没有什么不能用数学表达

教育 2025-01-26 20:50 河北

数学是一种语言。

数学是宇宙世界使用的语言，唯一的语言。我们什么时候找到一件事的底层数学语言，就算是能真正理解这件事，否则就是不理解。

小的时候我也不懂这个道理，我以为数学是人类发明的一种工具，用来描述这个世界。当时我还想，数论这些人为什么这么着迷研究一些数学问题？反正是人类定义的规则，把定义改改不就变了吗。

但长大以后才明白：数学是世界的底层原理，世界万物只是表象。

（1）数学是简单的

先给大家讲一个小故事。

还记得2020年时，童行书院做《时空之旅》App的教研，第10单元要讲微积分，我们的教研老师做了一版教研稿，当时她们是中规中矩按照教科书和网络上查到的资料写的，介绍了定义、历史发展和重要数学家。语言类似于百度百科对微积分的定义：

“微积分（Calculus），数学概念，是高等数学中研究函数的微分(Differentiation)、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科，内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。”

我说这太难太枯燥了，6岁小孩看不懂，教研老师说：微积分本来6岁小孩就没法懂。

我说：微积分就是直尺量曲线，6岁小孩怎么不能懂？！

后来我们就做了一个小游戏，让小朋友尝试用一把直尺量曲线，以此理解微积分思想，小孩子都能玩通关。我女儿说：微积分也挺容易的嘛。

很久以后，当我在一个餐桌上跟其他人笑谈这段往事，桌上的一位女士恍然大悟地说：微积分就是直尺量曲线吗？你这么一说我好像有点明白微积分了，那么，直尺量曲线该怎么量呢？

我说：你自己想想啊，你觉得怎么量？

她想了想说：一小段一小段量，再加起来？

我说：对咯！恭喜你推导出了微积分！分成小段，叫微分；加起来，叫积分。

她说：所以，那一小段得特别小。

我说：对咯！这叫求极限，微分就是无限小。

她说：我今天才明白！原来是这样。

我说：是啊，你看你自己都能推导明白。所有微积分，都是某种形式的“直尺量曲线”，只是算的东西千变万化。微积分是一种思想，是可以把一个大问题分拆到一个极为微小的局部，把局部算出来，再加总为整体。其余的都是计算技巧。

很多数学，其实都是思想方法。微积分是“直尺量曲线”，这是最直观的数学概念。它的实际思想是把大问题拆分为小问题，再加总得到大问题的答案。这个思想能解决很多问题。不仅对物理问题有用，对于我们在生活里思考问题都有帮助。

有时候，我们的学校并不太重视数学基础概念的理解，直接做题，于是很多学生还没有完全理解数学概念，先开始做题，就陷入云里雾里，觉得数学好难好难啊。

其实，数学概念本身是简单的。很多数学都是为了把这个世界更清晰地表达出来，并且发现其中的终极规律。如果发现了，带着数学规律去看世界，会发现千变万化的世界也变得简单清晰了。

（2）万事皆可数学

给别人讲过这个微积分的故事之后，有人问我，那线性代数怎么理解呢？

我说：线性代数就是你找男朋友的分数对比。

这是什么意思呢？其实，线性代数处理的就是多维度向量问题。那什么是维度和向量呢？

维度，就是你找男朋友要看的几个标准，例如：长相、身高、智商、家庭条件等等。

维度必须要求是“正交”的，也就是相互之间不能有相关性。例如“家庭条件”和“慷慨程度”就是有相关性的，家里太穷肯定没法慷慨，这就不能算成是两个维度。“智商”和“毕业院校”也是有相关性的，也不能算是两个维度。“长相”“智商”和“家庭条件”基本上是各自独立的因素，就可以算是维度。

向量是什么呢？就是你给男朋友候选人打的分数。例如长相=7分，身高=8分，智商=5分，家庭条件=9分，人品靠谱=3分，做家务=1分，对你的感情=5分，那么向量就是：

候选人1= [7, 8, 5, 9, 3, 1, 5]

如果有另一个候选人，候选人2= [4, 6, 9, 2, 9, 7, 8]

那这样两个候选人该怎么比较呢？能把分数直接加总，算总分吗？我们知道，相互正交的维度数值是不能直接相加的。例如长方形的长和宽，不能直接相加算大小。但是我们可以定义一个“长度”，就是把每个数值平方相加开根号，这就能算是“向量长度”，也叫“内积”，也就是你的两个男朋友候选人的总分。算一下就知道：

候选人1 = 15.9分

候选人2 = 18.4分

现在看到候选人2分数高，是不是说明你就想选择候选人2呢？很可能不是。你还是觉得自己被候选人1深深吸引，即使明知道他不靠谱，对自己也不够爱，但就是觉得被他的某种莫名的魅力深深吸引，于是怎么都不肯和候选人2在一起，偏偏要爱候选人1。

那是为什么呢？

原因在于，你在选择的时候，“人品靠谱”和“做家务”这两个维度，你心里觉得是不重要的，甚至智商也不太重要，反正你看到的这个人的慷慨和风度，主要来源于他家庭，也不是他自己的本事，但这些你都忽略不计了。

于是，你内心中的真正向量是四个维度：[长相，身高，家庭条件，对你的感情]

这么一算，两个候选人的打分就不一样了：

候选人1= [7，8，9，5]

候选人2= [4，6，2，8]

谁高谁低，就一目了然了。你心目中所有衡量维度组成的空间叫“内积空间”，你就是在自己的内积空间里给每个候选人打分，再比较分数。最初7个维度的内积空间叫7维空间，后来经过一番思考，发现你真正在乎的只有四个维度：高富帅+爱你，所以你心里的内积空间是4维空间。

当你从一开始心里的内积空间就没有“靠谱”这个维度的时候，遇见渣男也就不足为奇了。这是你自己的空间，过滤进来的就有大量不靠谱的人。

其实，一个人是否优秀，完全看你怎么衡量。优秀都是在特定的内积空间衡量的，你的内积空间，就代表着你的价值观。我自己的内积空间一直只有 [智商，靠谱] 两个维度，其他都不重要，所以这么多年从来没遇到过又蠢又坏的男朋友。

（3）疫情会好吗？

其实疫情很大程度上是可以数学化的。

不管是什么病毒，基本指标只有“传播率”和“致死率”两个指标，而这两个指标通常是相关的，成反比的关系，因此，基本上用“传播率”这个指标就可以衡量。

传播率R0，就是一个感染者在一个时间周期内能够传染几个人。

最早的新冠病毒，R0大概是2左右；后来的德尔塔，R0大概在3-4范围；最近的奥密克戎，有很多专家测定R0=9.5（当然这个测定也有可能偏高，也有人说在6-8）。

我们可以做一个很简单的小学数学题：

如果人群正常活动，1个感染者一天可以传染10个人，那么为了让病毒传播势头降下来，每日新增不增加，应该把正常活动降到平时的几分之几？

粗略估算就能知道，需要降到正常活动的1/10。

也就是说，只能通过把感染者遇见的人减少90%，才能遏制病毒传播。在这里就有一个速度问题：当城市感染者少，可以通过快速隔离感染者，将感染者遇到的人减少90%，但当城市感染者快速大量增加（到一定阈值），以至于没办法快速把所有感染者都立刻隔离起来，那就只能将整个城市的活动减少90%才能遏制传播。对于超大城市，整个城市的活动减少90%必然伴随很强的生活危机。

这里的问题在于，这个“阈值”到底是多少？有人说是日增1000以上，有人说是累积10000以上。还不确定。

其他城市目前不能嘲笑上海，因为其他城市做得好，都因为没有到达这个阈值。

这次上海事件只是数学上能算得出的必然情形。即使这次上海疫情完全得到控制，以后问题仍然没有解决，同样的情况永远都会出现。要么就是疫情监测常态化，而经济活动随时被叫停，要么就得有其他应对疫情爆发的方法。否则，疫情防控状态我们就要保持10年、15年、20年。

希望早日让有效疫苗普及化，希望早日建立更好危重症病人处理方案和资源，希望能以灵活而专业的态度处理未来的危机事件，希望正常的经济社会生活不受影响，希望人与人之间的人道主义同情永远是核心准则，希望每一次的危机事件，都真正让我们吸取经验，未来越做越好。

最后，希望所有大朋友小朋友，都爱上数学。

奇趣数学苑

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