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《中学数学实验教材》出版于1981年3月，由北京师范大学、中国科学院数学研究所、人民教育出版社等单位组成领导小组，根据美国加州大学伯克利分校数学系教授、数学家、数学教育家项武义的《教材设想》编写，项武义本人也数次详细修改。教材经北京、上海、天津、广州、长春等城市的多所中学试验过两届学生后才正式出版。
《中学数学实验教材》全套共六册，依次是《代数I》《几何I》《函数》《代数II》《几何II》《微积分初步》，每册分为上、下两本书。该教材最大的特点是突出数学发展史上由算数到代数、由实验几何到论证几何、由综合几何到解析几何、由常量数学到变量数学的重大转折，从人类对数理知识认识发展的角度出发编撰教材，便于读者掌握数学思想的发展脉络。
本篇推文将以《中学数学实验教材》中的导数章节为例，向大家展示这套教材设计与编写的前卫特点。教材编写组将导数编排在第六册（下册）的第二章，章节名是变率与微商。
在《普通高等数学课程标准(2017年版)》中，函数与导数占必修课程52节、选择性必修课程30节，占到了高中数学总课时数的30%以上，是高中数学教学的重中之重，这也是选择导数模块切入这套教材的原因。
本文中出现的题目难度分级如下，供不同数学水平的学生练习使用：
文末的参考文献是我使用的教材与资料的基本信息，如果你手边也有这些资料，可以和我一起翻到对应的页码。拿起笔，我们一起通过3个例题感受40多年前数学课本上导数例题与习题的超前质量。
这题不算难，这里给出求导判断极值点与多元均值不等式两种解法（当然后一种解法对本题而言并不是很严谨）。近年来，多元均值不等式可用于解决2022年全国甲卷文理23、2022年全国乙卷文理23、2023年新高考全国I卷第22题等诸多全国卷真题。
32年后，这道曾经的课本习题在高考考场上再次闪耀，登上了全国卷填空压轴的王座。
事实上，在2021年11月15日数海漫游公众号的推文【专题讲座】解决可归约为y=a·sinx+sin2x的最大值的问题 中已经探究过此类问题的一般情况，并给出了严格证明：
本题结合光学背景探究了“更一般形态”的闵可夫斯基不等式（现在的教材上也有关于这个不等式的习题，见新人教A版选择性必修一习题2.3第17题）的取等条件，解答如下：
30多年后，这道例题被收录到新人教B版的课本中，连目录都为这道精彩的题目留了一行小字，提醒读者翻阅。
现如今，许多高校会在微积分、高等数学的课程上介绍这道精彩的例题。回溯这道 “导数新题型”的鼻祖，距今已有近40年的时光了——学生与教师换了一代又一代，文印纸的材质也早已不是当年易氧化、易发黄的木浆了，教辅资料浩如烟海、模拟试题重纸累札，但没有一道导数新题型能够实现对旧教材的超越。
在写这道题的答案时，我开始回想我的初中时光——在初中的科学课上，我清楚地记得光路是沿直线传播的，而非沿时间最短的路径传播！只不过当时的科学老师要求我们把光的折射作为一种特殊的光路情景来学习，而隐藏了最本质的自然科学原理。
在中学理科甚至文科的学习中，这样的例子层出不穷。以电学为例，元件特性（欧姆定律）与元件连接特性（基尔霍夫定律，KCL、KVL）是电路原理的两块基石。但中学阶段只教欧姆定律，导致学生（包括物竞生）认为电路分析的学习很困难。事实上，基尔霍夫定律适用于一切集总参数电路。万变不离其宗，如果不去刻意地把知识藏着掖着，反而好理解了。
为了所谓的“减负”，中学阶段经常只教授子定理，不教母定理，导致子定理往往伴随诸多限制条件，反而不利于理解与掌握新知识，名义上的减负给学生造成了更大的学业压力。
本题在课本上的出处十分复杂，为方便教师备课上课，详注如下：
本题的第一问比较简单，是一道很好的结构不良试题。若选择多项式函数，则需要分类讨论一次函数与二次函数的情景；若选择指数函数，则需要用到基本不等式，但这里的基本不等式比较难注意到；若选择对数函数，容易注意基本不等式，但需要就底数与1的大小关系进行分类讨论。
通过数形结合，不难发现上述不等式（琴生不等式）的几何意义（见下图）：
本题的第二问难度很大，最简单的证明方法就是构造函数。
如果你学习过高等数学，则可以借助拉格朗日中值定理或泰勒定理等工具来解决，但解题思路不如构造函数的方法顺畅。
新人教A版数学课本教师教学用书给出了本题第(2)问不等式的推广形态：
对该不等式的证明不是必须掌握的，教师教学用书借助第一数学归纳法证明该不等式，但构造较为复杂：
这里提供一个相对而言比较容易想到的构造，如下：
30余年来，参与教材编写的中国数学教育家们一棒接一棒，终于通过5册数学课本的课后习题完整勾勒出琴生不等式的知识图景。
2012年，湖北将琴生不等式设置为理科数学的压轴题（好家伙，高考压轴题直接抄86年的数学课本啊），并为考生附上了函数构造的思路。
接下来，我们将一起迎来漫游数海的首道五星级例题（所有五星级例题都将以附加题的形式呈现）。欢迎学有余力的同学在例3的基础上，进一步探究琴生不等式与基本不等式、均值不等式链、权方和不等式之间的关系。
漫游数海的五星级例题均取材自数学课本，旨在引导学生探究数学问题、思考数学本质，在否定之否定中全面提高数学素养，因此不在正文部分提供解析。
教育部教育考试院副研究员赵轩等（2022）指出：
数学知识的学习绝不是简单的重复记忆，更重要的是在学习过程中的观察、思考、探究、总结等思维过程，因此要特别注意循序渐进，切忌盲目追求教学进度。有的学校在教学中，快速简单地讲解完知识后，一头扎进题海之中。但实际上市面上的习题集、教辅等材料质量良莠不齐，过度进行低质量的刷题训练不仅事倍功半，而且很容易磨灭学生学习数学的兴趣和意愿。
其实在新教材中每节后面都有练习题，根据内容和难度的差别还分为复习巩固、综合运用、拓广探索等部分，有许多值得推广和思考的空间，教学中应加强对教材的研究，只有研究透了才能讲深讲透。引导中学教学回归课标、回归教材、回归学校教育。
《落实双减要求 深化基础性考察——2022年新高考函数试题分析》
本篇推文中的3道例题均出自于40年前的《中学数学实验教材》，可以发现旧教材中的许多优秀例题与习题，早已被代代传承，融入了新教材与历年高考真题之中。在后面的推文中，我们将看到更多教材上的经典好题！
参考文献
中学数学实验教材编写组. 中学数学实验教材·第一册（上）[M]. 北京：北京师范大学出版社，1981(6)：1-3.
中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018，1.
中学数学实验教材编写组. 中学数学实验教材·第六册（下）[M]. 北京：北京师范大学出版社，1986(5)：128，134-135，143.
人民教育出版社课程教材研究所, 中学数学课程教材实验研究组. 普通高中课程标准实验教科书B版：数学选择性必修(第三册)[M/OL]. 106-107. https://jc.pep.com.cn [最后访问日期：2024年9月11日]
人民教育出版社课程教材研究所, 中学数学课程教材实验研究组. 普通高中课程标准实验教科书B版：数学必修一[M]. 第2版. 北京：人民教育出版社, 2007(4): 110-111.
人民教育出版社课程教材研究所, 中学数学课程教材研究开发中心. 普通高中教科书A版：数学必修(第一册)[M/OL]. 101, 237. https://jc.pep.com.cn [最后访问日期：2024年9月11日]
人民教育出版社课程教材研究所, 中学数学课程教材研究开发中心. 普通高中教科书A版：数学选择性必修(第二册)[M/OL]. 52. https://jc.pep.com.cn [最后访问日期：2024年9月11日]
人民教育出版社课程教材研究所, 中学数学课程教材实验研究组. 普通高中课程标准实验教科书B版：数学必修(第二册)[M/OL]. 14, 30. https://jc.pep.com.cn [最后访问日期：2024年9月11日]
