的基本思想是利用最小二乘准则最小化预测误差的平方和。假设系统模型为：
y(k) = θ<sup>T</sup>φ(k) + v(k)
其中，y(k)为系统的输出，φ(k)为系统的回归向量，θ为待估计的参数向量，v(k)为输出噪声。标准RLS算法的迭代公式如下：
P(k) = λ<sup>-1</sup>[P(k-1) - P(k-1)φ(k)φ<sup>T</sup>(k)P(k-1) / (λ + φ<sup>T</sup>(k)P(k-1)φ(k))]
θ(k) = θ(k-1) + P(k)φ(k)[y(k) - φ<sup>T</sup>(k)θ(k-1)]
其中，P(k)为协方差矩阵，λ为遗忘因子(0 < λ ≤ 1)。
标准RLS算法的不足主要体现在以下两个方面：
对初始条件敏感: P(0)的选取会直接影响算法的收敛速度和最终的估计精度。不恰当的P(0)可能导致算法收敛缓慢甚至发散。
固定遗忘因子: 固定遗忘因子λ无法适应非平稳信号。当系统参数发生变化时，固定的λ可能导致算法对旧数据赋予过高的权重，影响参数估计的准确性。
3. 具有可变指数遗忘的ERLS算法
为了克服标准RLS算法的不足，本文采用可变指数遗忘机制，并结合扩展递归最小二乘法，提出一种改进的ERLS算法。可变指数遗忘因子根据预测误差的大小动态调整，其表达式可以设计为：
λ(k) = λ<sub>min</sub> + (λ<sub>max</sub> - λ<sub>min</sub>)exp(-α|e(k)|<sup>β</sup>)
其中，e(k) = y(k) - φ<sup>T</sup>(k)θ(k-1) 为预测误差，λ<sub>min</sub>和λ<sub>max</sub>分别为遗忘因子的最小值和最大值，α和β为调节参数，用于控制遗忘因子的变化速度。当预测误差较大时，遗忘因子λ(k)接近λ<sub>max</sub>，快速遗忘旧数据；当预测误差较小时，遗忘因子λ(k)接近λ<sub>min</sub>，缓慢遗忘旧数据。
基于此可变遗忘因子，ERLS算法的迭代公式需要进行相应的修改，具体推导过程较为复杂，此处省略。最终得到的ERLS算法包含了对协方差矩阵P(k)和参数向量θ(k)的更新公式，这些公式考虑了可变遗忘因子λ(k)的影响，并通过辅助变量提高了对输出噪声的鲁棒性。
4. 仿真实验与结果分析
为了验证所提出算法的有效性，本文进行了仿真实验。实验中，考虑一个含有输出噪声的非平稳系统，并比较了标准RLS算法和本文提出的ERLS算法的参数估计精度和收敛速度。仿真结果表明，在存在输出噪声的情况下，本文提出的ERLS算法具有更好的参数估计精度和更快的收敛速度。特别是当系统参数发生变化时，ERLS算法能够快速跟踪参数的变化，而标准RLS算法则表现出较大的滞后。
5. 结论
本文研究了具有可变指数遗忘的ERLS算法在输出噪声环境下的参数辨识问题。通过引入可变指数遗忘机制和扩展递归最小二乘法，有效地解决了标准RLS算法对初始条件敏感和固定遗忘因子难以适应非平稳信号的问题。仿真实验验证了该算法的有效性，表明其在存在输出噪声的非平稳系统参数辨识中具有显著优势。未来的研究方向可以考虑更复杂的噪声模型和更优化的可变遗忘因子设计方法。
⛳️ 运行结果
🔗 参考文献
[1]陈雪松,杨洪耕.递归最小二乘法追踪电压闪变包络线[J].电力自动化设备, 2006, 026(006):30-32.DOI:10.3969/j.issn.1006-6047.2006.06.009.
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