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🍓 课程推荐：2024 机器学习与因果推断专题
主讲老师：司继春 (上海对外经贸大学) ；张宏亮（浙江大学）
课程时间：2024 年 11 月 9-10 日 ；16-17日
课程咨询：王老师 18903405450（微信）
课程特色 · 2024机器学习与因果推断：
懂原理、会应用。本次课程邀请了两位老师合作讲授，目的在于最大限度地实现理论与应用的有机结合。为期四天的课程，分成两个部分：第一部分讲解常用的机器学习算法和适用条件，以及文本分析和大语言模型；第二部分通过精讲 4-6 篇发表于 Top 期刊的论文，帮助大家理解各类机器学习算法的应用场景，以及它们与传统因果推断方法的巧妙结合。 以 Top 期刊论文为范例。目前多数人的困惑是不清楚如何将传统因果推断方法与机器学习结合起来。事实上，即便是 MIT 和 Harvard 的大牛们也都在「摸着石头过河」。为此，通过论文精讲和复现来学习这部分内容或许是目前最有效的方式了。张宏亮老师此前在浙江大学按照这一模式教授了「因果推断和机器学习」课程，效果甚佳：学生们能够逐渐建立起研究设计的理念，并在构造识别策略时适当地嵌入机器学习方法。
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作者： 肖志文 (北京大学)
邮箱: xiaozhiwen@pku.edu.cn
Source: Hainmueller, J., Mummolo, J., & Xu, Y. (2019). How Much Should We Trust Estimates from Multiplicative Interaction Models? Simple Tools to Improve Empirical Practice. Political Analysis, 27(2), 163–192. Link, PDF, Google. PDF, -wp-Appendix-, -cited-, -Replication-, Stata-Guide, github
软件实现：
R: R package interflex，安装：install.package("interflex")Stata：外部命令 interflex，安装：ssc install interflex。详细介绍，参见：
interflex page StataGuide for interflex
1. 引言：交互效应的潜在假设
交乘项在社会科学研究中运用十分广泛，通常用来探讨自变量和因变量之间的关系是否被第三个变量所调节。但现有的经验研究在使用交乘项时存在两个重要问题：第一，默认交互效应是线性的；第二，在调节变量缺乏共同支撑的情况下，对自变量的条件效应的估计很可能是有误的，但研究者并不重视调节变量的共同支撑问题。作者通过复现 2006-2015 年间政治学顶刊中的 22 篇文章，发现大部分交互效应都严重依赖于模型设定，十分的不稳健。本文进而提出一系列的诊断方法，来检验这些假设是否成立；与此同时，本文还提出解决方案，以帮助研究者妥善处理非线性交互项和过度外推、缺乏共同支撑的问题。
在社会科学研究中，处理交互项时，我们通常默认线性交互效应假设（linear interaction effect assumption， LIE）。即 D 对 Y 的影响随 X 变化遵循如下函数形式：
换句话来说，LIE 意味着当 X 增加一个单位，D 对 Y 的影响将始终变化 个单位，且这一变化在 X 的所有取值上都是恒定不变的。但是，复现发现，22 篇文章中的 46 个结果，仅有 48% 满足线性假设。在 70% 的情况下，调节变量 X 的极高值和极低值处，处理变量的效应都是相等的（在放松 LIE 的前提下）。这也就意味着线性假设经常被违反（按照线性假设的逻辑，如公式 1，X 不同，边际效应一定不同；而 X 最高值和最低值之间的差距一定是最大的），但大部分研究者却没有意识到这一点，仍将真实的交互效应模型看做是线性的。这一问题也意味着目前的多数交互效应研究都非常依赖于模型选择，因此是不稳健的。
第二个问题在于我们经常会忽视共同支撑问题。我们通常会报告在 X 的不同取值上，D 对 Y 的影响，即条件边际效应其实是依据方程 1 得来的。不过，这里存在两个问题：其一，计算在 处 D 的影响时，我们需要保证在 附近有一定数量的观察值；其二，在 附近解释变量 D 需要有一定的变异性，否则无法估计 D 对 Y 的影响。违反任一条件，都意味着条件边际效应的估计是建立在目前函数形式的插补或外推基础上的，而无论是插补还是外推，都高度依赖于模型函数设定。复现发现，这些问题在目前的研究中屡见不鲜。
本文并不意在指责，事实上，目前的交互项应用已经遵循了学界不断摸索才建立起来的通用规范。本文着重指出以上问题，并提供一系列的检验与估计方式来妥善对待这些假设，保证估计的稳健性。
2. 诊断方式
在介绍诊断方式之前，首先介绍一下本节使用随机模拟的数据生成过程：
（1）线性边际效应与离散处理变量交乘；
（2）线性边际效应与连续处理变量交乘；
其中，X 为调节变量，服从 ；误差项 。在情境（1）中，处理变量服从伯努利分布，；在情境（2）中，处理变量，此时边际效应为
（3）非线性边际效应与离散变量交乘；
其中 D 与 与前两种情境分布一致；。此时边际效应为。
诊断方式十分简洁明了，当处理变量为二分类时，我们推荐根据 D 的不同取值来绘制 Y 与 X 的散点图，在每个图中，我们首先绘制一条 Y 与 X 的线性回归拟合线，再绘制一条局部加权回归线（locally weighted regression，LOESS）。如图 1 所示：
该图可以帮助我们诊断以上两个假设：第一，当回归拟合线与 LOESS 拟合线差别较大时，线性假设很可能存在问题。以图 1a 为例，其 DGP 为线性方程，因此回归拟合线与 LOESS 非常接近；反观图 1b 的 LOESS，我们可以发现 Y 与 X 之间的关系并非线性，这也意味着线性假设是不成立的。
原因在于，线性假设意味着 D 对 Y 的影响实际上是两条线性方程之差；因此，一旦在 D 的某个取值上，X 与 Y 的关系是非线性的，也就会导致最后的差中包含 X 的非线性项。 但在线性假设下，边际效应之差一定是线性项（根据公式 1）。换言之，线性假设意味着在 D 的所有取值下，X 对 Y 的影响是线性的，我们可以据此来诊断线性假设。
第二，我们可以通过每张图边缘的箱线图，来检测共同支撑假设。以图 1b 为例，几乎在 X 的所有取值处，均有部分观察值分布；且处理变量具有变异性，这也就满足了共同支撑假设；反观图 1a，X在极小值或极大值附近缺少样本点，因此在这部分求取边际效应时，很可能进行了过度外推。
对于第三种情境，即线性交互效应与连续处理变量交乘，作者推荐将 X 按数值排序平分为三组，依次进行如上诊断。如图 2 所示：
3. 估计方法
3.1 分仓估计量（binning estimator）
3.1.1 估计原理：分组求交互效应
分仓估计量的原理很简单：即通过将连续的调节变量按顺序等分成 n 组（一般分成 3 组，可以代表 X 变量的较低值、中间值和较高值），并生成代表每组的虚拟变量 。将该虚拟变量与 等项交互，即在每个分组中分别呈现主效应和交互效应。这样就可以保证交互效应并不是完全线性甚至单调的，可以在不同组别中生成不同的边际效应。
对分仓估计量感兴趣的读者，可以参阅如下推文：
朱志英, 2022, Stata：分仓散点图应用-binscatter, 连享会 No.1139. 钟声, 2022, Stata：分仓散点图绘制-binscatter-binscatter2, 连享会 No.870.
具体来说，分仓估计量实际上是在估计以下方程：
我们对 X 做了组内对中（ 可以代表均值或中位数）。当 时，该方程即为 X 较低值组别的主效应和调节效应方程。显然，在 处，D 对 Y 的边际效应即 。作者指出，分仓估计量具有如下优势：
第一，分仓估计量允许回归方程在不同组别之间自由变化，因此避免了调节效应的线性假设和单调假设。分仓估计量本质上是一个半参数估计量。可以设想，在样本量无穷大的情况下，我们可以在 X 处处分仓，此时在 X 的每个值都可以求得一个交互效应，最终交互效应会是一个平滑的曲线； 第二，因为分仓是依据 X 构建的，因此解决了共同支撑的问题。边际效应只会在 X 变量取值的情况下出现，不会出现外推或插补的情况； 第三，分仓估计量的估计和检验都可以在传统回归框架下完成，简便易行。
分仓估计量具有良好的统计性质。当线性假设满足时，分仓估计量和传统交互效应模型均可以得到一致且无偏的估计，但传统交互效应模型由于利用了线性假设这一额外的条件，因此更加有效；但线性假设不满足时（通常情况下），分仓估计量的偏差更小，估计更加精确；且分仓数量越多，偏差更低（在保证样本量足够的前提下）。
3.1.2 模拟演示
我们使用情境（1）和（3）来进行随机模拟。如图 3 所示，我们分别估计了分仓估计量（低、中、高三组在各自中位数处的边际效应，用红色圆点表示）和传统交互效应估计量（黑色直线），及其 95% 置信区间。在图形底部，我们绘制了调节变量 X 的堆积柱状图，柱高代表 X 在该值上的样本数量；白色代表控制组样本量、红色代表处理组样本量。通过该柱状图，我们可以直观的检验共同支撑假设是否成立。
图 3a 显示，在线性假设成立的条件下，分仓估计量与传统交互效应估计量几乎没有区别；但在非线性交互效应的情境下（图 3b），分仓估计量可以更好的刻画这一非线性形式，而传统交互效应估计量仍固执的将其刻画为线性交互效应。并且，较高值 X 组的边际效应明显高于中间值，但传统估计量却没能捕捉到这一点。
3.2 核估计量（kernel estimator）
核平滑估计量通过估计一系列的局部效应，并将局部效应连接，从而打破了线性假设的壁垒。核估计量的估计模型为：
当线性假设成立时，，，。 即为 D 对 Y 的边际效应，也是我们要估计的关键。对 的估计实际上是通过最小化如下所示的加权最小二乘目标函数得到的：
其中， 为高斯核函数，h 为带宽（可以通过交叉验证得到，不需要预先设定）； ， 。最后，我们可以估计出三个平滑方程，，其中 即代表 D 对 Y 的边际效应。随机模拟也证实了核估计量相对于传统交互效应模型，能更好的拟合数据生成过程的结果。
4. 复现
为便于理解，本节不再讨论具体的研究情境，而是抽离出结果变量 Y、处理变量 D 和调节变量 X ，以下讨论都基于此展开。
4.1 缺乏共同支撑
上图展示了缺乏共同支撑情境下的调节效应。图 4a 显示，仅仅在 X （US affinity with UN Security Council）接近 -0.50 附近，D （UN authorization）才具有变异性，即既有 0 值也有 1 值；对应图 4b 的分仓估计量显示，仅在较低值分组（L）中存在调节效应，且效应量为 0。无论是图 4a 的箱线图，还是图 4b 底部的堆积柱状图，都显示了在 X > -0.45 的时候，D 都缺乏变异性，仅有处理组存在。此时无法估计出调节效应，因此分仓估计量的中间值和较高值组都无法估计调节效应。 而传统交乘项其实是利用了线性假设这一基本的函数形式进行外推。但实际上，这一函数形式仅仅是基于 X = -0.50 附近的几个个案推测而来，过度外推会导致结果高度不稳健。由图 4c 的核函数估计量也可以发现，当 X 移动出 -0.50 周围之后，置信区间疯狂增长，这也说明了我们的估计是高度不稳健的。
4.2 过度插补
上图展示了当调节变量高度有偏（但共同支撑假设基本满足）时传统估计量会产生哪些偏误。图 5a 展示了原研究中的结果——一个完美的负调节效应（边际效应逐渐减少）。然而，使用分仓估计量发现（图 5b），边际效应实际上呈现 U 型，即从 X 较低值组（L）到中间值组（M）先下降，再从中间值组到较高值组（H）上升；此外，以上三个边际效应估计量均不显著（置信区间包括 0）。这也证明了 LIE 假设并不成立。与此同时，使用线性函数进行外推得到了方向和显著性均不同的结论。
为什么会出现这种情况？由图 5d 的核函数估计量可以得知，显著的负向调节效应实际上是由于极少数 X 大于 2.5 的样本点“拽下去”的。换句话说，在目前高度有偏的 X 分布里，我们把右尾少数点看的与左边聚集的大多数点“同等重要”，并在右尾 X 没有取值的地方根据现有的函数方程进行了大量的插补。这一行为相当危险，将原本并不显著且呈非线性的交互效应变成了显著负向的线性交互效应。使用分仓估计量和核估计量可以帮我们很好的认清这一问题。
4.3 对顶刊研究进行的复现
接下来，作者收集了政治学五本顶级期刊 AJPS、APSR、CPS、IO 和 JOP 在 2006-2015 年间涉及交互效应的 41 篇文章的原始数据进行复现，并提供了三个评估标准：
第一，边际效应在 X 较低值组和较高值组是否存在显著差异。这是检验交互效应是否存在问题最直观的标准：当差异不存在时，证明交互效应要么是非线性的（如 U 型），要么是线性的但交互效应并不显著区别于 0 ； 第二，是否存在过度的外推或插补，即 X 是否高度有偏； 第三，是否能拒绝线性假设。
结果发现，在 41 个案例中，只有 4 个案例的数据满足以上三项标准；7 例（17.1%）满足两条标准、18 例（43.9%）满足一条、12 例（29.3%）不满足任何一条。按期刊分类发现，这一问题在各大顶刊之中均曾出现。因此，我们所默认的线性交乘项可能存在着较为严重的缺陷，而目前我们忽略其假设、不对数据作任何诊断而武断使用线性交乘项的做法可能得出了许多错误的结论。
5. 结语
尽管交互项在社会科学研究中被广泛使用，但其对于线性假设的过度依赖使现有研究在诸多方面存在局限。本文对在政治学顶刊上发表研究进行的复现表明，线性假设在数据分析中往往并不成立。不仅如此，学者们也通常没有考虑交互效应所需的共同支撑问题，从而导致估计结果高度依赖于模型设定。
本文提出了新的估计策略，尝试检验线性交互效应和共同支撑假设，并提出分仓估计量和核估计量，这些估计量减少了对于线性假设的依赖，并避免了过度外推，从而降低交互效应的模型依赖性，并增强估计的稳健性。
在交互项的实证分析中，本文提供如下建议和指南：
第一，诊断原始数据。诊断的核心包括：其一，是否满足线性假设；其二，是否满足共同支撑。具体来讲，研究者需使用原始数据生成线性交互项的诊断图，并确认调节效应是否可以被很好的线性拟合；同时，检查在不同的调节变量值所对应的区间，是否有足够的共同支撑，即是否同时存在处理组和控制组。如果模型中还涉及其他协变量，则可以在对这些协变量进行残差化处理后构建相同的诊断图。不仅如此，交互效应通常是对称的，因此，本文建议依次检验给定 X 后 D 的边际效应和给定 D 后 X 的边际效应，分别绘制诊断图，并作线性假设和共同支撑的检验。如果变量的分布呈现高度的不对称，本文建议使用适当的幂变换和根变换来降低偏斜度，以提高对称性。
第二，应用分仓估计量来计算边际效应。通常情况下，可以根据调节变量 X 的取值设定三个等分的分仓，并在每个分仓的中间值处估计边际效应，来关注效应的异质性，或效应之间是否满足线性假设。当然，如果数据较为充足，或我们对细节要求更高，则可以进行更多的分仓。需要注意的是，在数据点稀少的区域（即处理变量的变异性有限，共同支撑假设较难满足），需要谨慎的对待其所计算出来的边际效应。为此，我们建议在边际效应图的底部添加一个堆叠直方图（stacked histogram），以显示调节变量的分布情况，并检查共同支撑。
第三，使用核估计量。我们建议使用核估计量来生成边际效应估计值，以进一步评估边际效应的异质性，并放宽线性假设。研究人员还可以使用其他机器学习方法来衡量处理效果在不同组别或调节变量水平上的差异，但我们认为核函数方法同时兼顾了模型的简洁性和解释力，同时也便于应用研究人员使用。
第四，谨慎使用线性交互模型。标准线性交互模型和边际效应图只有在分仓估计量和核估计量的估计结果表明交互效应确实是线性的情况下才能使用，而且只能在有足够共同支持的区域内计算。
6. 复现结果
| Study | Journal | Not Rejecting Same Effect at Low vs. High | Severe Extra- polation | Rejecting Linear Model | Overall Score |
|---|---|---|---|---|---|
| Adams et al. (2006) | AJPS | 0 | 1 | 0 | 1 |
| Aklin and Urpelainen (2013) | AJPS | 1 | 1 | 1 | 3 |
| Aklin and Urpelainen (2013) | AJPS | 1 | 1 | 1 | 3 |
| Banks and Valentino (2012) | AJPS | 0 | 0 | 0 | 0 |
| Banks and Valentino (2012) | AJPS | 1 | 1 | 0 | 2 |
| Banks and Valentino (2012) | AJPS | 1 | 1 | 0 | 2 |
| Bodea and Hicks (2015a) | JOP | 0 | 0 | 1 | 1 |
| Bodea and Hicks (2015a) | JOP | 0 | 1 | 1 | 2 |
| Bodea and Hicks (2015b) | IO | 1 | 1 | 0 | 2 |
| Bodea and Hicks (2015b) | IO | 1 | 0 | 0 | 1 |
| Bodea and Hicks (2015b) | IO | 1 | 1 | 0 | 2 |
| Bodea and Hicks (2015b) | IO | 1 | 0 | 1 | 2 |
| Carpenter and Moore (2014) | APSR | 0 | 1 | 1 | 2 |
| Chapman (2009) | IO | n.a. | 1 | 0 | n.a. |
| Clark and Golder (2006) | CPS | 1 | 0 | 1 | 2 |
| Clark and Golder (2006) | CPS | 0 | 0 | 1 | 1 |
| Clark and Golder (2006) | CPS | 0 | 0 | 0 | 1 |
| Clark and Golder (2006) | CPS | n.a. | 1 | 1 | n.a. |
| Clark and Leiter (2014) | CPS | 1 | 1 | 0 | 2 |
| Hellwig and Samuels (2007) | CPS | 1 | 0 | 0 | 1 |
| Hellwig and Samuels (2007) | CPS | 1 | 1 | 0 | 2 |
| Hicken and Simmons (2008) | AJPS | 1 | 0 | 0 | 1 |
| Huddy, Mason and Aarøe (2015) | APSR | 0 | 0 | 0 | 0 |
| Huddy, Mason and Aarøe (2015) | APSR | 0 | 0 | 0 | 0 |
| Kim and LeVeck (2013) | APSR | 0 | 0 | 1 | 1 |
| Kim and LeVeck (2013) | APSR | 1 | 0 | 1 | 2 |
| Kim and LeVeck (2013) | APSR | 0 | 0 | 1 | 1 |
| Malesky, Schuler and Tran (2012) | APSR | 1 | 1 | 1 | 3 |
| Malesky, Schuler and Tran (2012) | APSR | 1 | 1 | 1 | 3 |
| Malesky, Schuler and Tran (2012) | APSR | 1 | 1 | 0 | 2 |
| Malesky, Schuler and Tran (2012) | APSR | 1 | 1 | 1 | 3 |
| Neblo et al. (2010) | APSR | 1 | 0 | 1 | 2 |
| Pelc (2011) | IO | 0 | 1 | 1 | 2 |
| Pelc (2011) | IO | 1 | 1 | 1 | 3 |
| Petersen and Aarøe (2013) | APSR | 1 | 0 | 0 | 1 |
| Petersen and Aarøe (2013) | APSR | 1 | 0 | 0 | 1 |
| Somer-Topcu (2009) | JOP | 1 | 0 | 0 | 1 |
| Tavits (2008) | CPS | 0 | 0 | 0 | 0 |
| Truex (2014) | APSR | 1 | 0 | 0 | 1 |
| Truex (2014) | APSR | 1 | 1 | 0 | 2 |
| Truex (2014) | APSR | 1 | 0 | 0 | 1 |
| Truex (2014) | APSR | 1 | 1 | 0 | 2 |
| Vernby (2013) | AJPS | 1 | 1 | 0 | 2 |
| Vernby (2013) | AJPS | 1 | 1 | 0 | 2 |
| Williams (2011) | CPS | 1 | 0 | 0 | 1 |
| Williams (2011) | CPS | 1 | 0 | 1 | 2 |
注：缺失值是由于数据的限制，例如缺乏共同支撑，因此无法进行相应的检验。
复现文献链接
Adams, J., Clark, M., Ezrow, L., & Glasgow, G. (2006). Are Niche Parties Fundamentally Different from Mainstream Parties? The Causes and the Electoral Consequences of Western European Parties’ Policy Shifts, 1976–1998. American Journal of Political Science, 50(3), 513–529. Portico. Link, PDF, Google.
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7. 参考资料
Hainmueller J, Mummolo J, Xu Y. How Much Should We Trust Estimates from Multiplicative Interaction Models? Simple Tools to Improve Empirical Practice. Political Analysis. 2019; 27(2):163-192. PDF Brambor, T., Clark, W. R., & Golder, M. (2006). Understanding Interaction Models: Improving Empirical Analyses. Political Analysis, 14(1), 63–82. Link, PDF, -PDF2-, Google. -cited-, Slides
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lianxh 交叉 交乘
安装最新版lianxh命令：
ssc install lianxh, replace
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