下图是建国前的高考题，第一题是求多项式的根。![]()
我们先介绍一下两个关于多项式根的定理：
1. 有理根定理 Rational Root Theorem
2. 共轭根定理 Theorem Conjugate Root Theorem
3. 代数基本定理 The Fundamental Theorem of Algebra（根的个数定理）
1 Rational Root Theorem
Let be a polynomial with integer coefficients. According to the Rational Root Theorem, there are a limited number of possible roots of :
Integer roots must be factors of . Rational roots must be of the form , where is an integer factor of and is an integer factor of .
Example Polynomial and Its Roots
Consider the polynomial:
Factors of the Leading Coefficient ()
The leading coefficient is 21, and its factors are:
Factors of the Constant Term ()
The constant term is 10, and its factors are:
Finding the Roots
Using the Rational Root Theorem, we can list the possible rational roots by considering all combinations of factors of and . However, solving the polynomial directly gives us:
Thus, the roots of the polynomial are:
1 有理根定理
定理定义
对于一个具有整数系数的多项式
其可能的有理根的数量是有限的，并且这些根可以通过特定的方式来确定。
整数根的判断
多项式的整数根必须是常数项 的因数。也就是说，如果 的因数是 ，那么多项式的可能整数根就包含这些值。
有理根的形式
有理根的形式必须是 ，其中 是 的因数， 是首项系数 的因数。这意味着，为了找到所有可能的有理根，我们需要考虑 和 的所有因数组合。
应用示例
以多项式 为例，其首项系数 的因数包括 ，常数项 的因数包括 。根据有理根定理，我们可以尝试这些因数组合作为可能的根，并通过实际计算来验证它们。
定理意义
有理根定理提供了一种有效的方法来缩小寻找多项式有理根的范围，从而简化了求解过程。它特别适用于那些具有整数系数的多项式，使得我们可以通过考虑系数的因数来快速确定可能的有理根。
回到民国时期高考题的数学题， ，我们可以按照以下步骤进行：
应用有理根定理：
常数项的系数是 -1。 多项式的最高次项的系数是 1。 因此，可能的有理根是 。
测试可能的有理根：
测试 ：所以 是一个根。
因式分解多项式：
既然 是一个根，我们可以将 从多项式中提取出来：
继续因式分解：
注意到 可以进一步分解。由于我们已经知道 是一个根，我们可以尝试将其再次提取出来（实际上，这是一个完全平方的情况，但为了保持步骤清晰，我们按步骤来）：进一步分解 ：最后， 是 。
总结所有根：
我们已经找到 是一个根，并且多项式可以分解为多个 的因子。 因此，方程的所有根都是 ，且它是一个五重根（因为多项式是五次的，并且所有因子都是 ）。
综上所述，方程 的解是 （五重根）。
上图中例子中还涉及到合成除法；可参考之前的总结：多项式除法中的合成除法（Synthetic Division）。
2 共轭根定理 Theorem Conjugate Root Theorem
If is a polynomial with rational coefficients, then irrational roots of that have the form occur in conjugate pairs. That is, if is an irrational root with and rational, then is also a root.
If is a polynomial with real coefficients, then the complex roots of occur in conjugate pairs. That is, if is a complex root with and real, then is also a root.
如果 是一個有理係數的多項式，那麼 的無理根具有形式 ，且這些根會以共軛對的形式出現。即，如果 是一個有理數 和 的無理根，那麼 也是一個根。
如果 是一個實係數的多項式，那麼 的複數根會以共軛對的形式出現。即，如果 是一個實數 和 的複數根，那麼 也是一個根。
3 代数基本定理 The Fundamental Theorem of Algebra
以下是代数基本定理的等价表述。你可以使用其中任何一个表述来证明其他表述。 Here are equivalent ways to state the Fundamental Theorem of Algebra. You can use any one of these statements to prove the others.
每个次数 的多项式方程恰好有 个根，包括重根和复根。 Every polynomial equation of degree has exactly roots, including multiple and complex roots.
每个次数 的多项式有 个线性因子。 Every polynomial of degree has linear factors.
每个次数 的多项式函数至少有一个复零点。 Every polynomial function of degree has at least one complex zero.
如果我们知道二项式定理，那么民国考题也许更快地做出来：
二项式定理
对于每一个正整数 ，
其中 是帕斯卡三角形第 行的数字。
Theorem: Binomial Theorem
For every positive integer ,
where are the numbers in the th row of Pascal's Triangle.
