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嘉宾：杨海生，中山大学
时间：2025 年 1 月 13-24 日
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作者：杜静玄 (雪城大学)
邮箱：jdu115@syr.edu
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编者按：本文整理自 Two-Way FE: The come back to DID，特此致谢！
目录
1. 简介
2. TWFE 与 TWM 的等价性
3. 在 DID 设定下的应用
4. Stata 应用
5. 参考文献
6. 相关推文
1. 简介
Wooldridge 证明了双向固定效应 (TWFE) 与包括单位时间均值和时间段特定横截面平均值的混合 OLS (他称之为双向 Mundlak (TWM) 回归) 的结果具有等价性。该等价意味着异质趋势的标准策略可用于放宽共同趋势假设，尤其对渐进型 DID 有效。此外，双向 Mundlak 回归也很容易适应非线性模型，例如指数模型和 logit 和 probit 模型。Stata 的命令 jwdid 提供了基于 TWM 法的估计结果。
2. TWFE 与 TWM 的等价性
其中， 是 的向量， 是个体固定效应， 为时间固定效应。考虑双向 Mundlak 回归：
混合 OLS 使用 对 进行回归，得到 的系数 。令 ，若 是非奇异矩阵，，可以利用 定理证明。若 ，则 ，其中 是时间不变的变量， 为单位恒定的变量。
在交错实施的设定中 (staggered intervention)，TWFE 需要包括： 来估计处理效应 。其中 是处理组指示变量， 是时间变量。在 TWFE 中需要包括协变量的交互变量 ，，在 Mundlak 里需要包括 ，在 TWM 中则需要进一步包括 。同时，混合 OLS 以及 RE 版本的 Mundalk 也是等价的。
3. 在 DID 设定下的应用
传统 TWFE 对于估计 ATT 存在较大限制，而关键是缺乏对于异质性效应的处理。Wooldridge 提出的方法与 Sun and Abraham (2020) 的类似，但和他们将队列与动态效应交互不同，Wooldridge 将队列效应与时间固定效应交互。同时，从该方法中获得的估计量与用插补法获得的第一阶段的相同，并且同插补法相比，它的标准误更容易获得。具体来说，应当估计以下二式之一：
Wooldridge 建议，除了加入个体 (或队列) 以及时间固定效应外，还应该将所有可能的队列和时间效应都加入。而以上两个式子则分别代表：选择从未处理组作为控制，或者选择尚未处理组作为控制。基于该饱和模型，估计出的 与 Callaway and Sant’Anna (2022) 的 ATT 是一样的。
4. Stata 应用
首先安装命令 ssc install jwdid, replace。该命令由 Fernando Rios-Avila 教授根据 Wooldridge 的文章编写，包含了含协变量的回归。他还提供了如何得到与 Callaway and Sant'Anna (2021) 相似估计量的建议。其中，jwdid 命令采用 TWFE 方法且使用从未接受处理组为选项，jwdid_estat 命令可用于得到一系列标准化加总的结果，一般在估计之后实现。
该命令与 csdid 很相似，但需要使用者加入个体固定效应 ivar，年份固定效应 tvar 与群体固定效应 gvar。回归结果如下：
. lxhuse mpdta, clear
. jwdid lemp, ivar(countyreal) tvar(year) gvar(first_treat)
HDFE Linear regression Number of obs = 2,500
Absorbing 2 HDFE groups F( 7, 499) = 3.82
Statistics robust to heteroskedasticity Prob > F = 0.0005
R-squared = 0.9933
Adj R-squared = 0.9915
Within R-sq. = 0.0101
Number of clusters (countyreal) = 500 Root MSE = 0.1389
(Std. err. adjusted for 500 clusters in countyreal)
-------------------------------------------------------------------------------------------
| Robust
lemp | Coefficient std. err. t P>|t| [95% conf. interval]
--------------------------+----------------------------------------------------------------
first_treat#year#c.__tr__ |
2004 2004 | -0.019 0.022 -0.87 0.387 -0.063 0.025
2004 2005 | -0.078 0.030 -2.57 0.010 -0.138 -0.018
2004 2006 | -0.136 0.035 -3.84 0.000 -0.206 -0.066
2004 2007 | -0.105 0.034 -3.09 0.002 -0.171 -0.038
2006 2006 | 0.003 0.020 0.13 0.900 -0.037 0.042
2006 2007 | -0.039 0.024 -1.63 0.103 -0.086 0.008
2007 2007 | -0.043 0.018 -2.34 0.020 -0.079 -0.007
|
_cons | 5.778 0.002 3742.17 0.000 5.775 5.781
-------------------------------------------------------------------------------------------
Absorbed degrees of freedom:
-----------------------------------------------------+
Absorbed FE | Categories - Redundant = Num. Coefs |
-------------+---------------------------------------|
countyreal | 500 500 0 *|
year | 5 0 5 |
-----------------------------------------------------+
* = FE nested within cluster; treated as redundant for DoF computation
每个系数都对应于组别 G 在时间 T 时的处理效应。然而与 csdid 相反的，这是由于使用尚未处理组作为控制组造成的。也可以使用从未处理组作为控制组，即在命令后加入 never：
. jwdid lemp, ivar(countyreal) tvar(year) gvar(first_treat) group never
HDFE Linear regression Number of obs = 2,500
Absorbing 2 HDFE groups F( 12, 499) = 2.87
Statistics robust to heteroskedasticity Prob > F = 0.0008
R-squared = 0.0288
Adj R-squared = 0.0213
Within R-sq. = 0.0001
Number of clusters (countyreal) = 500 Root MSE = 1.4926
(Std. err. adjusted for 500 clusters in countyreal)
-------------------------------------------------------------------------------------------
| Robust
lemp | Coefficient std. err. t P>|t| [95% conf. interval]
--------------------------+----------------------------------------------------------------
first_treat#year#c.__tr__ |
2004 2004 | -0.011 0.023 -0.45 0.653 -0.056 0.035
2004 2005 | -0.070 0.031 -2.26 0.024 -0.132 -0.009
2004 2006 | -0.137 0.037 -3.75 0.000 -0.209 -0.065
2004 2007 | -0.101 0.035 -2.92 0.004 -0.169 -0.033
2006 2004 | 0.007 0.023 0.28 0.781 -0.040 0.053
2006 2005 | 0.004 0.031 0.12 0.905 -0.058 0.066
2006 2006 | -0.001 0.034 -0.02 0.981 -0.067 0.066
2006 2007 | -0.037 0.036 -1.04 0.297 -0.108 0.033
2007 2004 | 0.031 0.015 2.02 0.044 0.001 0.060
2007 2005 | 0.028 0.020 1.41 0.158 -0.011 0.066
2007 2006 | -0.003 0.025 -0.13 0.893 -0.052 0.045
2007 2007 | -0.029 0.027 -1.11 0.270 -0.082 0.023
|
_cons | 5.774 0.067 86.15 0.000 5.642 5.906
-------------------------------------------------------------------------------------------
Absorbed degrees of freedom:
-----------------------------------------------------+
Absorbed FE | Categories - Redundant = Num. Coefs |
-------------+---------------------------------------|
first_treat | 4 0 4 |
year | 5 1 4 |
-----------------------------------------------------+
该命令也可加入控制变量，以 lpop 为例：
. jwdid lemp lpop, ivar(countyreal) tvar(year) gvar(first_treat) group
HDFE Linear regression Number of obs = 2,500
Absorbing 2 HDFE groups F( 22, 499) = 364.06
Statistics robust to heteroskedasticity Prob > F = 0.0000
R-squared = 0.8732
Adj R-squared = 0.8717
Within R-sq. = 0.8695
Number of clusters (countyreal) = 500 Root MSE = 0.5404
(Std. err. adjusted for 500 clusters in countyreal)
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
| Robust
lemp | Coefficient std. err. t P>|t| [95% conf. interval]
------------------------------------+----------------------------------------------------------------
first_treat#year#c.__tr__ |
2004 2004 | -0.021 0.022 -0.98 0.329 -0.064 0.021
2004 2005 | -0.082 0.027 -2.99 0.003 -0.136 -0.028
2004 2006 | -0.138 0.031 -4.48 0.000 -0.198 -0.077
2004 2007 | -0.110 0.032 -3.39 0.001 -0.173 -0.046
2006 2006 | 0.003 0.019 0.13 0.893 -0.035 0.040
2006 2007 | -0.045 0.022 -2.05 0.041 -0.088 -0.002
2007 2007 | -0.046 0.018 -2.56 0.011 -0.081 -0.011
|
first_treat#year#c.__tr__#c._x_lpop |
2004 2004 | 0.005 0.018 0.26 0.792 -0.030 0.039
2004 2005 | 0.025 0.018 1.40 0.161 -0.010 0.060
2004 2006 | 0.051 0.021 2.41 0.016 0.009 0.092
2004 2007 | 0.011 0.027 0.42 0.673 -0.041 0.064
2006 2006 | 0.039 0.016 2.36 0.018 0.007 0.071
2006 2007 | 0.038 0.022 1.69 0.091 -0.006 0.082
2007 2007 | -0.020 0.016 -1.22 0.221 -0.052 0.012
|
lpop | 1.065 0.022 48.82 0.000 1.023 1.108
|
first_treat#c.lpop |
2004 | 0.051 0.038 1.35 0.178 -0.023 0.125
2006 | -0.041 0.047 -0.87 0.386 -0.134 0.052
2007 | 0.056 0.039 1.42 0.157 -0.022 0.133
|
year#c.lpop |
2004 | 0.011 0.008 1.46 0.145 -0.004 0.026
2005 | 0.021 0.008 2.56 0.011 0.005 0.037
2006 | 0.011 0.011 0.97 0.330 -0.011 0.032
2007 | 0.021 0.012 1.77 0.077 -0.002 0.044
|
_cons | 2.162 0.070 30.89 0.000 2.024 2.299
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Absorbed degrees of freedom:
-----------------------------------------------------+
Absorbed FE | Categories - Redundant = Num. Coefs |
-------------+---------------------------------------|
first_treat | 4 0 4 |
year | 5 1 4 |
-----------------------------------------------------+
若想获得 CS2021 版本的加总，在 estat 命令中有四个选项：简单，按记录，按组别以及按事件。不过目前尚未可以获得事前趋势检验。
. estat simple
Contrasts of predictive margins Number of obs = 2,500
Model VCE: Robust Subpop. no. obs = 291
Expression: Linear prediction, predict()
1._at: __tr__ = 0
2._at: __tr__ = 1
------------------------------------------------
| df chi2 P>chi2
-------------+----------------------------------
_at | 1 16.41 0.0001
------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------
| Delta-method
| Contrast std. err. [95% conf. interval]
-------------+------------------------------------------------
_at |
(2 vs 1) | -0.051 0.012 -0.075 -0.026
--------------------------------------------------------------
. estat calendar
Contrasts of predictive margins Number of obs = 2,500
Model VCE: Robust Subpop. no. obs = 291
Expression: Linear prediction, predict()
----------------------------------------------------
| df chi2 P>chi2
-----------------+----------------------------------
_at@__calendar__ |
(2 vs 1) 2004 | 1 0.96 0.3280
(2 vs 1) 2005 | 1 8.94 0.0028
(2 vs 1) 2006 | 1 6.49 0.0108
(2 vs 1) 2007 | 1 12.19 0.0005
Joint | 4 19.19 0.0007
----------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------
| Delta-method
| Contrast std. err. [95% conf. interval]
-----------------+------------------------------------------------
_at@__calendar__ |
(2 vs 1) 2004 | -0.021 0.022 -0.064 0.021
(2 vs 1) 2005 | -0.082 0.027 -0.135 -0.028
(2 vs 1) 2006 | -0.044 0.017 -0.078 -0.010
(2 vs 1) 2007 | -0.052 0.015 -0.082 -0.023
------------------------------------------------------------------
. estat group
Contrasts of predictive margins Number of obs = 2,500
Model VCE: Robust Subpop. no. obs = 291
Expression: Linear prediction, predict()
--------------------------------------------------
| df chi2 P>chi2
---------------+----------------------------------
_at@__group__ |
(2 vs 1) 2004 | 1 14.46 0.0001
(2 vs 1) 2006 | 1 1.31 0.2524
(2 vs 1) 2007 | 1 6.54 0.0106
Joint | 3 20.18 0.0002
--------------------------------------------------
----------------------------------------------------------------
| Delta-method
| Contrast std. err. [95% conf. interval]
---------------+------------------------------------------------
_at@__group__ |
(2 vs 1) 2004 | -0.088 0.023 -0.133 -0.042
(2 vs 1) 2006 | -0.021 0.019 -0.058 0.015
(2 vs 1) 2007 | -0.046 0.018 -0.081 -0.011
----------------------------------------------------------------
. estat event
Contrasts of predictive margins Number of obs = 2,500
Model VCE: Robust Subpop. no. obs = 291
Expression: Linear prediction, predict()
-------------------------------------------------
| df chi2 P>chi2
--------------+----------------------------------
_at@__event__ |
(2 vs 1) 0 | 1 6.17 0.0130
(2 vs 1) 1 | 1 11.18 0.0008
(2 vs 1) 2 | 1 20.05 0.0000
(2 vs 1) 3 | 1 11.49 0.0007
Joint | 4 23.87 0.0001
-------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------
| Delta-method
| Contrast std. err. [95% conf. interval]
--------------+------------------------------------------------
_at@__event__ |
(2 vs 1) 0 | -0.033 0.013 -0.059 -0.007
(2 vs 1) 1 | -0.057 0.017 -0.091 -0.024
(2 vs 1) 2 | -0.138 0.031 -0.198 -0.078
(2 vs 1) 3 | -0.110 0.032 -0.173 -0.046
---------------------------------------------------------------
该方法的优势在于可以采用非线性估计法，以 poisson 为例：
. gen emp=exp(lemp)
. jwdid emp lpop, ivar(countyreal) tvar(year) gvar(first_treat) method(poisson)
Poisson regression Number of obs = 2,500
Wald chi2(29) = 23470.49
Log pseudolikelihood = -143818.87 Prob > chi2 = 0.0000
(Std. err. adjusted for 500 clusters in countyreal)
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
| Robust
emp | Coefficient std. err. z P>|z| [95% conf. interval]
------------------------------------+----------------------------------------------------------------
first_treat#year#c.__tr__ |
2004 2004 | -0.031 0.018 -1.77 0.077 -0.065 0.003
2004 2005 | -0.066 0.025 -2.60 0.009 -0.116 -0.016
2004 2006 | -0.133 0.024 -5.64 0.000 -0.179 -0.087
2004 2007 | -0.117 0.022 -5.23 0.000 -0.161 -0.073
2006 2006 | -0.009 0.024 -0.37 0.709 -0.057 0.039
2006 2007 | -0.068 0.025 -2.73 0.006 -0.117 -0.019
2007 2007 | -0.040 0.017 -2.39 0.017 -0.073 -0.007
|
first_treat#year#c.__tr__#c._x_lpop |
2004 2004 | 0.012 0.007 1.68 0.094 -0.002 0.026
2004 2005 | 0.021 0.012 1.77 0.077 -0.002 0.044
2004 2006 | 0.041 0.010 4.30 0.000 0.022 0.060
2004 2007 | 0.025 0.011 2.23 0.026 0.003 0.047
2006 2006 | 0.038 0.014 2.78 0.006 0.011 0.064
2006 2007 | 0.045 0.016 2.77 0.006 0.013 0.077
2007 2007 | -0.011 0.007 -1.53 0.127 -0.025 0.003
|
lpop | 1.040 0.017 62.01 0.000 1.007 1.072
|
first_treat#c.lpop |
2004 | -0.013 0.040 -0.33 0.742 -0.092 0.066
2006 | -0.081 0.033 -2.47 0.013 -0.145 -0.017
2007 | 0.016 0.025 0.65 0.514 -0.033 0.065
|
year#c.lpop |
2004 | -0.007 0.004 -1.47 0.141 -0.015 0.002
2005 | -0.008 0.006 -1.32 0.188 -0.019 0.004
2006 | -0.009 0.006 -1.40 0.162 -0.022 0.004
2007 | -0.004 0.005 -0.66 0.511 -0.014 0.007
|
first_treat |
2004 | 0.236 0.207 1.14 0.253 -0.169 0.641
2006 | 0.593 0.176 3.37 0.001 0.248 0.938
2007 | -0.144 0.122 -1.18 0.236 -0.383 0.094
|
year |
2004 | -0.011 0.021 -0.51 0.612 -0.051 0.030
2005 | 0.011 0.027 0.42 0.675 -0.041 0.064
2006 | 0.045 0.029 1.57 0.117 -0.011 0.102
2007 | 0.054 0.028 1.95 0.051 -0.000 0.109
|
_cons | 2.484 0.077 32.25 0.000 2.333 2.635
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
5. 参考文献
Callaway, B., Goodman-Bacon, A. and Sant’Anna, P. H. (2021), Difference-in-differences with a continuous treatment. arXiv preprint arXiv:2107.02637. -PDF- Callaway, B. and Sant’Anna, P. H. (2020),Difference-in-differences with multiple time periods, Journal of Econometrics forthcoming. -PDF- Wooldridge, J. (2021), Two-way fixed effects, the two-way mundlak regression, and differencein-differences estimators, Available at SSRN 3906345. -PDF- Wooldridge, Jeffrey. (2022), Simple Approaches to Nonlinear Difference-in-Differences with Panel Data. Working paper. -PDF-
6. 相关推文
Note：产生如下推文列表的 Stata 命令为：
lianxh did, m
安装最新版lianxh命令：
ssc install lianxh, replace
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