引言
偏微分方程(PDE)是数学、物理和工程学中的基础,可用于描述从热传递到电磁波传播等多种现象。虽然简化情况下存在闭式解,但求解任意PDE通常需要有限差分或有限元等数值技术。这些计算方法虽然强大,但往往耗时耗资源。
本文介绍了创新的基于电磁(EM)波的结构,用于模拟计算并能够求解PDE,特别是亥姆霍兹波动方程。通过利用互连波导网络并装载精心设计的介电板,可以模拟电子线路元件,以光速进行高速计算[1]。
网络设计与理论
PDE求解结构的核心是由平行板波导组成的网络,波导中装载了薄介电板。这些波导和介电板的排列模拟了T型线路,形成网格状的连接点。关键见解是,这个网络中的电流分布控制方程类似于亥姆霍兹波动方程的有限差分表示。
图1: (a) 单个节点的等效线路表示。(b) 模拟T型线路的波导介电结构。(c) 3x3网络的数值模拟结果。
为了求解PDE,设计网络使T型线路元件的阻抗值对应于亥姆霍兹方程中的系数。并联阻抗Zp与空间采样参数h相关,而串联阻抗Zs对应波数k。通过控制这些阻抗,我们可以调整网络以求解特定的PDE。
每个波导连接点中心的面外磁场(Hz)代表了该点PDE的解。通过测量整个网络的Hz,我们可以重建方程的完整解。
缩放与分辨率
PDE解的分辨率取决于网络中连接点的数量和选择的h值。在保持h不变的情况下增加网络大小,可以在相同的模拟空间内获得更高分辨率的解。或者,在保持网络大小不变的情况下减小h,可以在更小的模拟空间内提供更高分辨率。
图2: (a) 任意大小网络的节点表示。(b) 更大波导网络的3D视图。(c-e) 25x25网络在不同条件下的Hz场分布数值结果。
图2展示了如何扩展网络以更详细地求解PDE。通过调整阻抗值,我们可以有效地"放大"解的特定区域,如面板(d)和(e)之间的对比所示。
求解狄利克雷边界值问题
通过精确控制边界波导的输入信号,结构可以求解狄利克雷边界值问题。使用结构的散射矩阵来计算产生所需边界条件的入射信号。
图3: (a,c) 具有不同狄利克雷边界条件的25x25网络示意图。(b,d) (a)和(c)中情景的分析、理论和数值结果。
图3展示了两个狄利克雷边界值问题的例子。在第一种情况(a,b)中,将左边界设为g=1,其他边界设为g=0,模拟驻波。第二个例子(c,d)展示了一个更复杂的边界条件,周边相位变化。
开放边界值问题
通过将模拟空间扩展到感兴趣区域之外,该结构还可以处理开放边界值问题。这种扩展允许波自然衰减,模仿计算电磁学中使用的完美匹配层(PML)的行为。
图4: (a,d) 用于开放边界值问题的50x50子网络示意图。(b,e) 理论和分析功率分布结果。(c,f) (b)和(e)中特定线上的功率分布。
图4呈现了两个开放边界问题的例子:聚焦/透镜(a-c)和粒子散射(d-f)。这些演示展示了我们的结构如何在开放系统中模拟复杂的EM现象。
实施与实际考虑
为实现这种PDE求解结构,使用充满空气并装载薄介电板的平行板波导。波导形成网格状网络,连接点作为PDE解的采样点。精心设计介电板以模拟T型线路所需的阻抗值。
实施的关键考虑因素包括:
波导尺寸: 板间距离应小于入射波长,以限制边缘场。
介电板设计: 板的厚度和介电常数决定有效阻抗值。
网络大小: 更大的网络提供更高分辨率的解,但需要更多计算资源进行模拟。
边界条件: 正确激励边界波导对解决特定问题至关重要。
频率范围: 虽然我们的例子集中在微波频率,但这个概念可以适用于其他光谱范围,包括光学频率。
结论
我们介绍了使用基于波导的介电网络求解偏微分方程的创新方法。该方法利用电子线路和电磁波传播之间的类比进行高速模拟计算。通过精心设计装载介电板的波导网络,我们可以求解复杂的PDE,包括狄利克雷和开放边界值问题。
这种方法的优势包括:
高速计算:解在材料内以光速计算。
可扩展性:网络可以扩展以提供更高分辨率的解。
灵活性:通过调整介电元件的阻抗值,可以求解不同的PDE。
集成潜力:这个概念可以适用于光电子集成芯片。
演示集中在亥姆霍兹波动方程上,但这些原理可能扩展到求解其他类型的PDE。这项研究为模拟计算开辟了新途径,可能导致在各种科学和工程应用中开发专门的PDE求解硬件加速器。
参考文献
[1] R. G. MacDonald, A. Yakovlev and V. Pacheco-Peña, "Solving partial differential equations with waveguide-based metatronic networks," Advanced Photonics Nexus, vol. 3, no. 5, p. 056007, Sep./Oct. 2024.
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