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嘉宾：杨海生，中山大学
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作者： 黄思佳 (湖南大学)
邮箱： ystone_17@163.com
编者按: 本文主要参考自下文，特此致谢！
Source： Kettlewell N. & Siminski P. (2022). Optimal Model Selection in RDD and Related Settings Using Placebo Zones. -PDF-
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目录
1. 简介
2. 推导
3.命令安装与介绍
3.1 命令安装
3.2 命令介绍
4. 示例
4.1 使用默认设置进行模型选择和估计
4.2 使用二阶多项式和聚类标准误
4.3 增加带宽数量、安慰剂断点之间的距离
4.4 考虑一个三角核的自定义线性模型，并绘制最优模型的安慰剂估计
5. 参考资料
6. 相关推文
1. 简介
断点回归 （RDD） 和拐点回归 （RKD）通常被用来评估政策干预的效果。以RRD为例，通过比较阈值(cut off)左右两侧的平均值来评估政策干预的效果。然而，该方法对模型的选择和参数估计非常敏感。在实证过程中，要面临的首要问题是如何在带宽、函数形式、核密度、协变量等多维度参数中进行选择。选择不合适的模型可能会导致错误的结论。因此，需要选择一个最优模型来准确地评估政策干预的效果。
为了解决上述问题，本文提出了一种新的方法——Placebo Zones。该方法有助于选择最优模型，以评估模型的准确性和稳健性。
具体而言，首先，选择阈值两侧的一定范围内的值来创建安慰剂区(Placebo Zones)，在范围足够大的情况下，安慰剂区不会受到政策冲击的影响。安慰剂区中的数据可以用来估计零效应 (null effect) ，如果估计模型是有效的，则该零效应的估计值为0（安慰剂区未受到政策冲击，其真实值为0）。
其次，通过将估计的处理效应与安慰剂区的零效应进行比较，可以评估RDD设定的有效性和所选模型的准确性。如果零效应估计为0，且估计的处理效应具有统计显著性，则说明具有因果效应。反之，如果零效应异于0，则说明模型设定无效，估计的治疗效应可能存在偏差。
综上，Placebo Zones是一种有助于选择最佳回归模型的新方法，能够帮助我们准确评估政策干预的效果。这种方法非常适用于RDD、RKD以及cohort-IV，因为它有助于排除其他因素的影响，从而获得准确和可靠的结果。
2. 推导
参考标准的精确 RDD 模型，考虑一个随机样本 ， ， 其中 和 分别为接受和未接受处理的潜在产出。处理 由驱动变量决定，时，。感兴趣的参数是平均处理效应 。
本文的最优模型选择是渐进最优的，即随着安慰剂区重复次数 ，最优模型最终收敛于在 的所有估计方式中选择具有最低 的估计方式，连续安慰剂阈值之间的距离保持不变。
为了建立渐进最优性，要证明对于每一种候选估计模型，阈值估计的 与每个相关安慰剂估计的 相同，即证明：
其中，其中 是每个安慰剂阈值的位置， 是用于此估计方式的带宽。对于每个候选估计方式，我们观察每个 的 。因为，所以 。如果等式 (1) 成立，那么 与 无关，且 。
本文证明上述等式 (1) 在以下假设条件下成立：
均匀分布； 和 同方差； 和 关于 的条件期望是连续的、平滑的，并且四阶导数为零； 平均处理效应关于 的二阶导数为零。
考虑一组局部线性模型，每个估计量具有不同的对称带宽。 表示带宽为 的局部线性估计的处理效应。在该带宽内，在阈值的两侧均有个观测样本。估计的处理效应是 。其中 和 可以使用阈值两侧的两个独立的线性回归来估计。简单起见，此处去掉下标 ，这些回归方程为：
同理， 将 定义为在安慰剂阈值 （真正的断点为零） 处的断点估计， ，其中 和 通过以下回归方程估计得出：
任意估计方式的处理效应的 为：
对于每一个局部线性回归， 是两个回归 （式2和式3） 的方差及估计量偏差的函数：
假设(3)和假设（4）意味着真正的DGP采用以下形式：
换言之，这些假设意味着CEF是全局立方的，在阈值处有潜在断点和拐点 。
其中，是在上映射的常数，是在上映射的常数，两者均满足。类似地，对于，使用上的数据$（0<x<b）$ ：<="" p="">
于是
然而，=, =因此
所以
这一偏差与成正比，与真实DGP的任何其他参数无关。因此，与DGP的CEF的三阶导数成正比。
现在证明，对于，， 代入，方程（4）和（5）等价于：
并且方程（A8）中的DGP可以表示为:
如果 ，
如果 ，
其中， ， ， 。
式 （17） 也可以做类似的展开。
式 （14）、（15）、（18） 分别等价于式 （2）、（3）、（8） 。其中，。同理，如果，则阈值。如前面所示，、RDD估计的偏差仅与真实DGP的CEF的三阶导数成正比。式（18）的三阶导数（）与式（8）相同，因此，因此对于 。
在给定假设 （1） 和 （2） 的情况下，很容易证明 。因此， ，在假设 （1）-（4）下，本文的方法满足渐进最优性。
3.命令安装与介绍
3.1 命令安装
ssc install pzms, replace
net get pzms.pkg, replace //下载作者提供的范例数据
3.2 命令介绍
该命令的基本语法为
pzms depvar runvar [if] [in] , maxbw(real) [options]
其中，
maxbw(real)表示用于估计的最大带宽
选择项的含义：
maxbw(#): 在整个安慰剂区进行模型比较时考虑的最大带宽,没有默认值。c(#): cut point, 阈值，默认值为0。minbw(#):在整个安慰剂区进行模型比较时考虑的最大小带宽, 若未指定，则设置为0.1*maxbw。pzrange(##):安慰剂区的范围。在使用maxbw(#)进行范围划分后，c(#)须包含在其中。默认值是驱动变量的整个范围。p(#):多项式阶数，默认为1，即一阶线性。若指定为2，则同时考虑一阶线性和二次项。deriv(#)：导数阶数，采用精确RDD估计时默认为0，采用精确RKD估计时默认为1。pzstepnum(#)：安慰剂区域内的迭代次数。若驱动变量观测值过少或pzstepnum设定值过大时，实际迭代次数可能少于指定次数。因此，迭代次数为安慰剂区域内的最大迭代次数。若已设定pzstepsize，则不能再设定pzstepnum。若pzstepnum和pzstepsize均未设定，则默认值为50。pzstepsize(#)：相邻阈值之间的距离。若已设定pzstepnum，则不能再设定pzstepsize。bwstepnum(#):介于最小带宽minbw(#)与最大带宽maxbw(#)之间的带宽数量，若pzstepnum和pzstepsize均未设定，则默认值为20。bwstepsize(#): 候选估计模型之间的带宽增加（以驱动变量为单位）。nolog:不显示迭代进度。vce(vce type):设定标准误类型，默认为同方差标准误差。covs（varlist）：设定候选模型中的协变量。若设定此项，则自动为每一个多项式p(#)进行模型估计。例如，若设定p(2)，则估计以下四个模型并进行比较：无协变量的线性模型、有协变量的非线性模型、无协变量二次模型和有协变量二次模型。kernel(kernel type)：设定核密度类型，支持uniform和triangular，默认为uniform。weight(varname)：指定分析权重aweights,除了mcustom#指定的模型之外，适用于所考虑的每个模型。collapse(string):在算法运行前将数据折叠至驱动变量水平。若设定了collapse(weight),将根据与折叠仓相对应的观测值数量对估计值进行加权。如果不希望在折叠数据时使用观测频率的权重，则选择collapse(noweight)。当驱动变量是离散值，且观测值较多，迭代次数较多时，设定collapse(weight)可以在不影响估计的情况下大大提高运行速度。若要引用其他分析权重，即使设定了collapse(weight)，也可以将collapse与weight组合使用。bwlfix（#）：固定阈值左侧的带宽长度。若因数据限制使阈值左侧带宽较短，右侧带宽较长，或带宽不对称的情况下，则使用该选项。bwrfix（#）：固定阈值右侧的带宽长度。若因数据限制使阈值右侧带宽较短，左侧带宽较长，或带宽不对称的情况下，则使用该选项。pzplot：生成核密度图，描述最优模型中安慰剂估计值的分布。该图使用Statakdensity命令和默认设置。donut(# #): 删除指定范围内的观测值。第一个#指定在临界值左侧的驱动变量的该值内的观测值将被删除。第二个#指定在临界值右侧的驱动变量的该值内的观测值将被删除。{opt mcustom#(# #, {it{mcustom_options})}:自定义模型。可以使用mcustom1()、mcustom2()至10个自定义模型。mcustom()中第一个参数是阈值值左侧的多项式阶数，第二个参数是阈值右侧的多项式阶数。例如，mcustom(1 2)表示左侧线性，右侧二项式的估计模型。多项式阶数可为0-10阶。其中，{mcustom_options}包括：covs(varlist)、kernel(kernal type)、weight(varname)。
4. 示例
4.1 使用默认设置进行模型选择和估计
. use "pzms_example_data.dta", clear
. pzms y x, maxbw(0.99)
结果如下
. pzms y x, maxbw(0.99)
Results of Trial
Optimal bandwidth: 0.662
Polynomial order: 1
RMSE: .01358279
Effective sample size of placebo estimates from optimal model: 7.753
Estimated Treatment Effect Using Optimal Model Observations: 1330
Threshold: 0
vce:
-------------------------------------------------------------------
Inference method | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% CI]
-----------------+-------------------------------------------------
Homoscedastic | .29204 .01644 17.768 0.0000 0.2598 0.3243
KS rand. infer. | .29204 .013 22.466 0.0000 0.2611 0.3230
-------------------------------------------------------------------
4.2 使用二阶多项式和聚类标准误
pzms y x, maxbw(0.99) p(2) vce(cluster x)
结果如下
Results of Trial
Optimal bandwidth: 0.662
Polynomial order: 1
RMSE: .01358279
Effective sample size of placebo estimates from optimal model: 7.753
Estimated Treatment Effect Using Optimal Model Observations: 1330
Threshold: 0
vce: cluster x
-------------------------------------------------------------------
Inference method | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% CI]
-----------------+-------------------------------------------------
Robust | .29204 .01587 18.4 0.0000 0.2606 0.3234
KS rand. infer. | .29204 .013 22.466 0.0000 0.2611 0.3230
-------------------------------------------------------------------
4.3 增加带宽数量、安慰剂断点之间的距离
pzms y x, maxbw(0.99) p(2) vce(cluster x) bwstepnum(25) pzstepsize(0.02)
结果如下
Results of Trial
Optimal bandwidth: 0.656
Polynomial order: 1
RMSE: .01343429
Effective sample size of placebo estimates from optimal model: 14.035
Estimated Treatment Effect with Optimal Model Observations: 1310
Threshold: 0
vce: cluster x
-------------------------------------------------------------------
Inference method | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% CI]
-----------------+-------------------------------------------------
Robust | .29196 .01614 18.089 0.0000 0.2600 0.3239
KS rand. infer. | .29196 .01235 23.645 0.0000 0.2653 0.3186
-------------------------------------------------------------------
4.4 考虑一个三角核的自定义线性模型，并绘制最优模型的安慰剂估计
. pzms y x, maxbw(0.99) p(2) vce(cluster x) ///
bwstepnum(25) pzstepsize(0.02) ///
mcustom(1 1, kernel(triangular)) pzplot
结果如下
. pzms y x, maxbw(0.99) p(2) vce(cluster x) ///
bwstepnum(25) pzstepsize(0.02) ///
mcustom(1 1, kernel(triangular)) pzplot
Results of Trial
Optimal bandwidth: 0.804
Optimal specification: mcustom1
RMSE: .01307901
Effective sample size of placebo estimates from optimal model: 17.725
Estimated Treatment Effect wiht Optimal Model Observations: 1610
Threshold: 0
vce: cluster x
-------------------------------------------------------------------
Inference method | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% CI]
-----------------+-------------------------------------------------
Robust | .29787 .01592 18.712 0.0000 0.2664 0.3293
KS rand. infer. | .29787 .0122 24.41 0.0000 0.2721 0.3236
-------------------------------------------------------------------
5. 参考资料
Kettlewell N. & Siminski P. (2022). Optimal Model Selection in RDD and Related Settings Using Placebo Zones. -PDF-
6. 相关推文
Note：产生如下推文列表的 Stata 命令为：
lianxh
安装最新版lianxh命令：
ssc install lianxh, replace
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