热应变的计算公式为：
其中 α 为热膨胀系数，；𝑇𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑒为参考温度，即在分析中设热应变为零时的温度，一般设定为环境温度。在软件中可定义 Secant Coefficient 和 Instantaneous Coefficient 两种热膨胀系数，两种热膨胀系数计算关系如图 1 所示。由图可知，定义 Instantaneous Coefficient热膨胀系数不需要参考温度（图中 T0），而定义 Secant Coefficient 热膨胀系数必须依据 T0温度
图 1 Secant Coefficient 和 Instantaneous Coefficient 对比
两者可以互相转化，例如已知输入对应温度与 Instantaneous Coefficient 热膨胀系数的关系，如图 2 所示。
图 2 Instantaneous Coefficient 参数输入
以第一段 100-300℃为例详细计算，其热膨胀系数与温度的函数为：
由于 Secant Coefficient 热膨胀系数必须依据 T0 温度，即热应变为零时的温度，设 100℃时热应变为 0，则在 100-300℃的热应变（等于 1 区面积）为：
同理换算后的 Secant Coefficient 热膨胀系数如表 1 所示。
二、优化设计
接下来，我以一个简单例子进行说明。例如某工程需要一批截面相同长度不同的梁，梁的长度为 7m和 2m，这些梁均是由 15m 的毛胚梁截取，现至少需要 7m 梁 200 根，2m 梁 700 根，求怎样对毛胚梁下料最节约材料。
解：15m的毛胚梁下料切割为2m和7m梁的方式为三种（忽略切口尺寸）：
1. 截取 7 根 2m 梁，余 1m；
2. 截取 2 根 7m 梁，余 1m；
设第一种下料方法的梁数为 x1，第二种下料方法的梁数为 x2，第三种下料方法的梁数为x3，以这三者为设计变量，则目标函数为毛胚梁总根数最小，即：
依据根数要求，可得约束条件：𝑠.𝑡.
采用 Excel 进行求解，新建一个表格，表格内容如图 3 所示，其中先预定义𝑥1，𝑥2，𝑥3均为 1，该处只是为了方便观察 Excel 定义函数效果；对总根数定义函数=SUM(A2:C2)；对2m 梁根数定义函数=7*A2+4*C2；对 7m 梁根数定义函数=2*B2+C2。
图 3 Excel 表格预制
点击“数据”-“规划求解”，在“设置目标”栏选择 C4 栏，即以总根数定义目标函数；在“通过更改可变单元格”栏选择 A2：C2 栏，即以𝑥1，𝑥2，𝑥3为变量；在“遵守约束”处依次添加三个约束条件，分别为 A2：C2 栏为整数（即𝑥1，𝑥2，𝑥3为整数），C5 栏大于等于700（即 2m 梁根数大于等于 700），C5 栏大于等于 200（即 7m 梁根数大于等于 200）。如图4 所示。
注意：规划求解需要勾选 Excel 中的文件-选项-加载项-转到-规划求解加载项，才可以在菜单中显示。
图 4 Excel 规划求解
修改“选项”-“整数最优化”为 0，这样可以保证整数效果的最优解，可以尝试不修改此项进行求解，并将结果进行对比。“求解”后，可得𝑥1=4、𝑥2=16、𝑥3=168。本例中目标函数和约束条件都是设计变量的线性函数，Excel 中即便采用“非线性 GRG”求解，依然是线性规划问题。
三、周炬老师新书上市粉丝沙龙
以上是《ANSYS Workbench有限元分析实例详解（热学与优化）》图书的内容节选。该图书预计在2024年8月正式上市。
8月21日19时30分，仿真秀联合人民邮电出版社励步图书，邀请南华大学周炬老师带来《ANSYS Workbench热学与优化-周炬老师新书上市粉丝沙龙》，届时，还有来自某主机厂集团技术专家刘天师带来自己授权发专利 《控制器水冷散热结构的散热片布局优化》分享——在产品散热能力不变基础上 这个结构的冷却液流动阻力大概比常规设计降低了1/5。
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