几何之所以难，就是遇到难题，完全没有头绪，不知道从何入手。然而老师一讲发现很简单，这种痛苦会打击到很多学生，让孩子怀疑自己智商有问题。其实完全不是如此。孩子需要对几何有直觉，这种直觉是可以毫不费力的培养的。拿各种几何材料玩起来就是好方法。
下面这段蒙特梭利的故事仔细体会一下，你肯定能找到关键所在。
在《发现孩子》一书中，玛丽亚.蒙特梭利描述了一位老师的教学方法。这位老师对孩子说：“这个是方形，这个是三角形。”当老师让孩子摸四边形时，她在旁边指导：“这是一条边，这是另一条边。”并帮助孩子数：“1，2，3，4，这是四条边，这是四个角。”
蒙特梭利出面干涉，告诉老师不应该这样做，这与教学目的不一致。老师反驳说：“是一样的。”蒙特梭利解释道，这不一样。她指出，老师这样的做法是在对一个图形的几何性质进行分析，而一个不认识数字和边角的孩子是可以通过感知形状来认识它们的。
玛丽亚强调，边和角是抽象的概念，而木块是具体的，其形状是可以感知的。老师必须避免让孩子感到迷惑。如果给孩子介绍抽象的概念，会让他们感到混乱和困惑，这违背了蒙特梭利教学的目的。
3-6岁的孩子触摸三角形，和触摸一把钥匙、一个苹果是一样的，他摸到一个尖尖的东西，长大以后会知道这是一个角，这个图形是锐角三角形，孩子会知道的。不要把问题想复杂、变复杂，重要的是他们“眼睛看到”和“用手感知到”。
从具体到抽象的原则，每个专家、每个老师都会说。但光说有什么用？王阳明说，知而不行只是未知。就像高考前老师说，你们要放轻松，放松才会有好成绩，这不是废话吗？如果孩子们学习平面几何，立体几何依然困难重重，就说明他们知道的只是个道理，而不是人生经验。
来，我们看看下面这些丰富的教具是如何让孩子，有真正的人生经验，而不是学了一些自己不懂的道理的。一起看看蒙特梭利教具是如何培养孩子的几何直觉的。
所谓直觉，就是一眼看到本质的能力，虽然未必说出道理来，说功利一些，就是一眼就知道解题方向的神奇力量。
蒙特梭利几何的组织逻辑和传统几何的组织逻辑是有不同的，除了欧几里得的公理推理路径之外，蒙特梭利几何多了一套几何直觉的训练路径。
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01.感官阶段
86 演示托盘（The Demonstration Tray）
演示托盘与几何柜（Geometric Cabinet）配合使用，用于单独介绍平面几何形状。
为什么蒙特梭利要单独把这三个图形做一个展示托盘，而不是放在几何橱的第一层呢？读了蒙特梭利的《心理几何》，读了今年刚离世的麦克道尔专门为这个演示托盘写的神话故事之后。你可能感受会更深。
从前，在一个遥远的地方，住着三个非常了不起的人。这三个人的所作所为至今还在影响着我们生活的方方面面，甚至可以说，触目所及，到处都是他们三个人的身影。让我们来看看，他们到底是谁，他们做了什么了不起的事情。
第一个人是建筑师。他可以建造任何东西哦，是的，几乎所有东西！他建造的东西如此坚固，以至于所有人都钦佩他建造的漂亮建筑。他是一个伟大的建设者；他的工作是如此伟大，甚至连奥林匹斯山上的众神都注意到了他所做的非凡的事情。现在，随着年龄的增长，人们非常担心，当他不在人世的时候，谁来建造，他的技能谁来继承。最后，就连伟大的宙斯神也对这个杰出的建筑师产生了兴趣，并忧虑他的未来。
当然，这个伟大的建筑师并不是一个人去完成所有的事情。因为还有第二个人测量一切，确保每一个测量都是完美的。这个测量师能够比其他任何人测量得更精确、更完美。由于建筑与测量有着密切的联系，这两个环节必须协同工作：建筑师和测量师。测量师能准确地测定物体的大小，所有人都钦佩他的测量能力。随着年龄的增长，人们非常担心，当他不在人世的时候，谁来测量，他的技能谁来继承。他的工作是如此伟大，甚至连奥林匹斯山上的众神都注意到了他所做的非凡的事情，最后，就连伟大的宙斯神也对这个杰出的测量师产生了兴趣，并忧虑他的未来。
他们还有第三个合作者，人们叫计算师。他可不是拿着手机或者或计算器来计算。而是在心里就可以完成计算。复杂的建筑，需要计算、测量和建造，他们三个人通力合作，建造了很多不朽的建筑。能完美计算建筑材料的数量、尺寸和结构。所有人都钦佩他的计算能力。他的工作是如此伟大，甚至连奥林匹斯山上的众神都注意到了他所做的非凡的事情。随着年龄的增长，人们非常担心，当他不在人世的时候，谁来计算，他的技能谁来继承。就连伟大的宙斯神也对这个杰出的计算师产生了兴趣，并忧虑他的未来。
最后，伟大的宙斯神做出了一个决定。他决定世界不能失去这三位，建筑师、测量师和计算师。他想，“我们必须永远保护他们；必须有一种方法，我们可以永远照顾这三个了不起的人。但是，只有神是不朽的，而不是人。”于是宙斯想出了一个绝妙的主意，他给了他们一种特殊的永生。
首先，他把建筑师在即将离开人世的那一刻变成了一个三角形，一个完美的等边三角形。至今为止三角形还在我们身边负责建造工作，它用这种方式持续的活下去，永久的活下去。
宙斯在测量师即将离开人世的那一刻变成了一个正方形。有了正方形，我们人类被赋予了精确测量任何物体表面的能力；我们可以找出所有物体的长度、面积和体积。即使在今天我们也在用正方形做测量，可以想见的未来，人们也会继续使用正方形做测量。他在用这种方式永远的活下去。展示正方形。
最后，伟大的神宙斯把计算师在即将离开人世的那一刻永久地变成了一个完美的圆。因为圆里隐藏了一个无限不循环小数，它很懂什么叫无限精确，所以他可以把计算无限精确下去。显示演示托盘中的圆。圆也是一个整体、完美、永恒和无限的普遍象征。有了圆，我们就指向了无限，指向了永恒。
人们有时候看到这三个图形，就会想起那三个了不起的人，建筑师、测量师和计算师。
东
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西
我们录制了70多小时的视频课程，详细讲解了这些教具的前世今生，操作步骤，以及为什么会这么操作。特别是，关于为什么这么操作，我想你即使在参加蒙特梭利3-6还是6-12培训时，培训师也未必有时间有精力和你谈这个层面的话题。
87 圆形、正方形和三角形（Circles, Squares & Triangles）
这套教具提供了让孩子探索和实验三种基本几何形状的可能性。这三种形状分别用三种颜色表示——红色、黄色和蓝色，尺寸从1厘米到10厘米不等。
88 几何柜（The Geometric Cabinet）第一层
几何柜将孩子引入平面几何。它是一个六抽屉的柜子，包含35个几何嵌板和框架.
第一层是6个三角形，一个等边三角形，一个黄金三角形（等角36°，底角72°），一个普通锐角三角形，一个普通直角三角形，一个等腰直角三角形，一个等腰钝角三角形（如果我设计的话，会设计成钝角的黄金三角形 ）。
第二层1个边长10厘米的正方形，5个长边长10厘米的长方形，短边分别是5-9厘米.如果有条件的话我会觉得增加一个黄金矩形也不错，也就是短边是6.18厘米的矩形.有科学家专门研究人们的喜好，发现并不是所有人都觉得0.618的比例没，这个不是真相，真相是各有各的喜好。黄金矩形的确不丑是真的。
第三层是6个直径不同的圆，直径从5厘米到10厘米不等。到现在为止蒙特梭利把三角形，方形和圆形的直观感受扩展了。
第四层是6个正多边形，他们的外接圆的直径都是10厘米，也就是说他们都能放在展示框的圆框里，这会让第一次发现这一点的孩子很着迷。这些正多边形分别是正五边形到正十边形。我和彩云老师在带蒙小孩子参观中国古代墓葬文化时留意到西汉墓葬的顶部用砖砌成了正八边形。这些正多边形，是古人找到的天然的美感。
第五层是一个椭圆形，一个卵形，一个勒洛三角形（Reuleaux triangle），一个四瓣花形，一个普通钝角三角形。其中这个勒洛三角形有很多故事，你可以搜一搜，带孩子做一些有趣的实验。而这个四瓣花形刚好可以放进展示框的正方形方框里。
第六层是6个四边形，第一个边长为10厘米的菱形，第二个是平行四边形，第三个是普通的直角梯形，第四个是普通的等腰梯形（如果让我设计的话，会设计成72°的黄金梯形）。第五个是筝形，第六个凹四边形，这是蒙特梭利几何里唯一的一个凹多边形。
89 几何形状卡片（Geometric Form Cards）
几何形状卡片由三组共35张卡片组成，对应几何柜中的图形。每组包括7张实心、粗线和细线的塑料卡片。这是一套在幼儿园有的教具，到了小学就没有了，小学只有几何橱而没有这套配套卡片。在幼儿园，孩子通过大规模的视觉配对，来加深对这些形状的认识。3-6老师认识到这套教具的价值的时候，才会有意识地推荐这套教具给孩子们。
90 构造三角形（Constructive Triangles）
构造三角形让孩子在平面几何中获得实际体验。这套教具包括：2个矩形盒、1个三角形盒、1个小六边形盒和1个大六边形盒，每个盒子都包含不同大小、形状和颜色的三角形。这套教具的分盒介绍我会文章下方的小学阶段等值部分来介绍。这套三角形盒在幼儿园阶段已经投入在教室里当感官材料了，如果3-6老师学习了蒙特梭利小学几何的内容，那么会对同一套教具产生亲切和敬重，也会更愿意和孩子介绍和展示这套教具。
91 蓝色三角形盒（12 Identical Blue Triangles）
这套教具用于探究等值性、全等性和相似性。包括12个直角不等边三角形和一个带盖的榉木盒。这个三角形的特点是斜边是短直角边长度的两倍，两个锐角分别是30°和60°，这个特殊的直角三角形在小学和中学几何学习中会经常考察到。蒙特梭利设计这个教具特意把两面刷了不同颜色的漆，一面白色一面蓝色。摆各种形状时非常漂亮。我个人建议可以买很多套这个教具用来当积木玩。这种玩出来的数学直觉无敌了。我们的视频课程里专门有一个章节讲的就是瓷砖游戏。即使小学生也需要大量的拼接游戏来提升他们对几何形状的直觉。这是一个被严重低估的几何教具。
另外完全可以设计一套绿色直角三角形盒，绿白搭配，具体细节我视频里有谈。
92 金属镶嵌板（The Metal Insets）
使用这套教具可以加强捏握能力，并协调书写所需的手腕运动。通过绘画活动，这些练习还能提高触感的轻重和压力的均匀度。金属镶嵌板提供了无限的几何设计可能性。这套教具被归属在3-6阶段的语言教学区，它更是3-6孩子探索几何形状的好工具。当老师或家长喜欢上这套教具的时候，孩子们也会爆发出无穷的设计感，做出很多震撼性的作品。看我们的视频教学视频，可以产生这种宝贵的喜欢。
81 二项式立方 Binomial Cube
使用二项式立方体，孩子们可以专注于图案和顺序，并在尺寸、颜色和形状方面建立不同立方体和长方体之间关系的联系。这套教具在3-6环境是孩子们的感官积木，益智玩具，在小学阶段是平方立方开平方开立方的教具，也是代数教具和几何教具。可能是最具美感的教具之一了。
82 三项式立方 Trinomial Cube
使用三项式立方体，孩子们可以专注于图案和顺序，并在尺寸、颜色和形状方面建立不同立方体和长方体之间关系的联系。这套教具在3-6环境是孩子们的感官积木，益智玩具，在小学阶段是平方立方开平方开立方的教具，也是代数教具和几何教具。可能是最具美感的教具之一了。
93 彩色圆柱体（Set Of Knobless Cylinders）
彩色圆柱体是尺寸教具的最终阶段，孩子通过其辨别能力将各组圆柱体按正确顺序排列。每套包含10个圆柱体，装在一个独立的榉木盒中，盒盖与圆柱体颜色相同。
我用这套彩色圆柱体来代表3-6阶段大量感官教具带给孩子的几何概念。譬如插座圆柱体，粉红塔，棕色梯，长棒，数棒等。这些教具在一维二维三维不同的角度刺激孩子的几何直觉。
94 几何立体组（The Geometric Solids）
这套10个几何立体模型将孩子引入立体几何的世界。包括3个用于放置曲面立体的透明支架。这十个教具分别是立方体，长方体，球体，椭圆体，卵形体，三棱柱，三棱锥，四棱锥，圆锥。在3-6教室最大尺寸是10厘米，在小学教室有一套大一倍的同样的教具，最大尺寸是20厘米，这是为了进行体积计算时，配合2厘米见方的立方体。学过蒙小几何课程的老师，再看到在3-6教室的几何立体组的时候，情感是不一样，会发自内心的喜欢，这种喜欢对3-6教室孩子们来说是无价之宝。
95 七巧板 Tangram
七巧板是一种古老的中国智力游戏，由七块不同形状的平面几何图形组成，包括两个大三角形、一个中等三角形、两个小三角形、一个平行四边形和一个正方形。这些图形可以排列组合成各种不同的图案，如动物、人物、数字、字母等。
对孩子们来说还有很多好处：帮助孩子认识形状和大小，提高逻辑和解决问题的能力，可以拼成 各种图案，激发孩子的想象力，练习手眼协调能力。拼凑图案锻炼了专注和耐心。
不管是在3-6岁的蒙特梭利教室里，还是在蒙特梭利小学的教室里，七巧板都有它非常重要的位置。七巧板对培养等值的几何直觉非常重要。当然在家庭里，多几套七巧板是相当合适的。家长做对了，小孩子以后上学后几何成绩就不知道为啥这么好。大家都会说这孩子天生几何好。是的我们做这些几何直觉的启蒙，就是为了达到润物细无声的效果。
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2. 等值直觉
96 构成三角形盒1 Constructive Triangles Box 1
两个灰色不等边直角三角形
两个绿色不等边直角三角形
两个绿色等腰直角三角形
两个黄色不等边直角三角形
两个黄色等边三角形
两个黄色等腰直角三角形
一个红色不等边钝角三角形
一个红色不等边直角三角形
每一个三角形都有一个黑线
它又叫 长方形盒A Rectangular Box A
96 构成三角形盒2 Constructive Triangles Box 2
两个不等边直角三角形，
两个等腰直角三角形
两个等边三角形
一个更小的不等边直角三角形
一个不等边钝角三角形
三角形都是蓝色的没有黑线
它又叫长方形盒B Rectangular Box B
97 构成三角形盒3 Constructive Triangles Box 3
这套教具用于探究等值性、全等性和相似性。包括12个直角不等边三角形和一个带盖的榉木盒。这套教具我们之前介绍过了只是名字不同，它还可以叫蓝色三角形盒 Blue Design Box，不管叫什么，它都是我最喜欢的蒙特梭利几何教具之一，完全长在我的审美上。
98 构成三角形盒4 Constructive Triangles Box 4
这个盒子的外壳是三角形的，所以又叫三角形盒Triangular Box，它还有一个名字叫1/2盒。参加里小学阶段的培训就明白为什么叫这个名字了。
1 个灰色大的等边三角形
2 个绿色不等边直角三角形
3个黄色等腰钝角三角形
4 个红色等边是三角形
灰色没有标记线 其它都有标记线
这些材料在盒子里的放置状态是随意的，只要他们是组成三角形的样子放就可以.
99 构成三角形盒5 Constructive Triangles Box 5
这个盒子的外观是正六边形的，而且比较小，大家喜欢叫它小六边形盒Small Hexagonal Box，它还有一个名字叫1/4盒子。为啥叫这个名字，哈，来学习蒙小数学课程吧，文末有福利。
一个大的黄色等边三角形
两个红色等边三角形
三个绿色等边三角形
六个等边灰色三角形
六个红色等腰钝角三角形
100 构成三角形盒6 Constructive Triangles Box 6
这个盒子的外观也是正六边形，只是尺寸大一些，大家就叫它大六边形盒Big Hexagonal Box，它还有一个名字是1/3盒。
1个大黄色三角形
2个红色等腰钝角三角形 长边黑色
3个黄色等腰钝角三角形 短边黑线
3个黄色等腰钝角三角形 长边黑线
2个灰色等腰钝角三角形 单短边黑线
101 正方形等值金属嵌板（Metal Squares: 9 Plates）
这套教具用于几何学习，特别是等值、相同和相似图形的练习。它包括9个绿色金属框架和底板，1组分割成正方形和矩形的镶板，以及1组分割成三角形的镶板，分别是1/2，1/4，1/8和1/16分割（此材料也用于小型金属镶板工作，即“线性几何设计”），这是一套小学的几何教具，我觉得很适合放在3-6教室，培养孩子的等值直觉。说不定因为这套教具的启发，孩子们能更容易看出七巧板每一块板之间的面积关系。我认为这套教具重要性怎么强调都不为过。优美简洁的设计，凸显了内在的规律。
102 三角形等值金属嵌板（Metal Triangles: 4 Plates）
这套教具让孩子能够进行三角形的分析性研究。包含4个带底板的金属框架，镶板为等边三角形，分别分割为1、1/2、1/3和1/4。
还有几套配套的金属嵌板我就不一一列出了，视频课程里有说。
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3. 角度
66 蒙特梭利量角器 - Instrument For The Measurement Of Angles
这个金属框架与分数圆盘一起使用，用于演示如何用度数测量角度。配套的分割圆的教具在上一篇的算术教具说明里。这个蒙特梭利量角器是凹陷的直径10厘米的圆槽，刚好卡住各种分割圆的金属嵌板，完美。
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4. 多边形
103 几何木条盒（Geometric Stick Material）
几何木条盒在小学课堂中用于研究直线、测量角度以及平面几何形状的构建和分析。该套教具包括一系列带色标的木条、塑料曲线、塑料量角器、铅垂线、图钉和紧固件，所有材料存放在一个带盖的分隔木箱中。讲解大量几何概念就靠这个设计精巧的几何木条盒了。我到现在为止也没研究明白每一条原木色木条为什么尺寸是这样设计的，等有时间我再研究吧。这些木条的长度要看最外面的两个孔之间的长度，是以厘米计算的。
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5. 圆
104 圆内接三角形金属嵌板（Triangle Inscribed In Circle）
圆内接三角形指的是一个三角形的三个顶点都位于一个圆上。这样的三角形被称为“内接三角形”，它的所有顶点都恰好在圆的边界上。
105 内接与同心金属嵌板（Inscribed And Concentric Figures: Metal）
这套教具用于研究内接图形和同心图形。包括9个绿色金属框架和底板，红色镶板包括1组5个直径逐渐减小的圆和1组4个边长逐渐减小的正方形。
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6. 瓷砖游戏
106 瓷砖游戏The Tiling Game
你可以理解成把这些颜色形状的几何图形打印出来让孩子探索，如何拼接。不需要买，只需要打印截切就行。从篇幅上这套瓷砖游戏与这篇文章想传达的信息完全不匹配，毕竟占了整个蒙特梭利几何教学最大比重的几何木条盒只有一点点说明，这个瓷砖游戏却可以占据1/3的内容。我的考虑是，如果我们想培养的是孩子的几何直觉和对几何本身的喜爱，那么占这个篇幅也算是一种强调或者说个人喜好。
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7. 勾股定理
107 勾股定理（Theorem Of Pythagoras）
这套教具展示了勾股定理的三种情况。第一种情况是两个三角形的边相等；第二种情况是三角形的边按3:4:5的比例排列；第三种情况展示了一般情况（欧几里得演示）。材料包括3个带底板的绿色金属板，以及蓝色、红色、黄色和白色的镶板。
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8. 面积
108 黄三角形面积教具（Yellow Triangles For Area）
这套教具用于引入面积的学习。通过这些三角形的练习，孩子能够发现三角形面积的计算方法。材料包含20个黄色方格图形，用于面积练习，存放在一个带盖的榉木盒中。在视频里我们讲了一个和这个教具有关的，迈克道尔原创的面积的故事，这个故事对我也很有启发，通过故事我关于什么叫测量面积有了清晰的概念。
109 高度测量（Stand For Height）
用于平面几何形状探索的支架，便于测量构造三角形的高度。刻度单位为厘米。
110 等值图形教具（Equivalent Figure Material）
等值图形教具用于研究等值图形之间的关系，从而发现面积和定理。这套材料包括13个带底板的绿色金属框架和红色镶板。
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9. 体积
5 体积盒（含250个立方体） - Volume Box With 250 Cubes
由一个包含250个小立方体的木盒组成。每个小立方体的边长都是2cm。体积盒（含250个立方体）旨在帮助儿童理解体积的概念，发展数学相关的空间认知能力。这个教具的总体体积刚好和棕色梯最大的一块的体积相同，单个体积又比较大适合搭建和计数，适用于蒙特梭利3-6岁教室作为感官教具和数学教具，也可在蒙特梭利小学教室中作为体积教具和立方教具。
111 黄色体积盒（Five Yellow Prisms In Wooden Box）
这套教具用于计算长方体的体积。材料包括5个木质长方体（20 x 10 x 2厘米），涂成黄色并划有线条和方格。这些长方体存放在一个带盖的木盒中。它的总体积和棕色梯最大一块的体积相同。
112 分割六棱柱（Divided Hexagonal Based Prism）
这是一套蓝色几何立体，高度为20厘米，用于体积研究和计算，就不一一列出了。
113 金属体积容器（Metal Volume Containers）
通过金属体积容器，孩子可以探索体积计算的规则。这套教具包含3个空心几何形状，具有相同的底面。大长方体和四棱锥具有相同的高度，而小长方体的高度是大长方体高度的1/3。我8年前买它和勾股定理这两个教具，花了5500元，这是为了长见识付出的代价，哈哈。好了今天的分享就到这里。
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10. 福利
以上所有教具的详细讲解，已经包含在我和彩云老师共同录制的蒙特梭利小学数学课程中。本课程依照AMI蒙特梭利小学培训体系精心梳理和讲解，由两位经验丰富的教师历时三年完成。课程涵盖42个章节，时长超过70小时，跨越300多个关键课程内容，致力于为孩子们提供全面而深入的数学学习体验。许多家长反馈，这套课程不仅提升了孩子们的数学能力，还增强了他们的自信心和学习兴趣。孩子们在愉快的学习过程中，逐渐爱上了数学，主动探究和解决问题的能力也得到了显著提高。
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